1第一節(jié)微積分的起源陳省身：

了解歷史的變化，是了解這門科學的一個步驟。23一、數(shù)學無窮發(fā)展的萌芽4一、數(shù)學無窮發(fā)展的萌芽無窮作為一個極富迷人魅力的詞匯，長期以來就深深激動著人們的心靈。徹底弄清這一概念的實質(zhì)成為維護人類智力尊嚴的一種需要。而數(shù)學是“研究無限的學科”，因此數(shù)學就責無旁貸地擔當起征服無窮的重任。遠在兩千年以前，人們就已經(jīng)產(chǎn)生了對數(shù)學無窮的萌芽認識。5在畢達哥拉斯關(guān)于不可公度量的發(fā)現(xiàn)及關(guān)于數(shù)與無限這兩個概念的定義中已孕育了微積分學的關(guān)于無窮的思想方法。德謨克利特和柏拉圖學派探索過無窮小量觀念。歐多克索斯、安蒂豐、數(shù)學之神阿基米德所運用的窮竭法已備近代極限理論的雛形，尤其是阿基米德對窮竭法應用之熟練，使后人感到他在當時就已接近了微積分的邊緣。6由此，在數(shù)學無窮思想發(fā)展之初，古人就已在這個領(lǐng)域開創(chuàng)了一個光輝的起點。畢達哥拉斯(公元前570年～公元前500年)數(shù)學之神--阿基米德（公元前287年—公元前212年)在我國，著名的《莊子》一書中有言：“一尺之棰，日取其半，而萬世不竭?！睆闹芯涂审w現(xiàn)出我國早期對數(shù)學無窮的認識水平。而我國第一個創(chuàng)造性地將無窮思想運用到數(shù)學中，且運用相當自如的是魏晉時期著名數(shù)學家劉徽。他提出用增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來逼近圓的“割圓術(shù)”?！案钪畯浖殻浬?，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！?/p>

劉徽對數(shù)學無窮的認識已相當深刻，正是以“割圓術(shù)”為理論基礎(chǔ)，劉徽得出徽率，而其后繼者祖沖之更是得出了圓周率介于3.1415926與3.1415927之間的領(lǐng)先國外上千年的驚人成果。二、中國古代數(shù)學對微積分創(chuàng)立

的貢獻

二、中國古代數(shù)學對微積分創(chuàng)立

的貢獻

微積分的產(chǎn)生分三個階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學家一直追朔到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻。

微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學不能比擬的。公元前7世紀老莊哲學中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀《墨經(jīng)》中有了有窮、無窮、無限?。ㄗ钚o內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。微積分思想雖然可追朔古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學家沈括的《夢溪筆談》獨創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和的研究。南宋大數(shù)學家秦九韶于1274年撰寫了劃時代巨著《數(shù)書九章》十八卷，創(chuàng)舉世聞名的“大衍求一術(shù)”——增乘開方法解任意次數(shù)字（高次）方程近似解，比西方早500多年。13世紀40年代到14世紀初，在主要領(lǐng)域都達到了中國古代數(shù)學的高峰。中國古代數(shù)學有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。中國已具備了17世紀發(fā)明微積分前夕的全部內(nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門。可惜中國元朝以后，八股取士制造成了學術(shù)上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學在內(nèi)的科學日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了。三、芝諾悖論對“無限”的恐懼三、芝諾悖論對“無限”的恐懼古人對無窮已有了較深刻認識，然而人們對無限的認識是缺乏嚴密的邏輯基礎(chǔ)的。對于只熟知有限概念的人們來說“無限”這一概念仍然是陌生與神秘的。芝諾悖論的提出清楚地表明了這一點。公元前5世紀，芝諾發(fā)表態(tài)了著名的阿基里斯和烏龜賽跑悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍。當比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，設所用的時間為t，此時烏龜便領(lǐng)先他100米；當阿基里斯跑完下一個100米時，他所用的時間為t/10,烏龜仍然前于他10米。當阿基里斯跑完下一個10米時，他所用的時間為t/100，烏龜仍然前于他1米……芝諾解說，阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，但決不可能追上它。芝諾悖論癥結(jié)何在？四、牛頓的“流數(shù)術(shù)”

四、牛頓的“流數(shù)術(shù)”

十七世紀下半葉，經(jīng)歷了文藝復興運動的歐洲，社會生產(chǎn)力得到了空前的解放和提高。大量的實際問題推動著力學天文學的發(fā)展。如：航海事業(yè)需要精確的測定地球的經(jīng)緯度和制造準確的時鐘，促進了對天體運動的深入研究；船舶的改進必須探討流體以及物體在流體中的運動規(guī)律；而戰(zhàn)爭要求炮彈打的準確，則導致彈道學的研究。人們從大量的這類課題研究中，總結(jié)出力學的一些基本規(guī)律，如：牛頓力學運動三大定律，開普勒行星運動定律等等。各種運動研究中核心問題是：變速運動中已知路程求速度和已知速度求路程這兩個反向問題。這樣研究常量的初等數(shù)學就無能為力了，迫切需要數(shù)學突破傳統(tǒng)尋求能夠描述和解決變速運動的新工具——變量數(shù)學。微積分就是變量數(shù)學的基礎(chǔ)內(nèi)容，古人對無窮已有了較深刻認識，然而人們對無限的認識是缺乏嚴密的邏輯基礎(chǔ)的?？梢哉f，對于只熟知有限概念的人們來說“無限”這一概念仍然是陌生與神秘的。芝諾悖論的提出清楚地表明了這一點。為微積分的發(fā)展做出貢獻的眾多科學家中特別要提到的是笛卡爾和費馬關(guān)于解析幾何的工作，正是從常量數(shù)學到變量數(shù)學的轉(zhuǎn)折點，為微積分的產(chǎn)生提供了重要的數(shù)學前提。因為有了他們的變量概念并把描述運動的函數(shù)與幾何中的曲線統(tǒng)一起來，才能將力學的求速度和路程問題轉(zhuǎn)化為求切線和面積問題。眾多的科學家為微積分做出了貢獻，但他們沒有到關(guān)注兩者之間的相互關(guān)系,牛頓的老師巴羅看出了求切線問題和求曲線下面積之間的互逆關(guān)系，但是他沒有抓住這一點進一步探究其中所包含的普遍規(guī)律。勒奈·笛卡爾(ReneDescartes),1596-1650。偉大的哲學家、物理學家、數(shù)學家、生理學家。解析幾何的創(chuàng)始人。費馬(PierredeFermat，1601～1665）法國著名數(shù)學家，“業(yè)余數(shù)學家之王”。

牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，但這本書直到1736年才出版。他在這本書中把連續(xù)變量叫做流動量，流動量的導數(shù)叫流數(shù)。他的中心問題是：已知連續(xù)運動的路程求給定時刻的速度（微分）；已知速度求給定時間段內(nèi)的路程（積分）。艾薩克·牛頓伊撒克·牛頓(IsaacNewton),1643—1727.英國偉大的數(shù)學家、物理學家、天文學家和自然哲學家.五、萊布尼茲的微積分

五、萊布尼茲的微積分

德國萊布尼茲是一位博學多才的數(shù)學家，1684年他發(fā)表了世界上認為最早的微分文獻，《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量以及這種新方法的奇妙類型的計算》，雖然說這是一篇說理模糊的文章，但是卻有劃時代的意義，它含有現(xiàn)代微分的符號和微分法則。1686年萊布尼茲發(fā)表第一篇積分文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創(chuàng)設的微積分符號至今我們還在使用。戈特弗里德·威廉·萊布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz)1646－1716，德國哲學家、數(shù)學家。被譽為十七世紀的亞里士多德。和牛頓先后獨立發(fā)明了微積分。微積分學的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。

歷史上任何重大理論完成都要經(jīng)過長時間的不斷完善。微積分理論也不例外。牛頓、萊布尼茲的工作還都很不完善，他們在無窮和無窮小問題上的說法就非常含糊，不能自自圓其說，他們在這方面的欠缺最終導致了第二次數(shù)學危機的產(chǎn)生。30貝克萊悖論十七世紀后期，牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分學，成為解決眾多問題的重要而有力的工具，并在實際應用中獲得了巨大成功，然而，微積分學產(chǎn)生伊始，迎來的并非全是掌聲，在當時它還遭到了許多人的強烈攻擊和指責，原因在于當時的微積分主要建立在無窮小分析之上，而無窮小后來證明是包含邏輯矛盾的。311734年，大主教貝克萊寫了本《分析學家》的小冊子，在這本小冊子中，他十分有效地揭示了無窮小分析方法中所包含的這種邏輯矛盾。

例如，設自由落體在時間下落的距離為，有公式，其中是固定的重力加速度。我們要求物體在的瞬時速度，先求?！啵?）

當變成無窮小時，右端的也變成無窮小，因而上式右端就可以認為是，這就是物體在時的瞬時速度，它是兩個無窮小之比。牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題。但是邏輯上不嚴格，遭到責難。貝克萊的發(fā)難英國的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。貝克萊問道：“無窮小”作為一個量，究竟是不是0？

如果是0，上式左端當成無窮小后分母為0，就沒有意義了。如果不是0，上式右端的就不能任意去掉。在推出上式時，假定了才能做除法，所以上式的成立是以為前提的。那么，為什么又可以讓而求得瞬時速度呢？因此，牛頓的這一套運算方法，就如同從出發(fā)，兩端同除以0，得出5=3一樣的荒謬。（*）

貝克萊還諷刺挖苦說：即然和都變成“無窮小”了，而無窮小作為一個量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。這就是著名的“貝克萊悖論”。對牛頓微積分的這一責難并不是由數(shù)學家提出的，但貝克萊的質(zhì)問是擊中要害的數(shù)學家在將近200年的時間里，不能徹底反駁貝克萊的責難。直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了貝克萊的責難。直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“”語言，才徹底地反駁了貝克萊的責難。牛頓和萊布尼茨的創(chuàng)造性貢獻在于，他們明確地論述了微分和積分這兩個概念或過程的內(nèi)在的相互聯(lián)系：微分和積分是互逆的兩種運算。而這正是建立微積分學的關(guān)鍵所在。他們正是這一重要聯(lián)系的基礎(chǔ)上建立起系統(tǒng)的微積分學，建立起有效地處理變量問題的一整套數(shù)學方法。牛頓和萊布尼茨分別創(chuàng)建的微積分各有特色。首先，牛頓從力學或運動學的角度，從速度的變化問題開始。他把連續(xù)變化的量稱為流量，把無限小的時間間隔叫做瞬；而流量的速度，也就是流量在無限小時間內(nèi)的變化率，稱為流數(shù)，用上面帶點的字母x，y表示。牛頓建立了以流量、流數(shù)和瞬為基本概念的微積分學。而萊布尼茨從幾何學的角度，從求切線問題開始，突出了切線概念。他研究了求曲線的切線問題和求曲線下的面積問題的相互聯(lián)系，由此建立起微積分學。其次，牛頓作為物理學家，其工作方式是經(jīng)驗的、具體的和謹慎的，著力于將微積分成功地應用到許多實際問題，以證明微積分方法的價值。萊布尼茨身兼哲學家，他的工作和思想富于想像和大膽，更著重于把微積分從各種特殊問題中概括和提升