專題1阿波羅尼斯及其應(yīng)用微點(diǎn)5阿波羅尼斯球?qū)ｎ}1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)5阿波羅尼斯球【微點(diǎn)綜述】對(duì)于立體幾何某些涉及距離比值的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為在某個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，從而借助阿波羅尼斯球和阿波羅尼斯圓的定義及相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.對(duì)于這類問(wèn)題也可.以利用空間坐標(biāo)計(jì)算求解軌跡問(wèn)題.【典例刨析】例1.（2022貴州貴陽(yáng)?模擬）.在平面內(nèi)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸與兩定點(diǎn)A,8的距離之比為2（2>0,4。1）,那么點(diǎn)P的軌跡是圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓.在空間中，也可得到類似結(jié)論.如圖，三棱柱ABC-A由G中，平面ABC,AB=BC=2,BB,=&r,ZA5C=90。，點(diǎn)M為A3的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在三棱柱內(nèi)部或表面上運(yùn)動(dòng)，月」刑=因正根，動(dòng)點(diǎn)V尸形成的曲面將三棱柱分成兩個(gè)部分，體積分別為匕，匕（匕<%），則/=（）.如圖，在長(zhǎng)方體ABC?！狝4GR中，A3=2AO=2A41=6,點(diǎn)￡在棱A8上，BE=2AE,動(dòng)點(diǎn)P滿足BP=^3PE.若點(diǎn)尸在平面ABC。內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為；若點(diǎn)P在長(zhǎng)方體A8CD-A3CR內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，尸為棱CQ的中點(diǎn)，”為CP的中點(diǎn)，則三棱錐4C尸的體積的最小值為DiFDiF.已知正方體MCD-A4G。的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)P在平面ABC。內(nèi)，且B4=3P3,則點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)度為.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A、3距離之比2（%>0,4wl）是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線A3上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-AMG。中，點(diǎn)P是正方體的表面包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)夕滿足Q4=2PD,則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為;若￡是CD的中點(diǎn)，且滿足NAP8=NEP。，則三棱錐P-AC。體積的最大值是阿波羅尼奧斯例5.（2022.湖南懷化.高二期末）.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A,B的距離之比為常數(shù)/L（4>0,4wl）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線A8上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-AAGR中，AB=2AD=2AA]=6,點(diǎn)石在棱A3上，BE=2AE,動(dòng)點(diǎn)P滿足3P=V^PE,若點(diǎn)P在平面ABC。內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是 ;尸為G，的中點(diǎn)，則三棱錐P-A”體積的最小值為答案第2頁(yè)，共4頁(yè)DiDi.棱長(zhǎng)為36的正四面體ABC。的外接球與內(nèi)切球的半徑之和為,內(nèi)切球球面上有一動(dòng)點(diǎn)則+ 的最小值為.【針對(duì)訓(xùn)練】.如圖，A3是平面。的斜線段，A為斜足，點(diǎn)。滿足sin/C43=/lsin/CBA（/l>0）,且在平面。內(nèi)運(yùn)動(dòng),A.當(dāng)4=1時(shí)，點(diǎn)。的軌跡是拋物線.當(dāng)2=1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是一條直線C.當(dāng)4=2時(shí)，點(diǎn)。的軌跡是橢圓D.當(dāng)2=2時(shí)，點(diǎn)。的軌跡是雙曲線拋物線.如圖，已知平面aJ>尸，a〃=/,A、5是直線/上的兩點(diǎn)，C、。是平面夕內(nèi)的兩點(diǎn)，且CB±Z,AD=3,AB=6,C3=6.P是平面。上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線尸。PC與平面。所成角相等，則二面角。-的余弦值的最小值是（）C.D.1C.（2022?山西太原?二模（理））.已知點(diǎn)〃是棱長(zhǎng)為3的正方體A4G2的內(nèi)切球。球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段8c上一點(diǎn),NC\=2B、N,DMLBN,則動(dòng)點(diǎn)“運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為（）55n35/15^55JLz? 10（2022天津西青區(qū)楊柳青一中高二期中）.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A,3距離之比九（4＞。,2。1）是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線A8上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)尸是正方體的表面（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足B4=2PD,則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為;若E是C。的中點(diǎn)，且正方體的表面ADAA（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)阿法羅尼斯產(chǎn)滿足條件ZAPB=/EPD,則三棱錐F-ACD體積的最大值是 .阿法羅尼斯.已知正方體ABC。-A4CQ的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)。為側(cè)面叫GC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且P4=2P3,則點(diǎn)P所形成的軌跡圖形長(zhǎng)度為.（2022江西上饒,二模（理））.點(diǎn)M為正方體— 的內(nèi)切球。球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為8c上一點(diǎn)，2NB、=NC\,DM上