關于線性時不變系統(tǒng)描述和系統(tǒng)響應第1頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三2.1LTI離散時間系統(tǒng)的差分方程描述1.LTI離散時間系統(tǒng)的差分方程對于LTI離散時間系統(tǒng)，其輸入和響應間的映射關系可以用一個線性常系數(shù)差分方程及一組初始條件來描述第2頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三初始條件：線性常系數(shù)差分方程的一般形式可以表示為全解＝齊次解＋特解。1.LTI離散時間系統(tǒng)的差分方程第3頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三產生系統(tǒng)響應的原因：系統(tǒng)的初始狀態(tài)＋系統(tǒng)的輸入

即：y[n]=yzi[n]+yzs[n]

零輸入響應零狀態(tài)響應1.LTI離散時間系統(tǒng)的差分方程(LTI的特性)系統(tǒng)的全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應第4頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三2.零輸入響應的求解零輸入響應：例：已知一LTI離散時間系統(tǒng)的差分方程為：y[n+2]+3y[n+1]+2y[n]=f[n+1]-2f[n]，初始條件為:y[0]=0，y[-1]=1，求其零輸入響應

yzi[n]輸入信號為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨作用而產生的響應。第5頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三第6頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三零輸入響應的求解過程:2.零輸入響應的求解(1)列出特征方程，解出特征根;(2)根據(jù)系統(tǒng)的初始條件解出待定系數(shù)。第7頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三系統(tǒng)的全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應2.2LTI離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應—卷積和系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，由系統(tǒng)的外部激勵單獨作用而產生的響應。沖激響應h[n]

:零狀態(tài)響應：沖激信號為激勵信號時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。第8頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三1.沖激響應h[n]的求解例1：一LTI離散時間因果系統(tǒng)的差分方程為y[n]-5y[n-1]+6y[n-2]=f[n]，求h[n]=?第9頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三1.沖激響應h[n]的求解第10頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三考慮：激勵信號由多項組成，h(n)如何求解？

例2：一LTI離散時間因果系統(tǒng)的差分方程為:y[n]-y[n-1]-2y[n-2]=f[n]-f[n-2]，求h[n]=?

第11頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三分析：第12頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三1.沖激響應h[n]的求解第13頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三1.沖激響應h[n]的求解第14頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三

h[n]的求解過程：(1)求出激勵信號為δ[n]時對應的沖激響應h1[n]求出特征根；根據(jù)n<0時，h[n]=0,迭代出h1[n]中的待定系數(shù)(2)根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的線性性和非時變性，求出激勵信號為其他信號時對應的hi[n]，h[n]=h1[n]+...hi[n]1.沖激響應h[n]的求解第15頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三2.零狀態(tài)響應的求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應系統(tǒng)的零狀態(tài)響應？第16頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三練習：一離散時間LTI系統(tǒng)的差分方程為：y[n+2]-3y[n+1]+2y[n]=f[n+1]-2f[n]系統(tǒng)的初始條件為：y[0]=1，y[-1]=1，輸入信號f[n]=u[n];分別求出系統(tǒng)的零輸入響應和沖激響應yzi[n]=u[n]h[n]=u[n-1]第17頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三2.零狀態(tài)響應的求解任一離散時間信號f[n]可分解為沖激信號的線性組合第18頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三2.零狀態(tài)響應的求解稱作f[n]與h[n]的卷積和注意：卷積式求出的僅是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應第19頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三（1）卷積和的定義及計算：3卷積和的求解演示第20頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三（1）卷積和的定義及計算：3卷積和的求解演示第21頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三第22頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三卷積和的計算分成兩步：（1）確定求和限;(根據(jù)兩個階躍函數(shù)所組成的門函數(shù)確定積分限)（2）確定求和結果的有效存在時間；(將兩個階躍函數(shù)內的值相加)3.卷積和的求解第23頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三練習：一離散時間LTI系統(tǒng)的差分方程為：y[n+2]-3y[n+1]+2y[n]=f[n+1]-2f[n]系統(tǒng)的初始條件為：y[0]=1，y[-1]=1，輸入信號f[n]=u[n];分別求出系統(tǒng)的零輸入響應，零狀態(tài)響應及全響應第24頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三（2）卷積和的性質：3.卷積和的求解1）交換律:f[n]*h[n]=h[n]*f[n]卷積運算的交換律說明在計算LTI系統(tǒng)響應時，系統(tǒng)輸入信號和系統(tǒng)沖激響應所處的地位是相同的，即可把進行卷積的兩個信號中的任一個看成輸入信號，另一個看成系統(tǒng)沖激響應。第25頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三f[n]*(h1[n]*

h2[n])=(

f[n]*h1[n])*

h2[n]f[n]*(h1[n]+h2[n])=f[n]*h1[n]+f[n]*

h2[n]3）結合律:2）分配律:（2）卷積和的性質：第26頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三4)離散卷積和差分特性5)累加特性（如果卷積和的累加存在）

（2）卷積和的性質：6）位移特性：f[n]*d[n-n0]=f[n-n0]f[n-n1]*δ[n-n2]=y[n-n1-n2]第27頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三第28頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三n0123456789h(n)0012300000h(n-1)00012300002h(n-2)00002×12×22×3000h(n-3)0000012300y(n)0001488300第29頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三練習1：一LTI離散系統(tǒng)的單位沖激響應為：h[n]={1,2,3},n=0,1,2

;系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0，輸入信號f[n]={3,1,3},n=-1,0,1,求系統(tǒng)的響應。y[n]=3h[n+1]+h[n]+3h[n-1]第30頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三練習2：一離散時間LTI系統(tǒng)S，由兩個子系統(tǒng)S1與S2級聯(lián)組成，已知的輸入輸出關系分別為：y1[n]=2f1[n]+3f1[n-1]；

y2[n]=5f2[n-2]+f2[n-3](1)確定系統(tǒng)S的沖激響應h(n);(2)寫出系統(tǒng)S的輸入f(t)信號與輸出信號y(t)的關系;(3)將子系統(tǒng)S1與S2的順序顛倒，確定系統(tǒng)S的沖激響應第31頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三練習3：一離散時間LTI系統(tǒng)，輸入信號為f[n]，輸出信號為y[n]，且：第32頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三練習4：已知一LTI離散時間系統(tǒng)的單位沖激響應為h[n]=3nu[n]，求當激勵信號為f[n]=2nu[n]時，系統(tǒng)的響應y[n]=?第33頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三LTI離散時間系統(tǒng)的沖激響應描述為用沖激響應和差分方程來描述系統(tǒng)，二者等價第34頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三2.3LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的微分方程描述1.LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的微分方程對于LTI連續(xù)時間系統(tǒng)，其輸入和響應間的映射關系可以用一個線性常系數(shù)微分方程及一組初始條件來描述第35頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三線性常系數(shù)微分方程的一般形式可以表示為初始條件：微分方程的經(jīng)典解法全解＝齊次解＋特解。第36頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三產生系統(tǒng)響應的原因：系統(tǒng)的初始狀態(tài)＋系統(tǒng)的輸入

即：y(t)=yzi(t)+yzs(t)

零輸入響應零狀態(tài)響應1.LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的微分方程(LTI的特性)系統(tǒng)的全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應第37頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三2.零輸入響應的求解輸入信號為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨作用而產生的響應。解該方程即可得到系統(tǒng)的零輸入響應yzi(t)。零輸入響應：第38頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三例：一LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的微分方程如下：求該系統(tǒng)的零輸入響應yzi(t)。第39頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三零輸入響應的求解過程：(1)列出特征方程，解出特征根(2)根據(jù)系統(tǒng)的初始條件解出待定系數(shù)第40頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三2.4LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應—卷積積分

系統(tǒng)的全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，由系統(tǒng)的外部激勵單獨作用而產生的響應。沖激響應h(t)

:零狀態(tài)響應：沖激信號為激勵信號時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。第41頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三1.沖激響應h(t)的求解例1：一連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的微分方程為第42頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三1.沖激響應h(t)的求解第43頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三考慮：n=m或n<m時，h(t)是否還是這樣一個表達式？

1.沖激響應h(t)的求解第44頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三練習：一連續(xù)時間線性非時變系統(tǒng)的微分方程為1.沖激響應h(t)的求解第45頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三觀察：1.沖激響應h(t)的求解當m=n時，h(t)中應含有δ(t)才能保證方程兩邊的δ平衡第46頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三h(t)得求解過程：(1)求出特征根(2)寫出h(t)的表達式

n>m，h(t)中不含有δ(t)及δ(t)的各階導數(shù)；

n＝m，h(t)中含有δ(t)但不含δ(t)的各階導數(shù)；

n<m，h(t)中不含有δ(t)及δ(t)的各階導數(shù)；(3)求出h(t)中的待定系數(shù)，根據(jù)方程兩邊的δ平衡原理，將h(t)的表達式代入微分方程，即可解出待定系數(shù)1.沖激響應h(t)的求解第47頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三2.零狀態(tài)響應的求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應系統(tǒng)的零狀態(tài)響應？第48頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三任一連續(xù)時間信號f(t)可分解為沖激信號的線性組合2零狀態(tài)響應的求解演示第49頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三任一連續(xù)時間信號f(t)可分解為沖激信號的線性組合第50頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三當0時，d，k，且任意連續(xù)信號可分解為沖激函數(shù)的線性組合任一連續(xù)時間信號f(t)可分解為沖激信號的線性組合分析：第51頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三2零狀態(tài)響應的求解任一連續(xù)時間信號f(t)可分解為沖激信號的線性組合稱作f(t)與h(t)的卷積積分注意：卷積式求出的僅是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應第52頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三用沖激響應和微分方程來描述系統(tǒng)，二者等價LTI連續(xù)時間系統(tǒng)微分方程LTI連續(xù)時間系統(tǒng)沖激響應h(t)f(t)h(t)y(t)第53頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三（1）卷積積分的定義及計算：3卷積積分的求解演示第54頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三3卷積積分的求解卷積積分的計算分成兩步：（1）確定積分限;(根據(jù)兩個階躍函數(shù)所組成的門函數(shù)確定積分限)（2）確定積分結果的有效存在時間；(將兩個階躍函數(shù)內的值相加)第55頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三（2）卷積積分的性質：3卷積積分的求解1）交換律:f(t)

*h(t)=h(t)

*f(t)卷積運算的交換律說明在計算LTI系統(tǒng)響應時，系統(tǒng)輸入信號和系統(tǒng)沖激響應所處的地位是相同的，即可把進行卷積的兩個信號中的任一個看成輸入信號，另一個看成系統(tǒng)沖激響應。第56頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三f(t)*[h1(t)

*

h2(t)]=[f(t)

*h1(t)]*

h2(t)f(t)

*[h1(t)+h2(t)]=f(t)

*h1(t)+f(t)

*

h2(t)3）結合律:2）分配律:（2）卷積和的性質：第57頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三（2）卷積和的性質：第58頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三（2）卷積和的性質：第59頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三第60頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三第61頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三第62頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三例:利用卷積的性質計算下圖的卷積。解：系統(tǒng)的響應為第63頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三第64頁，講稿共70頁，2023年5月2日，星期三∴∴第65頁，講稿共70頁，2023年