2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考I卷）壓軸真題解讀壓軸真題解讀7.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C【解后反思】充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題．(2)集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題．8.已知，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，而，因此，則，所以.故選：B【解后反思】運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（）．A. B.C.是偶函數(shù) D.為的極小值點(diǎn)【答案】ABC【解析】方法一：因?yàn)椋瑢τ贏，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無極值，故錯(cuò)誤.方法二：因?yàn)?，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對于D，當(dāng)時(shí)，對兩邊同時(shí)除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.故選：.【解后反思】函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況．12.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）A.直徑為的球體B.所有棱長均為的四面體C.底面直徑為，高為的圓柱體D.底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)椋辞蝮w的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點(diǎn)作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.【解后反思】“接”的問題處理規(guī)律(1)旋轉(zhuǎn)體的外接球：常用的解題方法是過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)多面體的外接球：常用的解題方法是將多面體還原到正方體和長方體中再去求解．①若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體，利用2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)求R.②一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐問題：可補(bǔ)形成直三棱柱．先借助幾何體的幾何特征確定球心位置，然后把半徑放在直角三角形中求解．16.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為________．【答案】【解析】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因?yàn)?，所以，則，又，所以，則，又點(diǎn)在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.【解后反思】求雙曲線離心率的方法(1)直接法：若可求得a，c，則直接利用e＝eq\f(c,a)得解．(2)解方程法：若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．21.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【思維導(dǎo)引】（1）全概率公式直接求解；（2）設(shè)→→構(gòu)造等比數(shù)列求解；（3）求出兩點(diǎn)分布的期望→根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式求解．【解析】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，故．【解后反思】求離散型隨機(jī)變量ξ的均值的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每個(gè)值的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)由均值的定義求E(ξ)．22.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長大于．【思維導(dǎo)引】（1）設(shè)→→化簡求解；（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，且→分別令，，且→放縮法得→設(shè)函數(shù)→利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值→排除邊界值即可.法二：設(shè)直線的方程為→與拋物線方程聯(lián)立→弦長公式和放縮法→→換元法和求導(dǎo)→求出周長最值→再排除邊界值即可.【解析】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡得，故.（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，則,令，同理令，且，則，設(shè)矩形周長為,由對稱性不妨設(shè)，，則.，易知則令令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，故,即.當(dāng)時(shí),,且，即時(shí)等號成立，矛盾，故,得證.法二：不妨設(shè)在上，且，依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，則設(shè),的斜率分別為和，由對稱性，不妨設(shè)，直線的方程為，則聯(lián)立得，，則則，同理，令，則，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時(shí)不一致，故.【解后反思】圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過定點(diǎn)等；數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點(diǎn)共線等．在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，要多采用直接法證明，但有時(shí)也會用到反證法．

壓軸模擬專練壓軸模擬專練1．（2023秋·安徽蕪湖聯(lián)考）“數(shù)列，都是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若數(shù)列，都是等差數(shù)列，則設(shè)數(shù)列，的公差分別為，所以為常數(shù)，所以數(shù)列是等差數(shù)列，若數(shù)列是等差數(shù)列，如是等差數(shù)列，而此時(shí)均不是等差數(shù)列，所以“數(shù)列，都是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充分不必要條件故選：A.2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知圓C：，點(diǎn)，，則“”是“直線AB與圓C有公共點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】圓C：的圓心為,半徑R.由點(diǎn)，求出直線AB的方程為：.所以圓心C到直線AB的距離為.充分性：時(shí)，有，所以直線直線AB與圓C相交，有公共點(diǎn)，故充分性滿足；必要性：“直線AB與圓C有公共點(diǎn)”，則有，即“”，故必要性不滿足.所以“”是“直線AB與圓C有公共點(diǎn)”的充分不必要條件.故選：A.3．（2023秋·河南鄭州二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?所以又因?yàn)?，所以，對等式兩邊去括號，并移?xiàng)整理得，，所以，所以，即，所以.故選：A.4．（2023·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意可知，，即，即，得，因?yàn)椋?，所以，?故選：D5．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是（

）A．函數(shù)的周期為2 B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)為偶函數(shù) D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱【答案】BC【解析】依題意，上的函數(shù)，，則，函數(shù)的周期為4，A錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，則，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且，即，函數(shù)圖象關(guān)于對稱，B正確；由得，則函數(shù)為偶函數(shù)，C正確；由得，由得，因此，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，D錯(cuò)誤.故選：BC6．（2023·云南昆明·昆明市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對任意，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，則（

）A．函數(shù)是R上的減函數(shù) B．函數(shù)是奇函數(shù)C．若，則的解集為 D．函數(shù)()+為偶函數(shù)【答案】ABC【解析】設(shè)，且，，則，而，又當(dāng)時(shí)，恒成立，即，，函數(shù)是R上的減函數(shù)，A正確；由，令可得，解得，令可得，即，而，，而函數(shù)的定義域?yàn)镽，故函數(shù)是奇函數(shù)，B正確；令可得，解得，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的減函數(shù)，所以，C正確；令，易知定義域?yàn)镽，因?yàn)?，顯然不恒成立，所以不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：ABC.7．（2023春·云南省玉溪第一中學(xué)?？计谥校┱嗝骟w因?yàn)榫鶆驅(qū)ΨQ的完美性質(zhì)，經(jīng)常被用作裝飾材料.正多面體又叫柏拉圖多面體，因古希臘哲學(xué)家柏拉圖及其追隨者的研究而得名.最簡單的正多面體是正四面體.已知正四面體的所有棱長均為2，則下列結(jié)論正確的是（

）A．異面直線與所成角為B．點(diǎn)到平面的距離為C．四面體的外接球體積為D．四面體的內(nèi)切球表面積為【答案】BCD【解析】

由題意，四面體為正四面體，取底面的中心為，連接并延長，交于，則為的中點(diǎn)，且，連接，則平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A錯(cuò)；由四面體的所有棱長為，得，又，，故B正確；設(shè)四面體的外接球的球心為，半徑為，連接，則，解得，則四面體的外接球的體積為，故C正確；根據(jù)對稱性，正四面體的外接球和內(nèi)切球球心均是，設(shè)正四面體內(nèi)切球半徑為，則，又，，所以,則四面體的內(nèi)切球表面積為.故D正確.故選：BCD8．（2023秋·江蘇常州·高三?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的表面積等于，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則以下結(jié)論正確的是（

）A．圓錐底面圓的半徑為2cmB．該圓錐的內(nèi)接圓柱（圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面在圓錐的側(cè)面上）的側(cè)面積的最大值為C．該圓錐的內(nèi)接圓柱的體積的最大值時(shí)，圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為D．該圓錐的內(nèi)切球的表面積為【答案】ABC【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，母線長為，依題意得，所以，根據(jù)圓錐的表面積為，解得cm,所以A正確;如圖為圓錐和內(nèi)接圓柱體的軸截面，由題可知，，設(shè)由相似關(guān)系得,即，解得，則內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于，當(dāng)時(shí)側(cè)面積最大，等于，所以B正確;內(nèi)接圓柱的體積等于，，令，解得，令，解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí)圓柱體積最大，此時(shí)圓柱的高為，圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為，所以C正確;設(shè)內(nèi)切圓的圓心為半徑為，因?yàn)?即所以因?yàn)閳A錐的內(nèi)切球的半徑等于，所以內(nèi)切球的體積等于，所以D錯(cuò)誤.故選:ABC.9．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的一條漸近線上一點(diǎn)，且．若的面積為，則雙曲線的離心率為________．【解析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，其中，易知、，，，因?yàn)?，則，因?yàn)?，解得，即點(diǎn)，所以，，所以，，所以，，因此，雙曲線的離心率為.10．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，圓，過點(diǎn)作圓的切線交雙曲線的右支于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率是___________.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，且，可得，設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，則且，如圖所示，，可得，且，所以，所以，所以，由雙曲線的定義，可得，即，所以，可得，整理得，即，解得或（舍去），所以雙曲線的離心率為.

11．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┕信e行數(shù)學(xué)競賽，競賽分為初賽和決賽兩階段進(jìn)行.初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)學(xué)年派出兩名同學(xué)，且每名同學(xué)都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的同學(xué)才具備參與決賽的資格.高三學(xué)年派出甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且每名同學(xué)所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.(1)若高三學(xué)年獲得決賽資格的同學(xué)個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問題放入兩個(gè)紙箱中，箱中有3道選擇題和2道填空題，箱中有3道選擇題和3道填空題.決賽中要求每位參賽同學(xué)在兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.甲先從箱中依次抽取2道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入箱中，然后乙再抽取題目.已知乙從箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率.【解析】（1）依題意得甲獲得決賽資格的概率為，乙獲得決賽資格的概率為，的所有可能取值為，，，，所以的分布列為：012所以.（2）記“甲從箱中抽出的是道選擇題”，“乙從箱中抽取的第一題是選擇題”，則，，，，，，所以.甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率為.12．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰谝淮螖?shù)學(xué)隨堂小測驗(yàn)中，有單項(xiàng)選擇題和多項(xiàng)選擇題兩種．單項(xiàng)選擇題，每道題四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)正確，選擇正確得5分，選擇錯(cuò)誤得0分；多項(xiàng)選擇題，每道題四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對得5分，部分選對得2分，有選擇錯(cuò)誤的得0分．(1)小明同學(xué)在這次測驗(yàn)中，如果不知道單項(xiàng)選擇題的答案就隨機(jī)猜測．已知小明知道單項(xiàng)選擇題的正確答案的概率是，隨機(jī)猜測的概率是，問小明在做某道單項(xiàng)選擇題時(shí)，在該道題做對的條件下，求他知道這道單項(xiàng)選擇題正確答案的概率．(2)小明同學(xué)在做多選題時(shí)，選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為．已知某個(gè)多項(xiàng)選擇題有三個(gè)選項(xiàng)是正確的，小明在完全不知道四個(gè)選項(xiàng)正誤的情況下，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇，記小明做這道多項(xiàng)選擇題所得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）記事件A為“該單項(xiàng)選擇題回答正確”，事件B為“小明知道該題的正確答案”，，,即小明在做某道單項(xiàng)選擇題時(shí)，在該道題做對的條件下，他知道這道單項(xiàng)選擇題正確答案的概率為．（2）由題意知：X所有可