重難點06四邊形的存在性目錄考點一：平行四邊形的存在性考點二：梯形存在性技巧技巧方法本節(jié)包含兩部分，平行四邊形的存在性及梯形的存在性，常見題型是存在菱形和正方形，根據(jù)題目中的條件及特殊的平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系，求出相應(yīng)的點的坐標(biāo)；常見的梯形的問題中，經(jīng)常需要添加輔助線．考察學(xué)生的分類討論思想及邏輯思維能力．能力拓展能力拓展考點一：平行四邊形的存在性平行四邊形的問題是近幾年來考試的熱點，考察學(xué)生的分類討論的思想．常見的題型是在平面直角坐標(biāo)系中已知三點和第四點構(gòu)成平行四邊形，求第四點；或者已知兩點，另外兩點在某函數(shù)圖像上，四點構(gòu)成平行四邊形；利用兩點間的距離公式和平移的思想，結(jié)合題目中的條件構(gòu)造等量關(guān)系．1．（2022春·上海青浦·八年級校考期末）如圖，已知點，點，點在軸負(fù)半軸上，，點為直線上一點．(1)求直線的解析式；(2)點為平面內(nèi)任一點，若以點、、、為頂點的四邊形是正方形，求點的坐標(biāo)；(3)當(dāng)直線與直線的夾角等于的倍時，直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)，求出點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，求出直線的解析式即可．（2）分是正方形的邊、是正方形的對角線兩種情況，利用正方形性質(zhì)即可求解．（3）當(dāng)時，，利用兩點間距離可求點坐標(biāo)；當(dāng)時，，此時，過點作交于，過點作軸交于，由是等腰直角三角形，求出，再由是的中點，求出的另一個點坐標(biāo)即可．（1）解：，點，，，，，點在軸負(fù)半軸上，，設(shè)直線的解析式是，，解得，直線的解析式為；（2）解：①當(dāng)是正方形的邊時，對應(yīng)的正方形為，，，，，；②當(dāng)是正方形的對角線時，對應(yīng)的矩形為，、是正方形對角線，線段和線段互相垂直平分，點、的橫坐標(biāo)為，，，綜上所述：點的坐標(biāo)為或；（3）解：設(shè)，①當(dāng)時，，，，；②當(dāng)時，，此時，是等腰三角形，過點作交于，過點作軸交于，，，是等腰直角三角形，是的中點，，，是的中點，；綜上所述：點坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．2．（2022春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象分別交軸、軸于、兩點．過點的直線交軸正半軸于點，且點為線段的中點．(1)求直線的解析式；(2)在直線上找一點，使得，求出點的坐標(biāo)；(3)若點為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=x+9(2)（-27，-18）或（9，18）(3)存在，（-9，-9）,（-9，9）或（9，27）【分析】（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點A，B的坐標(biāo)，由點M為線段OB的中點可得出點M的坐標(biāo)，根據(jù)點A，M的坐標(biāo)，利用得定系數(shù)法即可求出直線AM的函數(shù)解析式；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x+9），利用三角形的面積公式結(jié)合，即可得出關(guān)于x的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出點P的坐標(biāo)；（3）設(shè)點H的坐標(biāo)為（m，n），分別以△ABM的三邊為對角線，利用平行四邊形的性質(zhì)（對角線互相平分），即可得出關(guān)于m，n的方程組，解之即可得出點H的坐標(biāo)．（1）解：當(dāng)x=0時，y=2x+18=18，∴點B的坐標(biāo)為（0，18）；當(dāng)y=0時，2x+18=0，解得：x=-9，∴點A的坐標(biāo)為（-9，0）∵點M為線段OB的中點，∴點M的坐標(biāo)為（0，9）.設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為y=kx+b（k0），將A（-9，0），M（0，9）代入y=kx+b，得：解得：∴直線AM的函數(shù)解析式為y=x+9;（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x+9），∵，∴，即，解得：x1=-27，x2=9，∴點P的坐標(biāo)為（-27，-18）或（9，18）（3）設(shè)點H的坐標(biāo)為（m，n）,分三種情況考慮（如圖所示）：①當(dāng)AM為對角線時，,解得：,∴點H1的坐標(biāo)為（-9，-9）；②當(dāng)AB為對角線時，解得：∴點H2的坐標(biāo)為（-9，9）；③當(dāng)BM為對角線時，解得：∴點H3的坐標(biāo)為（9，27）．綜上所述：在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點H，使以A、B、M、H為頂點的四邊形是平行四邊形，點H的坐標(biāo)為（-9，-9），（-9，9）或（（9，27）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形的面積、解含絕對值符號的一元一次方程以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（2）利用三角形的面積公式，找出關(guān)于x的含絕對值符號的一元一次方程；（3）利用平行四邊形的性質(zhì)，求出點H的坐標(biāo)．3．（2022春·上海長寧·八年級上海市民辦新世紀(jì)中學(xué)?？计谀┮阎?，矩形中，，，的垂直平分線分別交、于點、，垂足為．(1)如圖1，連接、．求證四邊形為菱形，并求的長；(2)如圖2，動點、分別從、兩點同時出發(fā)，沿和各邊勻速運動一周．即點自停止，點自停止．在運動過程中，①已知點的速度為每秒，點的速度為每秒，運動時間為秒，當(dāng)、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求的值；②若點、的運動路程分別為、（單位：，），已知、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出與滿足的數(shù)量關(guān)系式．【答案】(1)證明見解析，AF=10cm(2)①；②b=24-a【分析】（1）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據(jù)勾股定理即可求得AF的長；（2）①分情況討論可知，當(dāng)P點在BF上、Q點在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可．②由題意得，以A、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點、在互相平行的對應(yīng)邊上，分三種情況，根據(jù)平行四邊形對邊相等建立等式即可求解．（1）證明：∵四邊形是矩形，∴//．∴．∵垂直平分，垂足為，∴，在和中，，∴≌，∴．∴四邊形為平行四邊形．又∵，∴四邊形為菱形；設(shè)菱形的邊長，則，在中，，即，解得x=10，∴AF=10cm；（2）解：由（1）得，則．①顯然當(dāng)點在上時，點在上，此時A、、、四點不可能構(gòu)成平行四邊形；同理點在上時，點在或上，也不能構(gòu)成平行四邊形．因此只有當(dāng)點在上、點在上時，才能構(gòu)成平行四邊形，∴以A、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，，∵點的速度為每秒5cm，點的速度為每秒4cm，運動時間為秒，∴，，∴，解得，∴以A、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，秒．②由題意得，以A、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點、在互相平行的對應(yīng)邊上．分三種情況∶i：如圖1，當(dāng)點在上、點在上時，，∴，即，∴b=24-a；ii：如圖2，當(dāng)點在上、點在上時，，∴，∴，即，∴，∴b=24-a；iii：如圖3，當(dāng)點在上、點在上時，，∴，即，∴b=24-a；綜上所述，a與b滿足的函數(shù)關(guān)系式是b=24-a．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵在于綜合應(yīng)用上述知識，利用分類討論的思想進(jìn)行求解．4．（2022春·上海徐匯·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，，點D是AB上的動點，交AC于點E，分別交射線BC、射線AC于點F、G，聯(lián)結(jié)EF．(1)如圖1，如果點G恰好平分EC，判斷四邊形DEFC的形狀并證明；(2)如圖2，當(dāng)點F在線段BC的延長線上時，設(shè)AD的長為x，梯形DBFE的面積為y，直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系及其定義域；(3)當(dāng)時，求的長．【答案】(1)四邊形DEFC是平行四邊形，證明見解析；(2)y＝x2﹣+500＜x＜）；(3)AD的長為或8．【分析】（1）由AAS證得△CFG≌△EDG，F(xiàn)G＝DG，又CG＝EG，即可得出四邊形DEFC是平行四邊形；（2）由含30°角直角三角形的性質(zhì)得出BC＝AB＝5，DE＝AD＝x，BD＝10﹣x，由勾股定理求出AC＝5，AE＝x，推出CE＝5﹣x，再由含30°角直角三角形的性質(zhì)得出BF＝2BD＝20﹣2x，則y＝S梯形DBFE＝（DE+BF）?CE＝x2﹣+50，當(dāng)點F與C重合時，求出AD＝，即可得出結(jié)果；（3）①當(dāng)點F在線段BC的延長線上時，梯形DBFE為等腰梯形；②當(dāng)點F在線段BC上時，四邊形BDEF為平行四邊形，分別求出AD即可．（1）解：四邊形DEFC是平行四邊形，理由如下：∵點G恰好平分EC，∴CG＝EG，∵DE∥BC，∴∠CFG＝∠EDG，在△CFG和△EDG中，，∴△CFG≌△EDG（AAS），∴FG＝DG，∴四邊形DEFC是平行四邊形；（2）解：∵∠ACB＝90°，DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝×10＝5，DE＝AD＝x，BD＝AB﹣AD＝10﹣x，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠BFD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BF＝2BD＝2×（10﹣x）＝20﹣2x，∴y＝S梯形DBFE＝（DE+BF）?CE＝×（x+20﹣2x）×（）＝x2﹣+50，當(dāng)點F與C重合時，如圖3所示：∵CD⊥AB，則∠ADC＝90°，∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝，∴AD的長度x的變化范圍為0＜x＜，∴y＝x2﹣+50（0＜x＜）；（3）解：①當(dāng)點F在線段BC的延長線上時，EF＝DB，梯形DBFE為等腰梯形，如圖4，,∴∠BFE＝∠B，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∴∠BFE＝∠B＝60°，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BFD＝90°﹣∠B＝30°，∴∠DFE＝∠BFE﹣∠BFD＝60°﹣30°＝30°，∵DE∥BC，∴∠EDF＝∠BFD＝30°，∴∠EDF＝∠DFE＝30°，∴DE＝EF，∴DE＝DB，由（2）可知，當(dāng)AD＝x時，DE＝x，BD＝10﹣x，∴x＝10﹣x，解得：x＝，∴AD的長為；②當(dāng)點F在線段BC上的點時，如圖5所示：結(jié)合圖4，∵EF＝DB＝E,∴∠FC＝∠F＝∠DBC，∴DBE,∵，∴四邊形BDEF為平行四邊形，∴BF＝DE＝x，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BFD＝90°－∠B＝30°，∴BD＝BF＝×x＝x，∴x＝10﹣x，解得：x＝8，∴AD的長為8；綜上所述，AD的長為或8．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了含30°角直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的判定與性質(zhì)、勾股定理、梯形面積的計算、列函數(shù)關(guān)系式、分類討論等知識；本題綜合性強，熟練掌握含30°角直角三角形的性質(zhì)和分類討論是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ袕埥瘓F(tuán)中學(xué)校考期末）【探究與應(yīng)用】我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)有很多結(jié)論．例如：在平行四邊形ABCD中，，將△ABC沿直線AC翻折至△AEC，連結(jié)DE，則AC∥ED．(1)如圖1，若AD與CE相交于點O，證明以上個結(jié)論；(2)如圖2，AD與CE相交于點O，若，，，求△AOC的面積；(3)如果，，當(dāng)A、C、D、E為頂點的四邊形是正方形時，請畫圖并求出AC的長；(4)如果，，當(dāng)△AED是直角三角形時，直接寫出BC的長．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)或2；圖形見解析；(4)或或【分析】（1）由平行四邊形的定義可得AD∥BC，AD=BC，由折疊的性質(zhì)可得∠ACB=∠ACE，BC=CE，于是可得△OAC、△ODE是等腰三角形，利用對頂角相等求得∠OCA和∠OED即可證明；（2）設(shè)OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，由折疊的性質(zhì)可得OC=2-x，由∠B=90°可得ABCD是矩形，Rt△ODC中由勾股定理建立方程求得x，進(jìn)而求得OA即可解答；（3）分∠ACB=45°和∠ACB=90°兩種情況作出圖形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)計算求值即可；（4）分∠ACB=60°，∠ACB=90°和∠ACB=30°，三種情況，根據(jù)30°直角三角形的邊長關(guān)系和勾股定理計算求值即可；【詳解】（1）證明：∵ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠OAC=∠ACB，∵∠ACB=∠ACE，∴∠OAC=∠OCA，∴OA=OC，∠OCA=（180°-∠AOC），∵BC=CE，BC=AD，∴AD=CE，∴AD-OA=CE-OC，∴OE=OD，∴∠OED=（180°-∠EOD），∵∠AOC=∠EOD，∴∠OCA=∠OED，∴AC∥DE；（2）解：設(shè)OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，∵CE=CB=2，∴OC=2-x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=，AD=BC=2，∠ADC=90°，Rt△ODC中，OC2=OD2+CD2，∴（2-x）2=x2+2，∴x=，∴OA=AD-OD=，∴△OAC面積=OA?CD=；（3）解：①如圖，∠ACB=45°時，∠B=45°，AB=AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=45°，則∠BCD=135°，∴∠ACD=90°，∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°，AC∥ED，∴∠AED=90°，∠CDE=90°，∴四邊形ACDE是矩形，∵AB=AC=AE，∴四邊形ACDE是正方形，∵CE=CB=2，∴AC2+AE2=CE2，∴AC=；②如圖，∠ACB=90°時，∠B=∠BAC=45°，CA=CB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=45°，則∠BAD=135°，∴∠CAD=90°，∵AC∥ED，∴∠ADE=90°，∠CED=90°，∴四邊形ACDE是矩形，∵BC=CE=CA，∴四邊形ACDE是正方形，∴AC=2；∴AC=或2；（4）解：①如圖，∠ACB=60°時，∠B=30°，則∠BAC=90°，∴∠CAE=90°，∵AC∥DE，∴∠AED=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，BC=2AC，∴BC2=AB2+AC2=9+BC2，BC=；②如圖，∠ACB=90°時，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=30°，則∠BAD=150°，∵∠BAC=90°-∠B=60°，∴∠CAD=90°，∵AC∥DE，∴∠ADE=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，AC=，∴BC==，③如圖，∠ACB=30°時，作AH⊥BC于點H，由四邊形ABCD是平行四邊形得AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=120°，由折疊的性質(zhì)可得∠EAC=∠BAC=120°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABH中，AB=3，AH=，∴BH=，∠B=∠ACB=30°，AH⊥BC，則BH=HC=BC，∴BC=2BH=，綜上所述BC的長為：或或.【點睛】本題考查了特殊平行四邊形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30°直角三角形，勾股定理等知識；正確作出圖形并分類討論是解題關(guān)鍵．6．（2022春·上海·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1經(jīng)過點A（0，1）、B（2，2）．將直線l1向下平移m個單位得到直線l2，已知直線l2經(jīng)過點（﹣1，﹣2），且與x軸交于點C．(1)求直線l1的表達(dá)式；(2)求m的值與點C的坐標(biāo)；(3)點D為直線l2上一點，如果A、B、C、D四點能構(gòu)成平行四邊形，求點D的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝x+1(2)m＝；C（3，0）(3)（5，1）或（1，﹣1）【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；(2)根據(jù)平移的規(guī)律得到直線l2為y＝x+1﹣m，根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，令y=0，即可求得C的坐標(biāo)；(3)分兩種情況，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及平移的規(guī)律即可求得D的坐標(biāo)．（1）解：設(shè)直線l1的表達(dá)式為y＝kx+b，∵直線l1經(jīng)過點A（0，1）、B（2，2），∴，解得，∴直線l1的表達(dá)式為y＝x+1；（2））將直線l1向下平移m個單位得到直線l2，則直線l2為y＝x+1﹣m，∵直線l2經(jīng)過點（﹣1，﹣2），∴﹣2＝+1﹣m，解得m＝，∴直線l2為y＝x﹣，令y＝0，則求得x＝3，∴點C的坐標(biāo)為（3，0）；（3）由題意可知AB∥CD，當(dāng)A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形ABDC時，AB＝CD，∵A（0，1）、B（2，2），C（3，0），∴點A向右平移3個單位，再向下平移1個單位與C點重合，∴點B向右平移3個單位，再向下平移1個單位與D點重合，此時D的坐標(biāo)為（5，1）；∵AB∥CD，AB＝CD，當(dāng)A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形ABCD時，∵A（0，1）、B（2，2），C（3，0），∴點B向右平移1個單位，再向下平移2個單位與C點重合，∴點A向右平移1個單位，再向下平移2個單位與D點重合，此時D的坐標(biāo)為（1，﹣1）；綜上，如果A、B、C、D四點能構(gòu)成平行四邊形，點D的坐標(biāo)為（5，1）或（1，﹣1）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖像與幾何變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握分類討論的解題思想是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝﹣2x+12的圖像分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點A的直線交y軸正半軸于點M，且點M為線段OB的中點．(1)求直線AM的函數(shù)解析式；(2)若點C是x軸上一點，且S△AMCS△ABM，求點C的坐標(biāo)；(3)點P在直線AB上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使四邊形BPMQ是菱形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣x+6，(2)（2，0）或（10，0）；(3)存在，點P的坐標(biāo)（，12）或（，12）或（，）或（，9）．【分析】（1）通過函數(shù)y＝?2x＋12求出A、B兩點坐標(biāo)，又由點M為線段OB的中點，即可求得點M的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法求得直線AM的函數(shù)解析式；（2）設(shè)出C點坐標(biāo)，可求得AC的長，根據(jù)S△ABM＝BM?OA，S△AMCAC?OM，由S△AMC＝S△ABM，可得方程，解方程即可求得答案；（3）分兩種情況討論：①BM是菱形的邊時；②BM是菱形的對角線時，分別根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可．（1）解：∵直線AB的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+12，∴A（6，0），B（0，12），又∵M(jìn)為線段OB的中點，∴M（0，6），設(shè)直線AM的解析式為：y＝kx+b，∴，解得：，故直線AM的解析式為y＝﹣x+6；（2）設(shè)點C的坐標(biāo)為：（x，0），∴AC＝|x﹣6|，∵B（0，12），M（0，6），∴BM＝6，∴S△ABMBM?OA6×6＝18，∵S△AMCS△ABM，∴S△AMCAC?OM6×|x﹣6|18，∴3×|x﹣6|＝12，解得：x＝2或10，故點C的坐標(biāo)為：（2，0）或（10，0）；（3）設(shè)P（x，﹣2x+12），①如圖所示：BM是菱形的邊時．過P2作P2C⊥y軸于C，∴P2C＝x，BC＝12﹣（﹣2x+12）＝2x，∵四邊形BP2Q2M是菱形，∴P2B＝BM＝6，在Rt△BP2C中，P2C2+BC2＝P2B2，∴x2+（2x）2＝62，解得x＝±，∴點P的坐標(biāo)為（，12）或（，12）；過P3作P3D⊥y軸于D，∴P3D＝x，MD＝6﹣（﹣2x+12）＝2x﹣6，∵四邊形BQ3P3M是菱形，∴P3M＝BM＝6，在Rt△MP3D中，P3D2+MD2＝P3M2，∴x2+（2x﹣6）2＝62，解得x或0（舍去），

∴點P的坐標(biāo)為（，）；②如圖所示：BM是菱形的對角線時，連接PQ交y軸于N，∵四邊形BQMP是菱形，∴PQ⊥BM，BN＝MN，∴點N的坐標(biāo)為（0，9）．∴點P的縱坐標(biāo)是9，∴﹣2x+12＝9，解得x，∴點P的坐標(biāo)為（，9）．綜上所述，存在，點P的坐標(biāo)（，12）或（，12）或（，）或（，9）．【點睛】本題為一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形的面積、菱形的性質(zhì)等．解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．8．（2022春·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)校考期中）如圖，直角坐標(biāo)平面中，已知點A（，0），點B在第一象限，點B的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的6倍，且在反比例函數(shù)的圖像上，作BC⊥x軸，垂足為點C．(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)如果點E在第一象限的反比例函數(shù)圖像上，點F在直線AB上，使四邊形BCEF為平行四邊形，請分別求出點E和點F的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)，，，【分析】（1）由已知條件得到點B的坐標(biāo)，設(shè)AB為：，再將點A和點B坐標(biāo)代入解析式即可求解；（2）根據(jù)題意可知點E，F(xiàn)的橫坐標(biāo)相同，再設(shè)點E，F(xiàn)的坐標(biāo)，并根據(jù)縱坐標(biāo)差等于6，列出方程求出x的值，根據(jù)點的位置得出答案即可．（1）∵點B的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的6倍，且點B在第一象限，∴點B（1，6），設(shè)AB為：，分別把點A和點B坐標(biāo)代入，得：，解得，∴直線AB的解析式是．（2）設(shè)點E，，F(xiàn)，，當(dāng)EF∥BC，EF=BC時四邊形BCEF是平行四邊形，∴，解得：，經(jīng)檢驗：都是方程的解，但不符合題意，舍去．∴，，，．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、反比例圖象上的點的特征、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點A的直線交y軸的正半軸于點M，且點M為線段OB的中點．(1)求直線AM的函數(shù)解析式．(2)如果在直線AM上有一點P，使得，請求出點P的坐標(biāo)．(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N，使以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(0，4)或(6，-4)(3)(-3，12)，(3，-4)或(3，4).【分析】利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求得點A，B的坐標(biāo)，由點M是線段OB的中點可得出點M的坐標(biāo)，根據(jù)A、M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線AM的解析式；設(shè)點P的坐標(biāo)為，利用三角形的面積公式結(jié)合，即可得到關(guān)于的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可求得點P的坐標(biāo)；設(shè)點N的坐標(biāo)為，分別以△ABM的三邊為對角線，利用平行四邊形的對角線互相平分即可得到關(guān)于m，n的方程，解之即可求解.【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時，，∴點B的坐標(biāo)為(0，8)；當(dāng)y=0時，，解得x=3，∴點A的坐標(biāo)為(3，0)，∵點M時線段OB的中點，∴點M的坐標(biāo)為(0，4).設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為，將A(3，0)，M(0，4)代入得，解得，∴直線AM的函數(shù)解析式為.（2）解：∵點P在直線AM上，∴設(shè)點P的坐標(biāo)為，∵，∴，即，解得，，∴點P的坐標(biāo)為(0，4)或(6，-4).（3）解：設(shè)點N的坐標(biāo)為，分三種情況，如圖所示：當(dāng)BM為平行四邊形的對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，解得，∴點的坐標(biāo)為(-3，12)；當(dāng)AM為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，解得，∴點的坐標(biāo)為(3，-4)；當(dāng)AB為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，解得，∴點的坐標(biāo)為(3，4)，綜上所述，在坐標(biāo)平面內(nèi)是存在點N，使以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，點N得到坐標(biāo)為(-3，12)，(3，-4)或(3，4).【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形的面積、解含有絕對值符號的一元一次方程以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，采用分類討論的方法解決問題.10.直線與坐標(biāo)軸分別交與點A、B兩點，點P、Q同時從O點出發(fā)，同時到達(dá)A點，運動停止．點Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿運動．（1）直接寫出A、B兩點的坐標(biāo)；（2）設(shè)點Q的運動時間為秒，△OPQ的面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)時，求出點P的坐標(biāo)，并直接寫出以點O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標(biāo)．【難度】★★★【解析】（1）（2）（3）【總結(jié)】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)及平行四邊形的判定和性質(zhì)．11.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，正比例函數(shù)y=kx（x為自變量）的圖像與雙曲線交于點A，且點A的橫坐標(biāo)為．（1）求k的值；（2）將直線y=kx（x為自變量）向上平移4個單位得到直線BC，直線BC分別交x軸、y軸于B、C，如點D在直線BC上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點P，使以O(shè)、B、D、P為頂點的四邊形是菱形．【難度】★★★【解析】（1）（2）【總結(jié)】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo)等關(guān)系及菱形的判定和性質(zhì)．12.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，將一個30°角的頂點P放在AB邊上滑動，保持30°角的一邊平行于BC，且交邊AC于點E，30°的另一邊交射線BC于點D，連ED．（1）如圖，當(dāng)四邊形PBDE為等腰梯形時，求AP長；（2）四邊形PBDE有可能為平行四邊形嗎．若可能，求出PBDE為平行四邊形時，AP的長，若不可能，說明理由；（3）若點D在BC邊上（不與B、C重合），試寫出線段AP的取值范圍．【難度】★★★【解析】（1）（2）（3）【總結(jié)】本題主要考查了等腰梯形和平行四邊形的判定和性質(zhì)．13．（上海八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過點且與直線：平行，直線與軸、軸分別交于點B、C．（1）求直線l1的表達(dá)式及其與軸的交點D的坐標(biāo)；（2）判斷四邊形ABCD是什么四邊形？并證明你的結(jié)論；（3）若點E是直線AB上一點，平面內(nèi)存在一點F，使得四邊形CBEF是正方形，求點E的坐標(biāo)，請直接寫出答案.【答案】（1）（-9，0）；（2）四邊形ABCD是矩形；（3）（-2，-4），（10，4）【解析】（1）根據(jù),直線與直線平行，設(shè)出的函數(shù)關(guān)系式，再利用待定系數(shù)法即可求出的函數(shù)關(guān)系式，再令，即可求出點D坐標(biāo)；（2）利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出AD與BC的長相等，再根據(jù)AD∥BC及BD=AC，即可求出結(jié)論；（3）根據(jù)正方形的判定，作出圖形，即可得出點E的坐標(biāo).詳解：（1）∵直線與直線：平行，∴設(shè)，∵直線經(jīng)過點，∴，∴，∴，當(dāng)時，，解得，∴.（2）四邊形ABCD是矩形.∵，，∴，∵，，∴，∴，又∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵，，∴BD=AC，∴平行四邊形ABCD是矩形.（3）如圖所示，點E坐標(biāo)為：，.點睛：本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、兩點間的距離、矩形的判定、正方形的判定等知識.熟練應(yīng)用一次函數(shù)、矩形的判定、正方形的判定是解題的關(guān)鍵.14．（上海八年級期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點、，點是第一象限的點且，過點作軸，垂足為，．（1）求直線的解析式和點的坐標(biāo)；（2）試說明：；（3）若點是直線上的一個動點，在軸上存在另一個點，且以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）詳見解析；（3），，【分析】（1）將A、B坐標(biāo)代入可得直線解析式，設(shè)B（1，m），由得1+m2=5，解之可得答案；

（2）利用邊角邊證明△AOD與△OCB全等，從而得到∠OAD=∠COB，根據(jù)∠COB+∠AOB=90°可得∠OAD+∠AOB=90°，從而得到∠AEO=90°，得證；

（3）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得BM∥AN且BM=AN，令y=2求出點M的坐標(biāo)，從而得到BM的長度，再分點N在點O的左邊與右邊、點N關(guān)于A的對稱點三種情況討論求出點N的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）把，代入得解得∴解析式為∵，軸設(shè)∵，∴，（負(fù)值舍去）∴；（2）∵，，，∴，∵∴∴∵∴∴∠AEO=90°，∴；（3）∵點N在x軸上，O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴BM∥x軸，且BM=ON，

根據(jù)（1），點B的坐標(biāo)為（1，2），

∴-x+1=2，

解得x=-2，

∴點M的坐標(biāo)為（-2，2），

∴BM=1-（-2）=1+2=3，

①點N在點O的左邊時，ON=BM=3，

∴點N的坐標(biāo)為（-3，0），

②點N在點O的右邊時，ON=BM=3，

∴點N的坐標(biāo)為（3，0），

③作N（-3，0）關(guān)于A對稱的點N′，則N′也符合，

點N′的坐標(biāo)是（7，0），

綜上所述，點N的坐標(biāo)為（-3，0）或（3，0）或（7，0）．【點睛】本題是對一次函數(shù)的綜合考查，主要有坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析題目，理清數(shù)量關(guān)系．15．（上海八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)的圖像與軸相交于點，與軸相交于點．（1）求點坐標(biāo)和點坐標(biāo)；（2）點是線段上一點，點為坐標(biāo)原點，點在第二象限，且四邊形為菱形，求點坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點為平面直角坐標(biāo)系中一點，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有滿足條件的點坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）D；（3）；；【分析】（1）分別令x與y為0，求出對應(yīng)y與x的值，即可確定出A與B的坐標(biāo)；（2）設(shè)點坐標(biāo)為，根據(jù)題意知，根據(jù)兩點之間的距離公式即可求得點的坐標(biāo)，利用軸對稱的性質(zhì)即可求得點的坐標(biāo)；（3）過A作BD的平行線，過D作AB的平行線，過B作AD的平行線，分別相交于、、，利用待定系數(shù)法分別求得直線、、的解析式，再求直線的交點坐標(biāo)即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時，得，解得：∴點B的坐標(biāo)為(0，4)，當(dāng)時，得，解得：∴點A的坐標(biāo)為(2，0)；（2）∵點是線段上，∴設(shè)點坐標(biāo)為，∵四邊形為菱形，∴，則，解得．∴點坐標(biāo)為．∵點、關(guān)于軸對稱，∴點坐標(biāo)為；（3）過A作BD的平行線，過D作AB的平行線，過B作AD的平行線，分別相交于、、，如圖：∵點A、B、D的坐標(biāo)分別為(2，0)，(0，4)，(-1，2)，設(shè)BD的解析式為，把點D的坐標(biāo)(-1，2)代入得：，解得：，∴設(shè)直線的解析式為，把點A的坐標(biāo)(2，0)代入得：，解得：，∴直線的解析式為，同理可求得直線、的解析式分別為、，聯(lián)立、得：，解得，∴點的坐標(biāo)為(1，-2)；聯(lián)立、得：，解得，∴點的坐標(biāo)為(3，2)；聯(lián)立、得：，解得，∴點的坐標(biāo)為(-3，6)；綜上，所有滿足條件的點坐標(biāo)為(1，-2)，(3，2)，(-3，6)；【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，兩點之間的距離公式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，二元一次方程的解法等知識，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵考點二：梯形存在性梯形的分類討論題多見于各類壓軸題中，由于這類題目都與圖形的運動有關(guān)，需要學(xué)生有一定的想象力、分析力和運算力．梯形的主要特征是兩底平行，特殊梯形又可分為等腰梯形和直角梯形兩大類．常見題型為在直角坐標(biāo)平面內(nèi)已知