第九章.圓模型（三十五）——圓冪定理模型模型講解模型講解一、相交弦定理【結(jié)論1】如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，半徑為r,則①AP·BP＝CP·DP,②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.【證明】①②二、切割線定理【結(jié)論2】如圖，PBC是⊙O的一條割線，PA是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為A，半徑為r,則①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2【證明】①②三、割線定理【結(jié)論3】如圖，PAB、PCD是⊙O的兩條割線，半徑為r,則①PA·PB＝PC·PD,②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2【證明】口訣從兩線交點(diǎn)處引出的共線口訣線段的乘積相等小試牛刀小試牛刀典例1☆☆☆☆☆如圖，在⊙O中，弦AB與半徑OC相交于點(diǎn)M，且OM=MC，若AM=1.5，BM=4，則OC的長為（）.A.26B.6C.23D.22【答案】D【解析】如圖，延長CO，交OO于D，則CD為OO的直徑.∵OM＝MC,∴OC＝2MC＝2OM,DM＝3OM＝3MC.由相交弦定理得DM·MC＝AM·BM，即3MC2＝1.5×4，解得MC＝2.∴OC＝2MC=22.故選D.典例2☆☆☆☆☆如圖，⊙O的弦AB，CD相交于點(diǎn)E，若CE∶BE=2∶3，則AE∶DE的值為（A.23B.32C.12【答案】A【解析】∶∵⊙O的弦AB，CD相交于點(diǎn)E，根據(jù)相交弦定理得AE·BE＝CE·DE，∴AE:DE=CE:BE=2:3.故選A.典例3☆☆☆☆☆如圖，過點(diǎn)P作⊙O的兩條割線分別交⊙O于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，已知PA=3，AB＝PC＝2，則PD的長是()A.3B.7.5C.5D.5.5【答案】B【解析】∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5,根據(jù)割線定理得PA·PB=PC·PD，∴PD=7.5.故選B.小試牛刀小試牛刀1.（★★☆☆☆）如圖，過點(diǎn)P引圓的兩條割線PAB和PCD.分別交圓于點(diǎn)A，B和C，D，連接AC，BD，則在比例式①PAPB＝PCPD,②PAPD＝PCA.3B.2C.1D.02.（★★☆☆☆）如圖，已知⊙O中，弦AB=25，M是AB上一點(diǎn)，OA=13，OM=5，則AM=（）A.16B.20C.20或9D.16或9（★★☆☆☆）如圖，在⊙O中，P為弦AB上一點(diǎn)，PO⊥PC，PC交⊙O于C，那么（）A.OP2=PA·PB，B.PC2=PA·PBC.PA2=PB·PC，D.PB2=PA·PC直擊中考直擊中考1.如圖，在⊙O中，弦AB＝CD，AB⊥CD于點(diǎn)E.已知CE·ED＝3，BE＝1，則⊙O的直徑是（）A.2B.5C.25D.52.如圖，半圓O的直徑BC=7，延長CB到A，直線AD交半圓于點(diǎn)E，D，且AE=ED=3，則AB的長為().A.97B.2C.11同冪定理是一個(gè)非常重要的定理，在計(jì)算過程中，如果涉及計(jì)算某條線段的長度，用普通的垂徑定理，勾股定理，也能夠得到答案，但是速記圓冪定理可以讓我們更能看到圖形的本質(zhì)。第九章.圓模型（三十五）——圓冪定理答案：小試牛刀答案B解析由題意及割線定理知PA·PB＝PC·PD,即PAPD＝PCPB，故①錯(cuò)誤，②正確;又∠P＝∠P，∴△PAC≌△PDB,∴PAAC＝P答案D解析如圖，延長MO與⊙O交于點(diǎn)P，延長OM與⊙O交于點(diǎn)Q.∴OP＝OQ＝OA＝13,∴PM＝18,MQ＝8,根據(jù)相交弦定理，得AM·MB＝MP·MQ，又∵AB=25，∴AM·(25－AM)＝18×8,整理得AM2－25AM＋144=0，解得AM=16或AM=9.故選D.答案B解析如圖，延長CP交⊙O于D，連接OC,OD.根據(jù)相交弦定理，得PA·PB=PC·PD，∵OC＝OD,PO⊥PC,∴PC＝PD,∴PC2＝PA·PB.故選B.直擊中考1.答案B解析如圖，作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，連接OA.由相交弦定理得CE·ED＝EA·BE，即EA×1＝3，∴AE＝3，∴AB＝4.∵OH⊥AB，∴AH＝HB＝2.∵AB＝CD,∴CD＝4.又∵OG⊥CD，CE·ED＝3，∴CE＝1,ED＝3,∴EG＝1.由題意得，四邊形HEGO是矩形，∴OH＝EG＝1.由勾股定理得OA＝AH2