2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn):雙曲線的定義及雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法和定義法求曲線方程.難點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo).知識點(diǎn)：會根據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.能力點(diǎn)：通過對雙曲線概念的引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和動手能力；通過對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法，提高學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.教育點(diǎn)：通過對生活中的雙曲線知識及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識問題.自主探究點(diǎn)：1.通過教學(xué)情境中具體的學(xué)習(xí)活動（如動手實(shí)驗(yàn)、自主探究、合作交流等），引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題，并在作出合理推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，形成雙曲線的定義；2.引導(dǎo)學(xué)生尋求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的研究途徑，并通過對解決問題過程的反思，獲得求曲線方程的一般方法.考試點(diǎn)：1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用；2.了解雙曲線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.易錯(cuò)易混點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)方程中三者的關(guān)系與橢圓中三者的關(guān)系的區(qū)別.拓展點(diǎn)：鏈接高考.二、復(fù)習(xí)引入問題1.橢圓的定義是什么？問題2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？關(guān)系如何？【設(shè)計(jì)意圖】以問題的形式回顧上一節(jié)課所學(xué)知識，既復(fù)習(xí)了舊知又加深了對已學(xué)知識的理解．問題3.如果把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會發(fā)生怎樣的變化？【設(shè)計(jì)意圖】首先設(shè)疑，提出新的問題，打破知識結(jié)構(gòu)的平衡，引發(fā)學(xué)習(xí)興趣．問題4.能否利用手頭的工具來演示得到滿足這樣條件的曲線呢？【設(shè)計(jì)說明】學(xué)生課前準(zhǔn)備：全班按4人一組分成若干組，每組準(zhǔn)備8K紙一張，拉鏈一根．教師課前準(zhǔn)備：小木板一塊，長拉鏈一根，圖釘兩枚，美工筆一支．問題5.如何操作才能實(shí)現(xiàn)距離之差為定值？并找出這個(gè)定值是誰？教師引導(dǎo)學(xué)生共同探討出操作過程：取拉鏈，拉開一部分，在拉開的一邊上取其端點(diǎn)，在另一邊的中部位置取一點(diǎn)分別固定在紙上的兩個(gè)定點(diǎn)和處（說明：（1）如：在拉鏈未拉開時(shí)有，拉開后是定長；（2）的距離要比的距離大），把筆尖搭在拉鏈頭M處，隨著拉鏈的拉開或閉合，筆尖就畫出一條曲線．【設(shè)計(jì)說明】通過上述兩點(diǎn)說明先讓學(xué)生知道按照上述操作可滿足距離之差為定值；接下來老師先在講臺上演示，然后全班按4人一組開始操作．展示學(xué)生畫圖結(jié)果：結(jié)果一：畫出來的曲線開口向右邊．學(xué)生總結(jié)：動點(diǎn)M變化時(shí)，與在不斷變化，但總有,其中為常數(shù)．結(jié)果二：畫出來的曲線開口向左邊．學(xué)生總結(jié)：動點(diǎn)M變化時(shí)，與在不斷變化，但總有,其中為常數(shù)．【設(shè)計(jì)說明】此處和課件共用，用幾何畫板展現(xiàn)雙曲線的形成過程，使得多媒體真正做到為課堂有效服務(wù)．教師總結(jié)：這兩條曲線合在一起稱為雙曲線，每一條叫作雙曲線的一支．三、探究新知（一）探究：雙曲線的概念思考1：請同學(xué)們總結(jié)，上述操作中動點(diǎn)所滿足的幾何條件是什么？【設(shè)計(jì)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出：常數(shù)（小于）.思考2：為什么要求常數(shù)小于，這一點(diǎn)可以從哪個(gè)角度解釋？學(xué)生回答：三角形中兩邊之差小于第三邊.【設(shè)計(jì)意圖】弄清曲線上的點(diǎn)所滿足的幾何條件是建立曲線方程的關(guān)鍵之一．這個(gè)“差”要小于兩定點(diǎn)之間的距離，以加深對概念的理解.問題：類比橢圓的定義，你能否概括出雙曲線的定義？【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力、類比能力．雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫雙曲線的焦距(記為)．即：(小于)．說明：．思考：（1）定義中的“絕對值”三字能否去掉？為什么？【設(shè)計(jì)意圖】明確兩支曲線．（2）若，則點(diǎn)M軌跡是什么？學(xué)生回答：兩條射線．（3）若，則點(diǎn)M軌跡是什么？學(xué)生回答：不存在．（4）若，則點(diǎn)M軌跡是什么？學(xué)生回答：線段的垂直平分線．【設(shè)計(jì)意圖】加深學(xué)生對雙曲線概念的理解，但是學(xué)生對于該問題的探究比較困難，教師要做適當(dāng)引導(dǎo)．注意：對于雙曲線定義須抓住兩點(diǎn)—一個(gè)關(guān)系式，一個(gè)范圍．（二）探究：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程探究1：類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，你能說說應(yīng)怎樣選擇坐標(biāo)系，建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？【設(shè)計(jì)說明】教師提示步驟，引導(dǎo)學(xué)生來推導(dǎo)．Oyx①建系：如圖，以所在直線為軸，的垂直平分線為軸.Oyx②設(shè)點(diǎn)：設(shè)是其上任一點(diǎn)，焦距為，那么焦點(diǎn)．③列式：，即.④化簡：化簡整理得，兩邊同除以得．※，令（）代入※式得．．【設(shè)計(jì)說明】其中第④步的化簡過程可類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡過程自己動手化簡．教師說明：這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．它所表示的是焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是的雙曲線，這里.【設(shè)計(jì)意圖】求曲線方程時(shí)建立坐標(biāo)系要適當(dāng)．與化簡橢圓方程聯(lián)系，運(yùn)用化簡橢圓方程的經(jīng)驗(yàn)．探究2：類比橢圓焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何得到焦點(diǎn)在軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？學(xué)生不難得出：只要將方程中的互換即可.．．【設(shè)計(jì)意圖】可以培養(yǎng)學(xué)生類比的思想和動手能力．探討3：雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式的比較：①方程用“”號連接；②分母是，（），但大小不定；③；④如果的系數(shù)是正的，焦點(diǎn)在軸上；如果的系數(shù)是正的，焦點(diǎn)在軸上.【設(shè)計(jì)意圖】加深學(xué)生對雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式的理解與記憶．四、理解新知雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系：1.定義：橢圓：；雙曲線：.注：一個(gè)關(guān)系式，一個(gè)范圍．2.標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓：焦點(diǎn)在x軸上：，雙曲線：焦點(diǎn)在x軸上：，焦點(diǎn)在y軸上：．焦點(diǎn)在y軸上：．3.三者的關(guān)系：橢圓：；雙曲線：．【設(shè)計(jì)意圖】反復(fù)與橢圓類比，既加強(qiáng)與已有知識的聯(lián)系，又找出與舊知識的不同之處．同化與順應(yīng).五、運(yùn)用新知例1.已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線上一點(diǎn)到的距離之差的絕對值等于8，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為(,).∵∴∴.所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.【設(shè)計(jì)意圖】一是加強(qiáng)學(xué)生對雙曲線概念的理解；二是讓學(xué)生掌握求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法—先定型，后定量．變式1.寫出適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)在軸上，經(jīng)過點(diǎn)焦點(diǎn)為,過點(diǎn)答案：（1）（2）（3）例2.已知，兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.Oyx分析：首先要判斷軌跡的形狀．由聲學(xué)原理：由聲速及，兩地聽到爆炸聲的時(shí)間差，即可知，兩地與爆炸點(diǎn)的距離差為定值．這樣，爆炸點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上.因?yàn)楸c(diǎn)離處比離處遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近處的雙曲線的一支上．Oyx解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，使，兩點(diǎn)在軸上，并且坐標(biāo)原點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合．設(shè)爆炸點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即．又，所以，所以．因?yàn)?，所以．因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡（雙曲線）的方程為．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又應(yīng)用于實(shí)踐．加強(qiáng)對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識以及建系原則.變式2.（1）若，兩地同時(shí)聽到炮彈爆炸聲，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡．答案：炮彈爆炸點(diǎn)線段的垂直平分線上．（2）若，兩地聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間差為，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程．答案：．（3）根據(jù)兩個(gè)不同的觀測點(diǎn)測得同一炮彈爆炸聲的時(shí)間差，可以確定爆炸點(diǎn)在某條曲線上，但不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.而現(xiàn)實(shí)生活中為了安全，我們最關(guān)心的是炮彈爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，怎樣才能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置呢?答:再增設(shè)一個(gè)觀測點(diǎn)C，利用B、C（或A、C）兩處測得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置．這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又應(yīng)用于實(shí)踐．加強(qiáng)對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識以及建系原則.六、課堂小結(jié)教師提問：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識，涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法？學(xué)生作答：1.知識：（1）雙曲線的定義：（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：2.思想：歸納概括思想、類比思想．教師總結(jié):概念的推導(dǎo)過程用到了前面所學(xué)過的知識，提醒學(xué)生:在學(xué)習(xí)新知時(shí)，也要經(jīng)常復(fù)習(xí)前面學(xué)過的內(nèi)容,“溫故而知新”．在應(yīng)用中增強(qiáng)對知識的理解，及時(shí)查缺補(bǔ)漏，從而更好地運(yùn)用知識，解題要有目的性，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)知識、思想方法的認(rèn)識與自覺運(yùn)用．【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，做到“授人以漁”．七、布置作業(yè)1.書面作業(yè)必做題：課本P61—62第1，2，5題選做題：已知定點(diǎn)和定圓，動圓和圓相外切，并且過定點(diǎn)，求動圓圓心的軌跡方程．答案：．【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)書面作業(yè)必做題，是引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)，再作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．書面作業(yè)的布置，是為了讓學(xué)生能夠正確理解雙曲線的定義，并會求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．其中對于課本第61頁第MOBAyx2（2）可以用兩種方法解決，第一種由于焦點(diǎn)位置不確定可以討論，用待定系數(shù)法解決；第二種在于設(shè)元的技巧，可設(shè)為或或MOBAyx2.課后探究探究：如圖，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，．直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，求點(diǎn)的軌跡方程，并與§2.1．例3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？提示探究方法：若設(shè)點(diǎn)，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關(guān)系式，即得到點(diǎn)的軌跡方程．【設(shè)計(jì)意圖】注意與橢圓一節(jié)中斜率之積是的區(qū)別．爭取達(dá)到學(xué)一例、觸一類、通一片．八、教后反思本節(jié)課設(shè)計(jì)亮點(diǎn)是在教學(xué)思想上，以“問題引導(dǎo)，探究交流”為主，兼容講解、教師演示、學(xué)生動手演示、合作等多種方式，充分調(diào)動學(xué)生的思維，形成以學(xué)生為主體的課堂氛圍．另外本堂課始終與橢圓對比進(jìn)行，既找出了共同點(diǎn)也發(fā)現(xiàn)了不同點(diǎn)，有利于學(xué)生更好的掌握．但也存在幾個(gè)值得反思和討論的問題：（1）在探究和時(shí)學(xué)生理解不到位，建議用實(shí)物演示和畫圖相結(jié)合幫助學(xué)生理解.（4）課堂容量較大，變式較多，處理不太充分，沒能完全展現(xiàn)學(xué)生的思維.九、板書設(shè)計(jì)2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程創(chuàng)設(shè)情境：探究新知：1.雙曲線的定義：