一、選擇題1.（2018山西省，8題，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6,將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C,此時(shí)點(diǎn)A'恰好在AB邊上，則點(diǎn)B'與點(diǎn)B之間的距離為()A．12 B．6 C．62 D．【答案】D【解析】解：連接B'B∵將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C,∴CA=CA’又∵∠A=60°∴△AA'C為等邊三角形∴∠ACA’=60°，即旋轉(zhuǎn)角為60°∴∠BCB’=∠ACA’=60°∴△BB'C為等邊三角形∴BB’=BC又∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°,AC=6,∴BB’=BC=6【知識(shí)點(diǎn)】銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)、等邊三角形2.（2018內(nèi)蒙古包頭，8，3分）如圖3，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的頂點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.若∠C+∠BAC＝145°，則∠EDC的度數(shù)為()A.17.5°B.12.5°C.12°D.10°【答案】D【思路分析】由∠C+∠BAC＝145°得知∠B＝35°；由AB＝AC得知∠B＝∠C＝35°；由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠AED＝45°，又∵∠AED＝∠EDC+∠C，∴∠EDC＝45°－35°＝10°.【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和；三角形外角的性質(zhì)3.（2018云南省昆明市，11，4分）在△AOC中，OB交AC于點(diǎn)D，量角器的擺放如圖所示，則∠CDO的度數(shù)為（）A．90°B．95°C．100°D．120°【答案】B．【解析】由量角器的擺放可知，∠BOA＝70°，∠COA＝130°，又∵OC＝OA，∴∠A＝∠C＝（180°－130°）＝25°，∵∠BOA＝70°，∠COA＝130°，∴∠COD＝∠COA－∠BOA＝130°－70°＝60°，∴∠CDO＝180°－∠COD－∠C＝180°－60°－25°＝95°，故選B．【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角；等腰三角形的性質(zhì)二、填空題1.（2018廣西省桂林市，16，3分）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是．【答案】3．【解題過程】∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴△BCD是等腰三角形，又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴∴△ABD是等腰三角形，故有3個(gè)等腰三角形．【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定；三角形的內(nèi)角和定理2.（2018黑龍江綏化，18，3分）已知等腰三角形的一個(gè)外角為130°，則它的頂角的度數(shù)為.【答案】50°或80°.【解析】解：當(dāng)?shù)妊切雾斀堑耐饨菫?30°時(shí)，頂角為180°-130°=50°；當(dāng)?shù)妊切蔚捉堑耐饨菫?30°時(shí)，頂角為180°-2(180°-130°)=80°.故答案為50°或80°.【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)3.（2018湖南婁底，16，3）如圖，中，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，則.【答案】6【解析】過點(diǎn)D作，對(duì)用等面積法，得到DF=DE+DH，再三線合一得到AD是角平分線，進(jìn)一步得到DE=DH，故答案為6【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形三線合一、等面積法4.（2018吉林長(zhǎng)春，12，3分）如圖，在ΔABC中，AB=AC.以點(diǎn)C為圓心，以CB長(zhǎng)為半徑作圓弧，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連結(jié)BD.若∠A=32°，則∠CDB的大小為度.(第12題)【答案】37【解析】∵AB=AC，∠A=32°∴∠ACB=(180°－32°)÷2=74°由尺規(guī)作圖知，CB=CD∴∠CBD=∠CDB又∵∠CBD+∠CDB=∠ACB∴∠CDB=∠ACB=37°【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形，三角形內(nèi)角和，尺規(guī)作圖，外角5.（2018吉林省，14,2分）我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k=，則該等腰三角形的頂角為度．【答案】36【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．設(shè)頂角為α，則其底角為，由k=，可得=2α，解出α=36°?！局R(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)．6.（2018青海，6，2分）如圖2，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEC，連接AD，若∠BAC=25°，則∠BAD=.圖2【答案】70°【解析】∵Rt△ABC繞其直角頂點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DEC，∴AC=CD，∠CDE=∠BAC=25°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=45°+25°=70°．【知識(shí)點(diǎn)】等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)7.(2018遼寧葫蘆島，18，3分)如圖，∠MON＝30°，點(diǎn)B1在邊OM上，且OB1＝2，，過點(diǎn)B1作B1A1⊥OM交ON于點(diǎn)A1，以A1B1為邊在A1B1的右側(cè)作等邊三角形A1B1C1，過過點(diǎn)C1作OM的垂線分別交OM，ON于點(diǎn)B2，A2，以B2A2為邊在A2B2的右側(cè)作等邊三角形A2B2C2，過點(diǎn)C2作OM的垂線分別交OM，ON于點(diǎn)B3，A3，以B3A3為邊在A3B3的右側(cè)作等邊三角形A3B3C3…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則△AnAn+1Cn的面積為__________(用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示)．【答案】，【解析】根據(jù)題意，得△的序號(hào)邊長(zhǎng)高S△△A1A2C11△A2A3C2△A3A4C3＝△A4A5C4＝△AnAn+1Cn8.(2018湖南邵陽，17，3分)如圖(十)所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°將△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處．若AE＝，則BC的長(zhǎng)是_________．圖(十)【答案】：，【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠BCD＝72°．∵將△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，∴根據(jù)折疊原理可得△AED≌△CED．∴AE＝CE，∠A＝∠ECD＝36°．∴∠BCE＝∠BCD－∠ECD＝72°－36°＝36°．∴∠BEC＝180°－∠B－∠BCE＝180°－72°－36°＝72°．∴∠BEC＝∠B．∴BC＝CE．∵AE＝，∴BC＝CE＝AE＝．9.（2018年浙江省義烏市，14，5）等腰三角形ABC中，頂角A為40°，點(diǎn)P在以A為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓上，且BP=BA，則∠PBC的度數(shù)為____________．【答案】30°或110°【解析】根據(jù)題目意思作出圖形（如圖），當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)時(shí)．連接AP．∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∵AB=AB，AC=PB，BC=PA，∴△ABC≌△BAP，∴∠ABP=∠BAC=40°，∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°，當(dāng)點(diǎn)P′在AB的左側(cè)時(shí)，同法可得∠ABP′=40°，∴∠P′BC=40°+70°=110°，故答案為30°或110°．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)三、解答題1.（2018浙江嘉興，19，6）已知：在△ABC中，AB＝AC，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，且DE＝DF．求證：△ABC是等邊三角形．【思路分析】通過證明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A＝∠C，從而得到AB＝BC，從而AB＝AC＝BC．證明：∵AB＝AC．∴∠B＝∠C．∵DE⊥AB，DF⊥BC．∴∠DEA＝∠DFC＝Rt∠．∵D為AC的中點(diǎn)．∴DA＝DC．又∵DE＝DF．∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．∴∠A＝∠C．∴∠A＝∠B＝∠C．∴△ABC是等邊三角形．（其他方法如：連接BD，運(yùn)用角平分線性質(zhì)，或等積法均可．）2.（2018青海，27，11分）請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問題.（1）探究1：如圖17-1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD.求證：△BCD的面積為12（提示：過點(diǎn)D作BC邊上的高DE，可證△ABC≌△BDE）圖17-1（2）探究2：如圖17-2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD.請(qǐng)用含a式子表示△BCD的面積，并說明理由.圖17-2（3）探究3：如圖17-3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD.試探究用含a式子表示△BCD的面積，要有探究過程.圖17-3【思路分析】（1）過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．進(jìn)而由三角形的面積；（3）過點(diǎn)A作AF⊥BC與F，過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)可以得出BF=BC，由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論．【解題過程】（1）過點(diǎn)D作DE⊥CB延長(zhǎng)線∵△ABC是等腰三角形∴∠ABC=45°又∵∠ABD=90°∴∠DBE=45°‘∴BE=DE∵∠A=∠EDB∴AB=DB∴∠ABC=∠DBE∴△ABC≌△BDE（ASA）∴DE=a=BC∴S△BCD=BC×DE×12=1（2）證明：如圖，過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．∴∠BED=∠ACB=90°．∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°．∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°．∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS）∴BC=DE=a．∵S△BCD=BC?DE∴S△BCD=；（3）如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC與F，過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a．∴∠FAB+∠ABF=90°．∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．∵線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的，∴AB=BD．在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF=DE=a．∵S△BCD=BC?DE，∴S△BCD=?a?a=a2．∴△BCD的面積為．【知識(shí)點(diǎn)】等腰直角三角形，等腰三角形，全等三角形，旋轉(zhuǎn)，三角形的面積3.（2018江蘇常州，27，10）(本小題滿分10分)(1)如圖1，已知EK垂直平分BC，垂足為D，AB與EK相交于點(diǎn)F，連接CF．求證:∠AFE=∠CFD;(2)如圖2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P為MN的中點(diǎn)．①用直尺和圓規(guī)在GN邊上求作點(diǎn)Q，使得∠GQM=∠PQN(保留作圖痕跡，不要求寫作法）．②在①的條件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中點(diǎn)嗎?為什么?【解答過程】（1）∵EK垂直平分BC，點(diǎn)F在EK上，∴FC=FB，且∠CFD=∠BFD∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠CFD（2）如圖所示，點(diǎn)Q為所求作的點(diǎn).Q是GN的中點(diǎn)。Q是GN的中點(diǎn)?！摺螱=60°，∠M=90°，∴∠GNM=30°由①作圖可知，PN=HN，∠HNG=∠GNP=30°，可得ΔHPN為等邊三角形。又∵P為MN的中點(diǎn)，∴HP=PN=PM，∴∠QMN=30°=∠QNM，∴MQ=QN又可得∠GMQ=60°，則ΔGMQ為等邊三角形，因而MQ=GQ∴GQ=QN，即Q為GN的中點(diǎn)。4.（2018江蘇鎮(zhèn)江，22，6分）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，BE＝CF，點(diǎn)D在AF的延長(zhǎng)線上，AD＝AC．（1）求證：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE＝30°，則∠ADC＝________°．（第（第22題圖）【思路分析】（1）利用SAS證明；（2）由（1）知△ABE≌△ACF，所以∠CAF＝∠BAE＝30°，又因?yàn)锳D＝AC，所以∠ADC＝∠ACD＝＝75°．【解答過程】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF．在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF．（2）75．5.（2018年浙江省義烏市，22，12）數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：