“無限循環(huán)小數(shù)與分數(shù)互化”的教學拓展研究進修附中沈惠東“無限循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的互化”是九年義務教育課本數(shù)學六年級第一學期（上海教育出版社）第二章第2.7節(jié)后的拓展內容，它是學生學習了有限小數(shù)與分數(shù)的互化、分數(shù)化為循環(huán)小數(shù)后的延續(xù)，用與本書配套的數(shù)學教學參考資料中敘述的話來說編寫這一拓展內容的目的是為了激發(fā)學生探索新知的興趣和促使學有余力的學生進一步鉆研。筆者認為這一拓展內容更是為了完善分數(shù)與小數(shù)的互化的知識體系，是一個相當有必要讓優(yōu)等生學習的教學內容，但對它的編寫內容經(jīng)過我?guī)啄杲虒W實踐的體會得出了一些看法，現(xiàn)先將它的原文轉述如下：無限循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的互化（拓展）分數(shù)都可以化成小數(shù)，一般化小數(shù)的方法是分子除以分母，除得盡的是有限小數(shù)，除不盡的是無限循環(huán)小數(shù)；反之，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)也都可以化成分數(shù)。我們已經(jīng)學會了把有限小數(shù)化成分數(shù)，那么，無限循環(huán)小數(shù)如何化成分數(shù)呢？無限循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的問題，在高中的數(shù)學中我們會作更深入的研究。這里僅介紹一種將無限循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法。思考：根據(jù)前面的方法，請將無限循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)，你會發(fā)現(xiàn)什么結果？對這個結論你感到意外嗎？第一次教學實踐體驗：筆者在第一次教授這內容的時候明顯感受到它作為一節(jié)拓展課對剛進入初中的六年級學生而言實在不太可能被接受，尤其是起始的一步就用字母來表示循環(huán)小數(shù)很唐突，方程思想的應用六年級學生體驗很少，思維的跨度太大甚至會造成大部分學生有莫名奇妙之感，所以筆者初上本節(jié)課就對它的第一個例題的解法作了如下修改并直接作了解法示范：接著出示，讓學生試著自主探究，下面是當時的教學片斷：學生甲：因為那么所以從而……學生甲沒有回答下去，自覺有錯誤開始沉默。教師：現(xiàn)在學生甲意識到顯然是不正確的，那么你能發(fā)現(xiàn)錯在哪里嗎？學生甲思考片刻，搖搖頭說：“老師我看不出來”學生乙：老師他第一步就錯了，怎么可能呢？就看這個等式的右邊是肯定的，那么顯然是有矛盾的。教師：那么你認為等于什么呢？學生乙遲疑……學生丙：老師我認為那么所以從而教師：回答得很好，完全正確，你很聰明，感謝你的出色發(fā)言，大家都看明白了嗎？大多數(shù)學生齊喊明白了。出示，學生四人一組討論解決這個問題，下面是學生思考討論3分鐘后的教學片段：教師：哪個小組通過討論解決了這個問題？全場沉默，無一舉手。教師：請大家觀察一下與及出現(xiàn)循環(huán)節(jié)的位置有什么區(qū)別？學生甲：是從小數(shù)點后第二位出現(xiàn)循環(huán)節(jié)的，而及是從小數(shù)點后第一位就出現(xiàn)循環(huán)節(jié)了。教師：那么你能把轉化成含有類似及的小數(shù)的式子嗎？學生乙：教師：，下面請同學們練習把化成分數(shù)。學生丙板書：因為，那么所以從而教師：現(xiàn)在我們會將了嗎？學生丙繼續(xù)板書：說明：本節(jié)課上到這里原于已拖課了5分鐘，就沒有進行課堂小結，就把最后的思考“根據(jù)前面的方法，請將無限循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)，你會發(fā)現(xiàn)什么結果？對這個結論你感到意外嗎？”留作了課后思考作業(yè)。課后反思：我的第一次教學實踐雖然對教材內容作了一定的調整，將用字母表示循環(huán)小數(shù)進行方程變形逐步解決問題的思想方法替換成直接對循環(huán)小數(shù)形式變換再等式變形進而解決問題的思想方法，但是實踐下來我明顯感覺到這一處理并沒有從一定程度上降低問題的難度，看似形式上簡化了，理解上依然很困難，一方面課堂中學生的學習大多表現(xiàn)出機械模仿的狀態(tài)，從例1的學習到例2的學習，有一學生說驗證了這一事實；另一方面課堂中只有少數(shù)學生積極投入到了每一個例題的學習思考中，大多數(shù)學生僅僅是感悟了少數(shù)學生的正確理解，對于的變形當時就只有三個學生舉手示意能夠回答“把轉化成含有類似及的小數(shù)的式子嗎？”的提問。我的自我反思告訴我這不是一節(jié)成功的課，我們常說教要教的得法，學要學的投入，但問題在于要使學生投入就要利用好學生已有的知識經(jīng)驗和認知結構創(chuàng)設良好的思維情境，本課在這一點上應該是一敗筆。數(shù)學課程標準明確指出：數(shù)學教學應從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，促使學生在教師指導下生動活潑地、主動地、富有個性地學習。過去人們普遍認為教材是教育教學的法規(guī)，而新的教學理念已不再把教材看作是教學的金科玉律，而把它看作是一種教學資源，教師應該采用刪減、替代、補充、改編等方法，要考慮學生的實際情況，而不是教材怎樣編，就怎樣教。所以對于教師來說，課堂教學應該是如何更好地“用教材”，而不是簡單地“教教材”，創(chuàng)造性地使用教材尤為必要，于是我開始了第二次教學實踐體驗。第二次教學實踐課堂實錄：練一練:將下面有限小數(shù)化為分數(shù)0.1=;0.11=;0.111=學生集體回答:;;教師:通過上面的練習我們可以體會到對于介于0到1之間的有限小數(shù)，總可以化為分母為10,100,1000…以及分子為小數(shù)點以后的數(shù)字的分數(shù)形式，那么介于0到1之間的循環(huán)小數(shù)可以化為分數(shù)嗎？這節(jié)課我將和大家一起探討關于循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的問題，出示課題：無限循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的互化下面我們先來看一個最簡單的例子：將化成分數(shù)教師提問：有可能嗎？學生甲:不可能，因為，而，即，所以比略大一點的分數(shù)。教師：你們能猜猜比略大一點的哪個分數(shù)嗎?學生們七嘴八舌議論起來，很快同學們達成共識:,因為可以通過加以驗證.教師：通過猜想驗證的方法我們得到可以化為分母是9分子是循環(huán)節(jié)數(shù)字的分數(shù)，那么請大家再用這樣的方法完成以下各題：；；；；；；；。5分鐘后同學們基本都得到以下結果：；=；；；；；；？。但是對于，大部分學生存在很大的疑惑，因為確實得不到的清晰地驗證。教師：你能肯定的請舉手。大約50%的學生舉手學生乙：學生丙：教師：很好，經(jīng)過上面的猜想和驗證，我們可以得出這樣的結論：循環(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)時，用一個循環(huán)節(jié)組成的數(shù)作分子，用9作分母；然后，能約分的再約分,那么循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)怎樣化成分數(shù)呢？下面我們再來看一個簡單的例子：嘗試用猜想驗證的方法將化成分數(shù).很快有一小部分學生舉手示意已解決這個問題.教師引導:和0.01在數(shù)量上有什么關系嗎?學生:略大于0.01,即略大于.教師:那么最有可能等于那個分數(shù)呢?學生:教師:請大家用驗證一下成立嗎?學生:成立.教師:經(jīng)過這次猜想和驗證，我們可以得出這樣的結論：循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)時，用一個循環(huán)節(jié)組成的數(shù)作分子，用99作分母；然后，能約分的再約分。現(xiàn)在，你能推斷出循環(huán)節(jié)是三位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法嗎？學生：因為循環(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)時，用9作分母，循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)時，用99作分母，所以循環(huán)節(jié)是三位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)時，我們猜想是用999作分母，分子也是一個循環(huán)節(jié)組成的數(shù)。教師：下面我們不妨再舉一個例子加以驗證剛才的猜想：成立嗎學生計算得以驗證。小結純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法是：用9、99、999……這樣的數(shù)作分母，9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同；用一個循環(huán)節(jié)所組成的數(shù)作分子；最后能約分的要約分。教師：我們已經(jīng)運用猜想驗證的方法研究了怎樣化純循環(huán)小數(shù)為分數(shù)，下面我們繼續(xù)研究一下怎樣化其它類型的循環(huán)小數(shù)為分數(shù)。

還是先從較簡單的例子入手：將化成分數(shù)教師：想一想與有什么數(shù)量關系嗎？學生：教師:根據(jù)以上數(shù)量關系你可以將化成分數(shù)嗎？學生：教師：在解決這個問題的過程中明顯使用了轉化的數(shù)學思想，將化成分數(shù)轉化成可以通過純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)就可以解決的問題。下面我們嘗試使用這種思想來將化成分數(shù)。三分鐘后大約10個左右的學生給出了正確的解答過程：在本節(jié)課的教學中雖然也有部分問題不是較多地學生能通過獨立思考加以解決，但我確信全體學生都在問題解決的過程中體會并感受了兩大重要的數(shù)學思想方法：猜想驗證和化歸轉化，大多數(shù)學生也能在問題引導中使用這兩個思想方法解決相關的問題，我想這已經(jīng)達到了我教授本節(jié)拓展課的目的。目前，我國正處在實施素質教育，