圓面積公式的三種推導(dǎo)方法圓是個封閉的曲線圖形，用面積單位度量求面積是行不通的，要么用初等數(shù)學(xué)中的剪拼的方法把圓轉(zhuǎn)化為學(xué)過的簡單圖形計(jì)算面積，要么用高等數(shù)學(xué)定積分的方法求解。筆者就初等方法談幾點(diǎn)粗淺的認(rèn)識，對于提高數(shù)學(xué)思維能力不無裨益。下面就將圓分別剪拼成三角形、平行四邊形（長方形）、梯形來計(jì)算面積的方法作具體詳細(xì)的分析。在剪拼的過程中，圖形的大小沒有發(fā)生變化，只是形狀改變了。圓的面積等于拼成的近似圖形的面積。一、將圓剪拼成三角形的方法把圓平均分成四份，得到四個小扇形，再把小扇形如下圖拼成一個近似三角2 、形。若圓的半徑為r，近似三角形的底可以看作兩個扇形的孤長之和-X2"，高41 2 一可以看作是兩個半徑2r，則近似三角形的面積為S=1x（2x2兀r）x2r=nr2，即24圓的面積為兀r2。把圓平均分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越近似于三角形。要拼成三角形，分的份數(shù)只能是n2（n2>2的整數(shù)）份，將圓n2等份后，拼成的三角形疊了n層扇形，最后一層有2n-1個扇形，其中扇形的頂點(diǎn)向上的是n個扇形，向下的是n-1個扇形，故近似三角形的底為nx四=迎，高為nr，則近似三角形的面n2n1 2Hr積為S-xxnr-nr2，即圓的面積為S=兀r2。下面是把圓9等份的剪拼2n圖示，

二、將圓剪拼成平行四邊形的方法把圓平均分成四份，得到四個小扇形，再把小扇形如圖拼成一個近似平行四邊形。同樣，圓的半徑為,，近似平行四邊形的底可以看作2個扇形并成的為2-x2兀r，高可以看作是小扇形的半徑r，則近似平行四邊形的面積為42S=—x2兀rxr=Kr2，即圓的面積為S=兀［2。4同樣的把圓平均分的份數(shù)越多，拼出來的圖形越接近平行四邊形，當(dāng)分的份數(shù)無限大時，拼出的圖形也可以看作是長方形。要拼成平行四邊形，分的份數(shù)只能是2n（n>2的自然數(shù)）份，將圓2n等份后，拼成的平行四邊形（疊了一層）的底為nx也，高為半徑,，則平行四邊形的面積為S=nx竺xr=Kr2，即圓2n 2n的面積S=Kr2。同樣可以考慮疊2層，3層等。下面是把圓8等份后，由兩層扇形拼成平行四邊形的圖示；

三、將圓拼成梯形的方法把圓平均分成3份，得到3個小扇形，再把小扇形如圖拼成一個近似梯形。同樣，圓的半徑為r三、將圓拼成梯形的方法把圓平均分成3份，得到3個小扇形，再把小扇形如圖拼成一個近似梯形。同樣，圓的半徑為r，近似梯形的上底可以看作是由1個扇形的孤長構(gòu)成的為亞，下底由2個小扇形構(gòu)成為2x業(yè)，高可以看作是小扇形的半徑r，則近似3 39^r 9^r梯形的面積為S=-x(竺+2x四)xr=兀"，即圓的面積為S=兀r2。3 3同樣的把圓平均分的份數(shù)越多，拼出來的圖形越接近梯形，要拼成梯形，將圓只能a=(i-1)(i+3)+3+2i(j-1)(i，j均為整數(shù))等份，以下有分成8ij份、12份、15份拼成的梯形圖示，將圓a等份后，由i層小扇形疊成的，上底有j個小扇形，下底有j+i個小扇形，同樣記圓的半徑為r時，梯形的上底為jx也，下底為(i+j)xM，a a(i+2j)x2兀rxir(i+2j)x2兀rxirS=x[jx一+(i+j)x一]xir=x(i+2j)x一xir=xa a 2 a 2 (i-1)(i+3)+3+2i(j-1)=nr2x '(i+2j) =nr2，即圓的面積為S=兀皿。(i-1)(i+3)+3+2i(j-1)由此可見，圓面積的計(jì)算公式可以用不同的