近五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編八、三角函數(shù)與解三角形（答案解析）1．C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【解析】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．2．C【分析】利用輔助角公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)最小正周期和最大值的求法確定正確選項(xiàng).【解析】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C．3．C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個代數(shù)式不可能均大于，再結(jié)合特例可得三式中大于的個數(shù)的最大值.【解析】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選：C.4．D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【解析】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.5．B【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案．【解析】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故選：B．6．A【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【解析】，，，，解得，，.故選：A.7．A【解析】因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A8．A【分析】利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出．【解析】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.9．B【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達(dá)式；解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達(dá)式.【解析】解法一：函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象，根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.10．D【解析】由題意，.故選：D.11．B【解析】因?yàn)?，所以周期，故①正確；，故②不正確；將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度，得到的圖象，故③正確.故選：B.12．A【分析】計(jì)算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長，利用它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值可得出結(jié)果.【解析】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對應(yīng)的圓心角為，每條邊長為，所以，單位圓的內(nèi)接正邊形的周長為，單位圓的外切正邊形的每條邊長為，其周長為，，則.故選：A.【小結(jié)】本題考查圓周率的近似值的計(jì)算，根據(jù)題意計(jì)算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.13．B【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【解析】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.14．C【分析】由圖可得：函數(shù)圖象過點(diǎn)，即可得到，結(jié)合是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個交點(diǎn)即可得到，即可求得，再利用三角函數(shù)周期公式即可得解.【解析】由圖可得：函數(shù)圖象過點(diǎn)，將它代入函數(shù)可得：又是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個交點(diǎn)，所以，解得：所以函數(shù)的最小正周期為故選：C15．B【分析】由題意首先確定面積最大時點(diǎn)P的位置，然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.【解析】觀察圖象可知，當(dāng)P為弧AB的中點(diǎn)時，陰影部分的面積S取最大值，此時∠BOP=∠AOP=π-β,面積S的最大值為+S△POB+S△POA=4β+.故選B.16．C【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，∴；又，，又∴，故選C．17．D【解析】當(dāng)時，，∵f（x）在有且僅有5個零點(diǎn)，∴，∴，故④正確，由，知時，令時取得極大值，①正確；極小值點(diǎn)不確定，可能是2個也可能是3個，②不正確；因此由選項(xiàng)可知只需判斷③是否正確即可得到答案，當(dāng)時，，若f（x）在單調(diào)遞增，則，即，∵，故③正確．故選D．【小結(jié)】極小值點(diǎn)個數(shù)動態(tài)的，易錯，③正確性考查需認(rèn)真計(jì)算，易出錯，本題主要考查了整體換元的思想解三角函數(shù)問題，屬于中檔題．18．A【分析】從極值點(diǎn)可得函數(shù)的周期，結(jié)合周期公式可得.【解析】由題意知，的周期，得．故選A．【小結(jié)】本題考查三角函數(shù)的極值、最值和周期，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取公式法，利用方程思想解題．19．A【分析】利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.【解析】解析：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【小結(jié)】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用．20．D【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A，再注意到選項(xiàng)的區(qū)別，利用特殊值得正確答案．【解析】由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．又．故選D．【小結(jié)】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．21．C【解析】分析：逐個分析A、B、C、D四個選項(xiàng)，利用三角函數(shù)的三角函數(shù)線可得正確結(jié)論.解析：由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線.A選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時，，，故A選項(xiàng)錯誤；B選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時，，，，故B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時，，，，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：點(diǎn)在上且在第三象限，，故D選項(xiàng)錯誤.綜上，故選C.小結(jié)：此題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖形，找到所對應(yīng)的三角函數(shù)線進(jìn)行比較.22．C【解析】分析：利用面積公式和余弦定理進(jìn)行計(jì)算可得．解析：由題可知所以由余弦定理所以故選C.小結(jié)：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理．23．C【解析】分析:將函數(shù)進(jìn)行化簡即可解析：由已知得的最小正周期故選C.小結(jié)：本題主要考查三角函數(shù)的化簡和最小正周期公式，屬于中檔題24．B【分析】首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，將解析式化簡為，之后應(yīng)用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關(guān)的量，從而得到正確選項(xiàng).【解析】根據(jù)題意有，所以函數(shù)的最小正周期為，且最大值為，故選B.【小結(jié)】該題考查的是有關(guān)化簡三角函數(shù)解析式，并且通過余弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)的性質(zhì)，在解題的過程中，要注意應(yīng)用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結(jié)果.25．A【解析】分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值.解析：因?yàn)?，所以由得因此，從而的最大值為，選A.小結(jié)：函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)周期(3)由求對稱軸，(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.26．B【分析】首先根據(jù)兩點(diǎn)都在角的終邊上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函數(shù)的定義式，求得，從而得到，再結(jié)合，從而得到，從而確定選項(xiàng).【解析】由三點(diǎn)共線，從而得到，因?yàn)椋獾?，即，所以，故選B.【小結(jié)】該題考查的是有關(guān)角的終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差值的問題，涉及到的知識點(diǎn)有共線的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，余弦的倍角公式，余弦函數(shù)的定義式，根據(jù)題中的條件，得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果.27．D【分析】由題意比較函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的特征，逐項(xiàng)判斷即可得解.【解析】當(dāng)x＝1時，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C；當(dāng)x→＋∞時，y→＋∞，排除B.故選：D.【小結(jié)】本題考查了函數(shù)圖象的識別，抓住函數(shù)圖象的差異是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.28．A【解析】試題分析：因?yàn)閍=c,所以∠A=∠C=75°．所以由余弦定理可得b2=a考點(diǎn)：余弦定理．29．C【分析】試題分析：當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，故選C.考點(diǎn)：三角函數(shù)30．C【解析】試題分析：因?yàn)樵瓉砗瘮?shù)即為，令，則，令，又因?yàn)槿粝噜徑稽c(diǎn)距離的最小值為，則以正弦函數(shù)為研究對象，取符合要求的兩角：，對應(yīng)有，此時，所以.考點(diǎn)：輔助角公式，正弦函數(shù)的圖像，三角函數(shù)的周期公式.31．A【分析】故選A【解析】請?jiān)诖溯斎虢馕觯?2．D【解析】試題分析：向右平移個單位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).【名師小結(jié)】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題，高考題對于三角函數(shù)的考查，多以為背景來考查其性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵：一是會化簡，熟悉三角恒等變形，對三角函數(shù)進(jìn)行化簡；二是會用性質(zhì)，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性，周期性，對稱性，奇偶性等.33．C【解析】試題分析：對于選項(xiàng)，只需考慮即可，而，故正確；對于選項(xiàng)，只需考慮是否成立即可，而，故正確；對于選項(xiàng)，，故是奇函數(shù)，有，故周期是，故正確；對于選項(xiàng)，，令，則，求導(dǎo)，令解得，故在上單增，在與上單減，又當(dāng)時；又當(dāng)時，故C錯誤.考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性；2.函數(shù)的最值求解.34．C【解析】，由題設(shè)的周期為，∴，由得，，故選C.35．D【解析】把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=cos2x圖象，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的圖象，即曲線C2，故選D．小結(jié)：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).36．A【解析】所以，選A.【名師小結(jié)】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形.首先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，，的式子，用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到.解答三角形中的問題時，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個隱含條件，不容忽視.37．A【解析】.所以選A.【小結(jié)】本題考查了二倍角及同角正余弦的差與積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.38．C【解析】由題意，故選C．【名師小結(jié)】函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)最小正周期(3)由求對稱軸.(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.39．D【解析】f(x)的最小正周期為2π，易知A正確；f＝cos＝cos3π＝－1，為f(x)的最小值，故B正確；∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正確；由于f＝cos＝cosπ＝－1，為f(x)的最小值，故f(x)在上不單調(diào)，故D錯誤．故選D.40．A【解析】由題意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故選A．【考點(diǎn)】求三角函數(shù)的解析式【名師小結(jié)】有關(guān)問題，一種為提供函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先根據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定，再根據(jù)周期或周期或周期求出，最后再利用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)坐標(biāo)滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時根據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點(diǎn)，如對稱軸或曲線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等.41．A【解析】由誘導(dǎo)公式可得，則,函數(shù)的最大值為.所以選A.【名師小結(jié)】三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為的形式，再借助三角函數(shù)的圖像研究性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．42．B【解析】試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計(jì)算即可解析：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．小結(jié)：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.43．BC【分析】首先利用周期確定的值，然后確定的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導(dǎo)公式可得正確結(jié)果.【解析】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,當(dāng)時，，解得：，即函數(shù)的解析式為：.而故選：BC.【小結(jié)】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.44．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）由題設(shè)，應(yīng)用余弦定理求、，又，可得，結(jié)合已知及余弦定理即可求.【解析】（1）由題設(shè)，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得證.（2）由題意知：，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，；綜上，.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：第二問，根據(jù)余弦定理及得到的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已知條件及余弦定理求.45．（1）；（2）.【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.【解析】（1）由輔助角公式得，則，所以該函數(shù)的最小正周期;（2）由題意，，由可得，所以當(dāng)即時，函數(shù)取最大值.46．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理運(yùn)算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先計(jì)算出進(jìn)一步求出，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【解析】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因?yàn)?，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角為銳角，由，可得，進(jìn)而，所以.【點(diǎn)晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.47．選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【分析】選擇條件①（Ⅰ）根據(jù)余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得,再根據(jù)正弦定理求,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；選擇條件②（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得，再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，（Ⅱ）根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.【解析】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【小結(jié)】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.48．（I）；（II）【分析】（I）首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定∠B的大??；（II）結(jié)合(1)的結(jié)論將含有三個角的三角函數(shù)式化簡為只含有∠A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定∠A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.【解析】（I）由結(jié)合正弦定理可得：△ABC為銳角三角形，故.（II）結(jié)合(1)的結(jié)論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.【小結(jié)】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求最值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.49．詳見解析【分析】解法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關(guān)系，根據(jù)比例關(guān)系，設(shè)出長度長度，由余弦定理得到的長度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.解法二：利用誘導(dǎo)公式和兩角和的三角函數(shù)公式求得的值，得到角的值，然后根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.【解析】解法一：由可得：，不妨設(shè)，則：，即.選擇條件①的解析：據(jù)此可得：，，此時.選擇條件②的解析：據(jù)此可得：，則：，此時：，則：.選擇條件③的解析：可得，，與條件矛盾，則問題中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若選①，,∵,∴,∴c=1;若選②，,則,;若選③,與條件矛盾.【小結(jié)】在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．50．（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）根據(jù)的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進(jìn)而求得的值.【解析】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.【小結(jié)】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，屬于中檔題.51．（1）；（2）.【分析】（1）已知角和邊，結(jié)合關(guān)系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面積公式，即可得出結(jié)論；（2）將代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡得出有關(guān)角的三角函數(shù)值，結(jié)合的范圍，即可求解.【解析】（1）由余弦定理可得，的面積；（2），，，.【小結(jié)】本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.52．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.【解析】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），周長，周長的最大值為.【小結(jié)】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長最大值的求解問題；求解周長最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.53．（1）；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，可化為，即可解出；（2）根據(jù)余弦定理可得，將代入可找到關(guān)系，再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出．【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，解得，又，所以；?）因?yàn)?，所以，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．【小結(jié)】本題主要考查誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系的應(yīng)用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題．54．（1）；（2）.【分析】(1)由題意結(jié)合余弦定理得到關(guān)于c的方程，解方程可得邊長c的值；(2)由題意結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系首先求得的值，然后由誘導(dǎo)公式可得的值.【解析】（1）因?yàn)?，由余弦定理，得，?所以.（2）因?yàn)?，由正弦定理，得，所?從而，即，故.因?yàn)?，所以，從?因此.【小結(jié)】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.55．(Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.【解析】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，又由，得，即.又因?yàn)?，得到?由余弦定理可得.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，從而，.故.【小結(jié)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查計(jì)算求解能力.56．(Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值；(Ⅱ)由題意結(jié)合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值.【解析】(Ⅰ)由題意可得：，解得：.(Ⅱ)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：，結(jié)合正弦定理可得：，很明顯角C為銳角，故，故.【小結(jié)】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角和差正余弦公式的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.57．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理化簡已知邊角關(guān)系式可得：，從而可整理出，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可得，利用、兩角和差正弦公式可得關(guān)于和的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解方程可求得結(jié)果.【解析】（1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因?yàn)樗?，?（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.【小結(jié)】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.58．(1);(2).【分析】(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個內(nèi)角都小于來計(jì)算的定義域，最后求解的值域.【解析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)?，故，消去得．，因?yàn)楣驶蛘?，而根?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)?，代入得，所?(2)因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是【小結(jié)】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，和正弦定理或者余弦定理的使用（此題也可以用余弦定理求解），最后考查是銳角三角形這個條件的利用．考查的很全面，是一道很好的考題.59．（1）；（2）或；（3）【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)周期性的特點(diǎn)，可知數(shù)列周期為，從而得到；（2）恰好有兩個元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次討論的情況，當(dāng)時，均可得到符合題意的集合；當(dāng)時，對于，均無法得到符合題意的集合，從而通過討論可知.【解析】（1），，，，，，由周期性可知，以為周期進(jìn)行循環(huán)（2），，恰好有兩個元素或即或或（3）由恰好有個元素可知：當(dāng)時，，集合，符合題意；當(dāng)時，，或因?yàn)闉楣畹牡炔顢?shù)列，故又，故當(dāng)時，如圖取，，符合條件當(dāng)時，，或因?yàn)闉楣畹牡炔顢?shù)列，故又，故當(dāng)時，如圖取，，符合條件當(dāng)時，，或因?yàn)闉楣畹牡炔顢?shù)列，故又，故當(dāng)時，如圖取時，，符合條件當(dāng)時，，或因?yàn)闉楣畹牡炔顢?shù)列，故又，故當(dāng)時，因?yàn)閷?yīng)個正弦值，故必有一個正弦值對應(yīng)三個點(diǎn)，必然有，即，即，,不符合條件；當(dāng)時，因?yàn)閷?yīng)個正弦值，故必有一個正弦值對應(yīng)三個點(diǎn)，必然有，即，即，不是整數(shù)，故不符合條件；當(dāng)時，因?yàn)閷?yīng)個正弦值，故必有一個正弦值對應(yīng)三個點(diǎn)，必然有或若，即，不是整數(shù)，若，即，不是整數(shù)，故不符合條件；綜上：【小結(jié)】本題考查三角函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)周期性的綜合應(yīng)用問題.解題的難點(diǎn)在于能夠周期，確定等量關(guān)系，從而得到的取值，再根據(jù)集合的元素個數(shù)，討論可能的取值情況，通過特殊值確定滿足條件的；對于無法取得特殊值的情況，找到不滿足條件的具體原因.本題對于學(xué)生的綜合應(yīng)用能力要求較高，屬于難題.60．(1);(2)或或.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和三角形的函數(shù)的性質(zhì)即可求出，（2）先求出a的值，再根據(jù)三角形函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【解析】（1）∵，∴，∵為偶函數(shù)，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或【小結(jié)】本題考查了三角函數(shù)的化簡和求值，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．61．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（I）將化簡整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根據(jù)，可求的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)，可得參數(shù)的取值范圍.【解析】（Ⅰ），所以的最小正周期為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因?yàn)椋?要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1.所以，即.所以的最小值為.小結(jié)：本題主要考查三角函數(shù)的有關(guān)知識，解題時要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，化簡時要注意特殊角三角函數(shù)值記憶的準(zhǔn)確性，及公式中符號的正負(fù).62．（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【分析】分析：（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式得結(jié)果，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，最后根據(jù)，利用兩角差的余弦公式求結(jié)果.【解析】解析：（Ⅰ）由角的終邊過點(diǎn)得，所以.（Ⅱ）由角的終邊過點(diǎn)得，由得.由得，所以或.小結(jié)：三角函數(shù)求值的兩種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.63．(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，則B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．結(jié)合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得解析：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因?yàn)?，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因?yàn)閍<c，故．因此，所以，小結(jié)：在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．64．（1）（2）=ccosB=【解析】（Ⅰ）由，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由題意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．65．(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】試題分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡得到由題設(shè)知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得從而.根據(jù)得到，進(jìn)一步求最小值.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以由題設(shè)知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因?yàn)?，所以，?dāng)，即時，取得最小值.【名師小結(jié)】此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題易錯點(diǎn)在于一是圖象的變換與解析式的對應(yīng)，二是忽視設(shè)定角的范圍.難度不大，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.66．（1），；（2）.【解析】試題分析：（1）先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出從而可得的值，再根據(jù)余弦定理列方程即可求出邊長的值；（2）先根據(jù)余弦定理求出，求出的長，可得，從而得到，進(jìn)而可得結(jié)果.試題解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.(2)，，，，，.67．(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計(jì)算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.小結(jié):在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.68．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A為鈍角，所以.于是，，故.考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師小結(jié)】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.69．（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）解：在中，因?yàn)?，故由，可?由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，.故.考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師小結(jié)】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.70．（I）2；（II）的最小正周期是，.【分析】（Ⅰ）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．（Ⅱ）直接利用函數(shù)的關(guān)系式，求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．【解析】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsinxcosx，＝﹣cos2xsin2x，＝﹣2，則f（）＝﹣2sin（）＝2，（Ⅱ）因?yàn)椋缘淖钚≌芷谑牵烧液瘮?shù)的性質(zhì)得，解得，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是．【小結(jié)】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，以及函數(shù)的性質(zhì)，是高考中的?？贾R點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)的重要性；三角函數(shù)解答題中，涉及到周期，單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間以及最值等考點(diǎn)時，都屬于考查三角函數(shù)的性質(zhì)，首先應(yīng)把它化為三角函數(shù)的基本形式即，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．71．（1）；（2）2．【解析】試題分析：（1）利用三角形的內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡，利用降冪公式化簡，結(jié)合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理即可求出.試題解析：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴．72．（1）（2）見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）首先根據(jù)兩角差的余弦公式化簡，再根據(jù)輔助角公式化簡為，最后根據(jù)公式求周期；（Ⅱ）先求的范圍再求函數(shù)的最小值.試題解析:（Ⅰ）.所以的最小正周期.（Ⅱ）因?yàn)?，所?所以.所以當(dāng)時，.【名師小結(jié)】本題考查三角函數(shù)式的恒等變形及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，要求準(zhǔn)確應(yīng)用兩角差的余弦公式和輔助角公式進(jìn)行變形，化為標(biāo)準(zhǔn)的的形式，借助正弦函數(shù)的性質(zhì)去求函數(shù)的周期、最值等，但要注意函數(shù)的定義域，求最值時要注意自變量的取值.73．（1）（2）時，取到最大值3；時，取到最小值.【分析】（1）根據(jù)，利用向量平行的充要條件建立等式，即可求x的值．（2）根據(jù)求解求函數(shù)y＝f（x）解析式，化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解最大值和最小值及對應(yīng)的x的值．【解析】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴當(dāng)時，即x＝0時f（x）max＝3；當(dāng)，即時．【小結(jié)】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)用以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．74．【分析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.【解析】由題意可得：，當(dāng)時，，令可得：，據(jù)此有：.故答案為：.【小結(jié)】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.75．2【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數(shù)或驗(yàn)證數(shù)值可得.【解析】由圖可知，即，所以；由五點(diǎn)法可得，即；所以