復(fù)變函數(shù)第十五講1第1頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月一、分式線性映射的概念稱為分式線性映射.說明:否則,由于那末整個(gè)z平面映射成w平面上的一點(diǎn).小知識2第2頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月~~~~~~~~~~分式線性映射(1)總可以分解成下述三種特殊映射的復(fù)合：稱為：平移整線性反演3第3頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月事實(shí)上，4第4頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月二、幾種簡單的分式線性映射平移映射(為方便起見,令w平面與z平面重合)5第5頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月旋轉(zhuǎn)與伸長(或縮短)變換事實(shí)上,設(shè)那末因此,把z先轉(zhuǎn)一個(gè)角度6第6頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月反演變換此映射可進(jìn)一步分解為欲由點(diǎn)z作出點(diǎn)w,可考慮如下作圖次序:關(guān)鍵:7第7頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱點(diǎn)的定義:設(shè)C為以原點(diǎn)為中心,r為半徑的圓周.在以滿足關(guān)系式那末就稱這兩點(diǎn)為關(guān)于這圓周的對稱點(diǎn).規(guī)定:無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對稱點(diǎn)是圓心O.8第8頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月...設(shè)P在C外,從P作C的切線PT,由T作OP的垂作圖:.9第9頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月故可知:...關(guān)于單位圓對稱關(guān)于實(shí)軸對稱10第10頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月三、分式線性映射的性質(zhì)1.一一對應(yīng)性例如:結(jié)論:分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上一一對應(yīng).11第11頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月2.保角性若規(guī)定:兩條伸向無窮遠(yuǎn)的曲線在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的交角,等于它們在映射

下所映成的通過圓點(diǎn)的兩條象曲線的交角.12第12頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月綜上所述知:13第13頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月綜上所述:定理一分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是一一對應(yīng)的，且具有保角性14第14頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月3.保圓性

所謂保圓性指在擴(kuò)充復(fù)平面上將圓周映射為圓周的性質(zhì).特殊地，直線可看作是半徑為無窮大的圓周.1)映射特點(diǎn):所以此映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性.15第15頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月2)映射若z平面上圓方程為:令有代入z平面圓方程得其象曲線方程:即所以此映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性.16第16頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月3)分式線性映射定理二

分式線性映射將擴(kuò)充z平面上的圓周映射成擴(kuò)充w平面上的圓周,即具有保圓性.說明:

如果給定的圓周或直線上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那末它就映射成半徑為有限的圓周;有一個(gè)點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那末它就映射成直線.如果17第17頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月4.保對稱性對稱點(diǎn)的特性....18第18頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月....19第19頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論充要條件是:20第20頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月即分式線性映射具有保對稱性.定理三21第21頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月證分式線性映射[證畢]22第22頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月小知識分式線性映射首先由德國數(shù)學(xué)家默比烏斯(1790~1868)研究,所以也稱為默比烏斯映射.對每一個(gè)固定的w,此式關(guān)于z是線性的;對每一個(gè)固定的z,此式關(guān)于w也是線性的,因此稱上式是雙線性的.分式線性映射也稱雙線性映射.默比烏斯23第23頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月四、小結(jié)與思考