第三節(jié)Lesbesgue積分與Riemann積分的關(guān)系第五章積分論實(shí)變函數(shù)與泛函分析53yiyi-1Lesbesgue積分

對(duì)值域作分劃xi-1xiRiemann積分

對(duì)定義域作分劃本節(jié)主要內(nèi)容:若f(x)Riemann可積，則f(x)在[a,b]上Lebesgue可積，且積分值相等f(x)Riemann可積當(dāng)且僅當(dāng)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)全體為零測(cè)度集實(shí)變函數(shù)與泛函分析53Riemann可積的充要條件f(x)在[a,b]上Riemann可積實(shí)變函數(shù)與泛函分析53Darboux上、下積分對(duì)[a,b]作分劃序列令（對(duì)每個(gè)i及n）Darboux上積分Darboux下積分xi-1xi實(shí)變函數(shù)與泛函分析53引理：設(shè)f(x)在[a,b]上為有界函數(shù)，記ω(x)為[a,b]上的振幅函數(shù)，則故ω(x)為[a,b]上的可測(cè)函數(shù)，從而f(x)L可積。證明：由于f(x)在[a,b]上為有界函數(shù)，故ω(x)為[a,b]上有界函數(shù)，又對(duì)任意實(shí)數(shù)t，為閉集，xi-1xi實(shí)變函數(shù)與泛函分析53作函數(shù)列對(duì)[a,b]作分劃序列xi-1xi引理的證明實(shí)變函數(shù)與泛函分析53引理的證明xi-1xi實(shí)變函數(shù)與泛函分析53引理的證明從而結(jié)論成立xi-1xi實(shí)變函數(shù)與泛函分析531.Riemann可積的內(nèi)在刻畫定理：有界函數(shù)f(x)在[a,b]上Riemann可積的充要條件是f(x)在[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)全體為零測(cè)度集教材p-104有另一種證明證明：若f(x)Riemann可積,則f(x)的Darboux上、下積分相等，實(shí)變函數(shù)與泛函分析53上述過程反之也成立。從而f(x)在[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)全體為零測(cè)度集，引理：設(shè)f(x)是E上有限實(shí)函數(shù)，則f(x)在x0∈E處連續(xù)的充要條件是f(x)在x0處的振幅為0證明參照教材p-102實(shí)變函數(shù)與泛函分析532.Lesbesgue積分與Riemann積分的關(guān)系

(Lebesgue積分是對(duì)Riemann積分的推廣)

定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可積，則f(x)在[a,b]上Lebesgue可積，且

證明：f(x)在[a,b]上Riemann可積，故f(x)在[a,b]上幾乎處處連續(xù)，從而f(x)在[a,b]上有界可測(cè)，并且Lebesgue可積，實(shí)變函數(shù)與泛函分析53Lesbesgue積分與Riemann積分的關(guān)系的證明其次，對(duì)[a,b]的任一分劃根據(jù)Lesbesgue積分的可加性，我們有實(shí)變函數(shù)與泛函分析53Lesbesgue積分與Riemann積分的關(guān)系的證明對(duì)上式左、右端關(guān)于一切分劃各取上、下確界，即得xi-1xi實(shí)變函數(shù)與泛函分析53例在有理點(diǎn)處不連續(xù)，在無理點(diǎn)處連續(xù)（參見：數(shù)學(xué)分析）Riemann函數(shù)Riemann可積處處不連續(xù)Dirichlet函數(shù)不Riemann可積01實(shí)變函數(shù)與泛函分析53注：Lebesgue積分與廣義Riemann積分無必然聯(lián)系例：f(x)有無窮積分,但不Lebesgue可積.實(shí)變函數(shù)與泛函分析53注：Lebesgue積分與廣義Riemann積分無必然聯(lián)系例：f(x)有暇積分但不Lebesgue可積1/5?1/3?1實(shí)變函數(shù)與泛函分析53例設(shè)f(x)是[a,b]上Lebesgue可積函數(shù)，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)c(0≤c≤1)總有

那么f(x)=0a.e.于[0,1]教材p122有另一種證明寫法：證明中用到了積分的絕對(duì)連續(xù)性實(shí)變函數(shù)與泛函分析53從而有f(x)在F上幾乎處處為0所以f(x)=0a.e.于[0,1]證明（續(xù)）實(shí)變函數(shù)與泛函分析53第四節(jié)Lesbesgue積分的幾何意義與Fubini定理第五章積分論主講：胡努春實(shí)變函數(shù)與泛函分析53重積分與累次積分重積分累次積分f(x,y)連續(xù)實(shí)變函數(shù)與泛函分析531.截口定理xEx證明參照教材p-136分六種情況討論：區(qū)間，開集，型，零集，有界可測(cè)集，一般可測(cè)集定理1設(shè)是可測(cè)集，則(1)對(duì)Rp中幾乎所有的x，Ex

是Rq中的可測(cè)集m(Ex)作為x的函數(shù)，它在Rp上幾乎處處有定義，且是可測(cè)函數(shù)；實(shí)變函數(shù)與泛函分析532.Lebesgue積分的幾何意義定理2：設(shè)A,B分別是Rp和Rq中的可測(cè)集，則A×B是Rp+q中的可測(cè)集，且m(A×B)=mA×mB證明參照教材p-139AB實(shí)變函數(shù)與泛函分析532.Lebesgue積分的幾何意義證明參照教材p-139則f(x)是E上可測(cè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)G(E;f)={(x,y)|x∈E，0≤y<

f(x)}是Rn+1中的可測(cè)集;并且有定理3設(shè)f(x)為可測(cè)集上的非負(fù)函數(shù)，

f(x)實(shí)變函數(shù)與泛函分析533.Fubini定理證明參照教材p-140(1)設(shè)f(p)=f(x,y)在上可積，則對(duì)幾乎所有的x∈A,f(x,y)作為y的函數(shù)在B上可積，作為x的函數(shù)在A上可積,且先重積分后累次積分實(shí)變函數(shù)與泛函分析533.Fubini定理證明參照教材p-140(2)設(shè)f(x)是B上的可測(cè)函數(shù)，