阿羅不可能定理經(jīng)濟(jì)學(xué)定理01簡(jiǎn)介內(nèi)容推理及評(píng)價(jià)產(chǎn)生證明目錄03050204基本信息阿羅不可能性定理是指不可能從個(gè)人偏好順序推導(dǎo)出群體偏好順序。阿羅認(rèn)為，個(gè)人偏好順序和群體偏好順序都應(yīng)符合兩個(gè)公理和五個(gè)條件。這兩個(gè)公理是：(1)完備性公理。對(duì)任意兩個(gè)決策方案X和Y，要么對(duì)X的偏好甚于或無差異于Y，要么對(duì)Y的偏好甚于或無差異于X。(2)傳遞性公理。對(duì)任意三個(gè)方案X、Y和Z，若對(duì)X的偏好甚于或無差異于Y。而對(duì)Y的偏好甚于或無差異于Z，則對(duì)X的偏好甚于或無差異于Z。簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介《社會(huì)選擇與個(gè)人價(jià)值》1951年肯尼斯·約瑟夫·阿羅（KennethJ．Arrow）在他的經(jīng)濟(jì)學(xué)經(jīng)典著作的《社會(huì)選擇與個(gè)人價(jià)值》一書中，采用數(shù)學(xué)的公理化方法對(duì)通行的投票選舉方式能否保證產(chǎn)生出合乎大多數(shù)人意愿的領(lǐng)導(dǎo)者或者說“將每個(gè)個(gè)體表達(dá)的先后次序綜合成整個(gè)群體的偏好次序”進(jìn)行了研究。結(jié)果，他得出了一個(gè)結(jié)論：絕大多數(shù)情況下這是不可能的。更準(zhǔn)確的表達(dá)則是：當(dāng)至少有三名候選人和兩位選民時(shí)，不存在滿足阿羅公理的選舉規(guī)則?；蛘咭部梢哉f是：隨著候選人和選民的增加，“程序民主”必將越來越遠(yuǎn)離“實(shí)質(zhì)民主”。從而證明一個(gè)定理：假如有一個(gè)非常民主的群體，或者說是一個(gè)希望在民主基礎(chǔ)上作出自己的所有決策的社會(huì)，對(duì)它來說，群體中每一個(gè)成員的要求都是同等重要的。一般地，對(duì)于最應(yīng)該做的事情，群體的每一個(gè)成員都有自己的偏好。為了決策，就要建立一個(gè)公正而一致的程序，能把個(gè)體的偏好結(jié)合起來，達(dá)成某種共識(shí)。這就要進(jìn)一步假設(shè)群體中的每一個(gè)成員都能夠按自己的偏好對(duì)所需要的各種選擇進(jìn)行排序，對(duì)所有這些排序的匯聚就是群體的排序了。產(chǎn)生產(chǎn)生阿羅不可能定理（Arrow'simpossibilitytheorem）的證明并不難，但是需要嚴(yán)格的數(shù)學(xué)邏輯思維。哥倫比亞大學(xué)關(guān)于這個(gè)定理還有一段情節(jié)頗為曲折的故事。阿羅在大學(xué)期間就迷上了數(shù)學(xué)邏輯：讀四年級(jí)的時(shí)候，波蘭大邏輯學(xué)家塔斯基(Tarski）到阿羅所在的大學(xué)講了一年的關(guān)系演算，阿羅在他那里接觸到諸如傳遞性、排序等概念。在此之前，阿羅對(duì)他所著迷的邏輯學(xué)還是全靠自學(xué)。后來，阿羅考上研究生，在哈羅德·霍特林（HaroldHotelling）的指導(dǎo)下攻讀數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)。他發(fā)現(xiàn)，邏輯學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中大有用武之地。例如消費(fèi)者的最優(yōu)決策，消費(fèi)者從許多商品組合中選出其最偏好的組合、這正好與邏輯學(xué)上的排序概念吻合。又如，廠商理論總是假設(shè)廠商追求利潤最大化，當(dāng)考慮時(shí)間因素時(shí)，因?yàn)閷淼膬r(jià)格是未知的，廠商只能力圖使基于期望價(jià)格的期望利潤最大化。人們知道現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)中的企業(yè)，一般是由許多股東所共同擁有，100個(gè)股東對(duì)將來的價(jià)格可能有100種不同的期望，相應(yīng)地，根據(jù)期望利潤進(jìn)行諸如投資之類的決策時(shí)便有100種方案。那么，問題如何解決呢?一個(gè)自然的辦法是由股東(按其占有股份多少）進(jìn)行投票表決，得票最多的方案獲勝。這又是一個(gè)排序問題，阿羅所受的邏輯訓(xùn)練使他自然而然地對(duì)這種關(guān)系的傳遞性進(jìn)行考察，結(jié)果輕而易舉地舉出了一個(gè)反例。內(nèi)容內(nèi)容西方經(jīng)濟(jì)學(xué)阿羅的不可能定理源自孔多塞的“投票悖論”。早在十八世紀(jì)法國思想家孔多賽就提出了著名的“投票悖論”：假設(shè)甲乙丙三人，面對(duì)ABC三個(gè)備選方案，有如圖的偏好排序。甲（a>b>c）；乙（b>c>a）；丙（c>a>b）注：甲（a>b>c）代表——甲偏好a勝于b，又偏好b勝于c。1、若取“a”、“b”對(duì)決，那么按照偏好次序排列如下：甲（a>b）；乙（b>a）；丙（a>b）；社會(huì)次序偏好為（a>b）2、若取“b”、“c”對(duì)決，那么按照偏好次序排列如下：甲（b>c）；乙（b>c）；丙（c>b）；社會(huì)次序偏好為（b>c）3、若取“a”、“c”對(duì)決，那么按照偏好次序排列如下：甲（a>c）；乙（c>a）；丙（c>a）；社會(huì)次序偏好為（c>a）于是得到三個(gè)社會(huì)偏好次序——（a>b）、（b>c）、（c>a），其投票結(jié)果顯示“社會(huì)偏好”有如下事實(shí)：社會(huì)偏好a勝于b、偏好b勝于c、偏好c勝于a。顯而易見，這種所謂的“社會(huì)偏好次序”包含有內(nèi)在的矛盾，即社會(huì)偏好a勝于c，而又認(rèn)為a不如c！所以按照投票的大多數(shù)規(guī)則，不能得出合理的社會(huì)偏好次序。證明證明阿羅的不可能性定理是指，如果眾多的社會(huì)成員具有不同的偏好，而社會(huì)又有多種備選方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都滿意的結(jié)果。阿羅不可能定理說明，依靠簡(jiǎn)單多數(shù)的投票原則，要在各種個(gè)人偏好中選擇出一個(gè)共同一致的順序，是不可能的。這樣，一個(gè)合理的公共產(chǎn)品決定只能來自于一個(gè)可以勝任的公共權(quán)利機(jī)關(guān)，要想借助于投票過程來達(dá)到協(xié)調(diào)一致的集體選擇結(jié)果，一般是不可能的。推理及評(píng)價(jià)推理具備條件公理推理及評(píng)價(jià)推理為了簡(jiǎn)單起見，假定，每個(gè)個(gè)體至少有3個(gè)供排列的選項(xiàng)，可以用各種味道的餅干為選項(xiàng)的例子，如，香草餅干(V）、巧克力餅干(C）和草莓餅干(S），每一個(gè)人要形成一個(gè)序列，表示出他對(duì)3種味道的喜愛程度，如V>S>C，表示這個(gè)人最喜歡香草餅干，其次是草莓餅干，最后是巧克力餅干。設(shè)有甲乙丙三人作選擇，他們的個(gè)人偏好為：甲：V>C>S；乙：C>S>V；丙：S>V>C投票者對(duì)不同選擇方案的偏好次序，甲：V；C；S。乙：C；S；V。丙：S；V；C。用民主的多數(shù)表決方式，如果三個(gè)人都能充分表達(dá)自己的意見，則結(jié)果必然如下所示：首先，在V和C中選擇，甲、丙喜歡V，乙喜歡C；然后，在C和S中選擇，甲、乙喜歡C，丙喜歡S；最后，在V和S中選擇，乙、丙喜歡S，甲喜歡V。這樣三個(gè)人的最終表決結(jié)果如下：V>C，C>S，S>V可見，利用少數(shù)服從多數(shù)的投票機(jī)制，將不能產(chǎn)生一個(gè)令所有人滿意的結(jié)論，這就是著名的“投票悖論”（paradoxofvoting）。這個(gè)投票悖論最早是由康德爾賽(Coudorcet，Marquisde）在18世紀(jì)提出的，因而該悖論又稱為“康德爾賽效應(yīng)”，而利用數(shù)學(xué)、邏輯對(duì)其進(jìn)行論證的則是阿羅。公理公理1：個(gè)體可以有任何偏好；而且是民主選擇——每個(gè)社會(huì)成員都可以自由地按自己的偏好進(jìn)行選擇（數(shù)學(xué)上稱為原則U—無限制原則：>i，u=1，2，…，m在x上的定義方式無任何限制）。公理2：不相干的選擇是互相獨(dú)立的；（數(shù)學(xué)上稱為原則I——獨(dú)立性原則：對(duì)于X中的兩個(gè)事件X和Y，對(duì)它們做出的偏好判斷與X中的任何其他事件無關(guān)）。公理3：社會(huì)價(jià)值與個(gè)體價(jià)值之間有正向關(guān)聯(lián)；（數(shù)學(xué)上稱為原則P—一致性原則：如果對(duì)X中的兩個(gè)事件X和Y，對(duì)于所有的i都有xiY不成立。就是說，每人都有同樣明確態(tài)度的兩件事，社會(huì)也應(yīng)該有同樣的態(tài)度。）公理4：沒有獨(dú)裁者——不存在能把個(gè)體偏好強(qiáng)加給社會(huì)的可能。（數(shù)學(xué)上稱為原則D——非獨(dú)裁原則：不存在某個(gè)i，使得阿羅證明，滿足這4條公理表述的要求的民主決策的規(guī)則是不存在的，就是著名的“阿羅不可能性定理”：如果X中的事件個(gè)數(shù)不小于3，那么就不存在任何遵循原則U，P，I，D的規(guī)則（稱為“社會(huì)福利函數(shù)”）。這表明滿足所有一般條件的民主選擇要么是強(qiáng)加的，要么就是獨(dú)裁的結(jié)果。換句話說，阿羅不可能性定理指出，多數(shù)規(guī)則(majorilyrule）的一個(gè)根本缺陷就是在實(shí)際決策中往往導(dǎo)致循環(huán)投票。在得多數(shù)票獲勝的規(guī)則下，每個(gè)人均按照他的偏好來投票。不難看出，大多數(shù)人是偏好X勝于Y，同樣大多數(shù)人也是偏好Y勝于Z。按照邏輯上的一致性，這種偏好應(yīng)當(dāng)是可以傳遞的（transitivity），即大多數(shù)人偏好X勝于Z。具備條件1、所有投票人就備選方案所想到的任何一種次序關(guān)系都是實(shí)際可能的。該公理表明：選民對(duì)候選人的任何一種排序都是允許的，也就是每一位選民可以完全按照各自的意愿挑選自己中意的候選人。2、對(duì)任意一對(duì)備選方案x、y，如果對(duì)于任何投票人都有x≥y，根據(jù)選舉規(guī)則就應(yīng)該確定x≥y；而且當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有投票人都有x=y時(shí)，根據(jù)選舉規(guī)則得到的最后結(jié)果才能取等號(hào)。該公理表明：全體選民的一致愿望必須得到尊重，同時(shí)每個(gè)選民的意愿也不能受到隨意的忽略，體現(xiàn)了選民的主權(quán)特性。3、對(duì)任意一對(duì)備選方案x、y，如果在某次投票的結(jié)果中有x>y，那么在另一次投票中，如果在每位投票人