10．2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法課程標(biāo)準(zhǔn)掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的乘除運(yùn)算新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)知識點(diǎn)一復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，則z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________．知識點(diǎn)二復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算律對任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1·z2＝____________結(jié)合律(z1·z2)·z3＝____________乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝____________知識點(diǎn)三共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)(1)兩個共軛復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于________對稱．(2)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是________，即z＝z?z∈R.利用這個性質(zhì)，可以證明一個復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)．(3)z·z＝________＝|z|2∈R.知識點(diǎn)四復(fù)數(shù)的除法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，z1z2＝a+bi知識點(diǎn)五實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一定有兩個根．Δ＝b2－4ac.(1)當(dāng)Δ≥0時有兩個實(shí)根．①Δ>0時有兩個不相等的實(shí)根：-b②Δ＝0時有兩個相等的實(shí)根：－b2a(2)Δ<0時有兩個互為共軛的虛數(shù)根：-b(3)若x1，x2是其兩個根，總有x基礎(chǔ)自測1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz＝1，其中i為虛數(shù)單位，則z等于()A．－iB．iC．－1D．12．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)7-i3+i3．設(shè)z＝3-i1+2i，則|z|＝A．2B．3C．2D．14．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，則a＋bi＝____________．課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算例1計(jì)算下列各題．(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；(3)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(4)8-i(5)1+i3(6)2+狀元隨筆(1)兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法①首先按多項(xiàng)式的乘法展開．②再將i2換成－1.③然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算，化簡為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．③(1±i)2＝±2i.(3)復(fù)數(shù)的除法法則，通過分子、分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使“分母實(shí)數(shù)化”，這個過程與“分母有理化”類似．方法歸納(1)復(fù)數(shù)的乘法可以把i看作字母，按多項(xiàng)式乘法的法則進(jìn)行，注意要把i2化為－1，進(jìn)行最后結(jié)果的化簡．復(fù)數(shù)的除法先寫成分式的形式，再把分母實(shí)數(shù)化(方法是分母與分子同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，若分母是純虛數(shù)，則只需同時乘以i)．(2)利用某些特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果，如(1±i)2＝±2i，(－12±32i)3＝1，1i＝－i，1+i1-i＝i，跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算：(1)(－12+32i)(3(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)．題型2共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用例2(1)已知復(fù)數(shù)z＝3+i1-3i2，z是z的共軛復(fù)數(shù)，則A．14B．12C．1D(2)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是z，且z－z＝－4i，z·z＝13，試求zz狀元隨筆設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)→由條件得方程組，求x方法歸納(1)已知關(guān)于z和z的方程，而復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式未知，求z.解此類題的常規(guī)思路為：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＝a－bi，代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．(2)關(guān)于共軛復(fù)數(shù)的常用結(jié)論①z·z＝|z|2＝|z|2是共軛復(fù)數(shù)的常用性質(zhì)；②實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z∈R?z＝z，利用此性質(zhì)可以證明一個復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；③若z≠0且z＋z＝0，則z為純虛數(shù)，利用此性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)是純虛數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2已知復(fù)數(shù)z滿足z·z＋2i·z＝4＋2i，求復(fù)數(shù)z.題型3虛數(shù)單位i的冪的周期性及其應(yīng)用【思考探究】1.i4n，i4n＋1，i4n＋2，i4n＋3(n∈N)的結(jié)果分別是什么？[提示]1，i，－1，－i.2．in(n∈N)有幾種不同的結(jié)果？[提示]四種：1，i，－1，－i.3．in＋in＋1＋in＋2＋in＋3(n∈N)結(jié)果是多少？[提示]0.例3(1)計(jì)算：-23+i1+23i＋(2)若復(fù)數(shù)z＝1+i1-i，求1＋z＋z2＋…＋狀元隨筆將式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?、變形，使之出現(xiàn)in的形式，然后再根據(jù)in的值的特點(diǎn)計(jì)算求解．方法歸納(1)要熟記in的取值的周期性，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)，解題時要注意根據(jù)式子的特點(diǎn)創(chuàng)造條件使之與in聯(lián)系起來以便計(jì)算求值．(2)記住以下結(jié)果，可提高運(yùn)算速度①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②1-i1+i＝－i，1+i③1i＝－跟蹤訓(xùn)練3(1)若z＝1-i1+i，求1＋z＋z2＋…＋(2)2+2i1-i2＋(題型4復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一元二次方程(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)例4(1)若1＋2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個復(fù)數(shù)根，則()A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1(2)已知關(guān)于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的值為________.狀元隨筆(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求解；(2)設(shè)方程的實(shí)數(shù)根，利用復(fù)數(shù)相等的條件求解．方法歸納解決復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一元二次方程問題的注意點(diǎn)(1)與在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對比，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解決實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，根與系數(shù)的關(guān)系和求根公式仍然適用，但是判別式判斷方程根的功能就發(fā)生改變了．(2)解決復(fù)系數(shù)一元二次方程的基本方法是復(fù)數(shù)相等的充要條件．跟蹤訓(xùn)練4已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虛數(shù)單位)是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩個根，求p，q的值．10．2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識點(diǎn)一(ac－bd)＋(ad＋bc)i知識點(diǎn)二z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3知識點(diǎn)三(1)實(shí)軸(2)它本身(3)|z|2知識點(diǎn)四ac+bdc[基礎(chǔ)自測]1．解析：z＝1i＝－答案：A2．解析：7-i3+i＝7-i3答案：2－i3．解析：由z＝3-i1+2i，得|z|＝3-i答案：C4．解析：因?yàn)?a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以a-1=0，a+1=b，解得a=1，b=2，所以答案：1＋2i課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.(3)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.(4)8-i2+i＝8-i2(5)1+i31-i2＝-2+2i-2i(6)2+2i＝-20+16i1＝-441+41i82＝－跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)-12+＝-34-＝-32+＝-3＝－1+3(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝-2+3i1+2i＝-2+6+3+4例2【解析】(1)方法一因?yàn)閦＝3+i1-3i2＝-3i2+i1-3i2＝i1-3i1方法二因?yàn)閦＝3+i1-3i2，所以|z|＝3+i1-3i2＝3+i(2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則由條件可得(x+yi)即2yi=解得x=3，y=因此z＝3－2i或z＝－3－2i.于是zz＝3-2i3+2i＝3-2i23+2i3-2i＝5-12i13【答案】(1)A(2)見解析跟蹤訓(xùn)練2解析：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則z＝x－yi，由題意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，∴x2+y2∴z＝1＋3i或z＝1－i.例3【解析】(1)原式＝i＝i＋2-2i1010＝i＋i1010＝i＋i4×252i2＝－(2)1＋z＋z2＋…＋z2018＝1-而z＝1+i1-i＝1+i21所以1＋z＋z2＋…＋z2018＝1-i20191跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)∵z＝1-i1+i＝1-∴1＋z＋z2＋…＋z2019＝1-z20201-z＝1(2)原式＝21+i-2i＋(＝i(1＋i)＋(－i)1010＝i＋i2＋(－1)1010·i1010＝i－1＋i4×252＋2＝i－1－1＝i－2