2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市第四十九中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.“0<a<4”是“命題‘?x∈R，不等式x2+ax+a≥0成立’為真命題”的（

）A、充分不必要條件

B、必要不充分條件C、充要條件

D、既不充分也不必要條件參考答案：A試題分析：不等式恒成立，所以“”是“不等式恒成立”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：1.二次不等式；2.充分條件與必要條件.2.設(shè)z=1﹣i（i為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)﹣z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，則向量的模是（）A． B．2 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；A8：復(fù)數(shù)求模．【分析】把z=1﹣i代入﹣z2，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出復(fù)數(shù)﹣z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，的的坐標(biāo)，再由向量模的公式求解．【解答】解：∵z=1﹣i，∴﹣z2=，∴復(fù)數(shù)﹣z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），向量為=（1，3），則||=．故選：D．3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2a3=3+a1，則S9的值為（）A．15 B．27 C．30 D．40參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵2a3=3+a1，∴2（a1+2d）=3+a1，可得a1+4d=3=a5．則S9==9a5=27．故選：B．4.設(shè)函數(shù)的定義域與值域都是Ｒ，且單調(diào)遞增，，則（）Ks5uＡ.Ｂ.Ｃ.Ａ＝ＢＤ.參考答案：D5.已知向量,,若,則(

)A.1

B.

C.

D.－1

參考答案：D6.已知橢圓C的中心為O，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，M橢圓C上的一點(diǎn)，且滿足,則橢圓C的離心率e= A． B． C． D．

參考答案：D【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)延長(zhǎng)MO與橢圓交于N，∵M(jìn)N與F1F2互相平分，∴四邊形MF1NF2是平行四邊形，∵平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和，∴MN2+F1F22=MF12+MF22+NF12+NF22，∵M(jìn)F1+MF2=2MF2+MF2=3MF2=2a，NF1=MF2=a，NF2=MF1=a，F(xiàn)1F2=2c，∴（a）2+（2c）2=（a）2+（a）2+（a）2+（a）2，∴=，∴e==．故選：C．【思路點(diǎn)撥】延長(zhǎng)MO與橢圓交于N，由已知條件能推導(dǎo)出四邊形MF1NF2是平行四邊形，再由平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和，結(jié)合橢圓的性質(zhì)求出橢圓的離心率.

7.定義全集U的子集的特征函數(shù)為，這里表示集合在全集U中的補(bǔ)集，已，給出以下結(jié)論：①若，則對(duì)于任意，都有；②對(duì)于任意都有；③對(duì)于任意，都有；④對(duì)于任意，都有.則結(jié)論正確的是

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④參考答案：略8.右面的程序框圖表示求式子×××××的值,則判斷框內(nèi)可以填的條件為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B9.若函數(shù)有極值點(diǎn)，且<，則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（

）A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：A10.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)F且傾斜角等于60°的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AB⊥l，垂足為B，則四邊形ABEF的面積等于（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先判斷△ABF為等邊三角形，求出A的坐標(biāo)，而四邊形ABEF為直角梯形，可求出直角梯形的上底邊長(zhǎng)AB=m+1的值，直角梯形的面積可求．【解答】解：由拋物線的定義可得AF=AB，∵AF的傾斜角等于60°，∵AB⊥l，∴∠FAB=60°，故△ABF為等邊三角形．又焦點(diǎn)F（1，0），AF的方程為y﹣0=（x﹣1），設(shè)A（m，m﹣），m＞1，由AF=AB，得

=m+1，∴m=3，故等邊三角形△ABF的邊長(zhǎng)AB=m+1=4，△ABF為等邊三角形，∴四邊形ABEF的面積是（EF+AB）BE=（2+4）×4sin60°=6，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷四邊形ABEF為直角梯形是解題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復(fù)數(shù)滿足，則=_________參考答案：略12.已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=2x－1，則函數(shù)g(x)=x2+f(x)在點(diǎn)(2,g(2))處的切線方程為_(kāi)_________．參考答案：6x﹣y﹣5=0由題意，f（2）=2×2﹣1=3，∴g（2）=4+3=7∵g′（x）=2x+f′（x），f′（2）=2，∴g′（2）=2×2+2=6∴函數(shù)g（x）=x2+f（x）在點(diǎn)（2，g（2））處的切線方程為y﹣7=6（x﹣2）即6x﹣y﹣5=0故答案為：6x﹣y﹣5=0

13.若，則tanα=

參考答案：．故答案為．14.已知，，則向量在向量方向上的投影為

．參考答案：向量在向量方向上的投影為．15.冪函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則

．參考答案：【方法點(diǎn)睛】本題主要考查冪函數(shù)的定義與性質(zhì),屬于中檔題.冪函數(shù)定義與性質(zhì)應(yīng)用的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)：(1)若冪函數(shù)是偶函數(shù)，則必為偶數(shù)．當(dāng)是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷；(2)若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，若在上單調(diào)遞減，則；(3)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.116.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a2+a3=8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=．參考答案：n2【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列性質(zhì)列出方程組，求出a1=1，d=2，由此能求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，a2+a3=8，∴，解得a1=1，d=2，∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=．故答案為：n2．17.設(shè)變量x，y滿足約束條件：，則的最小值為

．參考答案：-10

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=sinx﹣ax，g（x）=bxcosx（a∈R，b∈R）．（1）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上的單調(diào)性；（2）若a=2b且a≥，當(dāng)x＞0時(shí)，證明f（x）＜g（x）．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；三角函數(shù)的最值．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）=cosx﹣a通過(guò)余弦函數(shù)的值域，討論a與[﹣1，1]的范圍，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，然后得到函數(shù)的單調(diào)性．（2）用分析法證明f（x）＜g（x），轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)M（x）=，通過(guò)求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最值，然后證明即可．【解答】（本小題13分）解：（1）f（x）=sinx﹣ax，則f'（x）=cosx﹣a…當(dāng)a≥1時(shí)，f'（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞減

…當(dāng)a≤﹣1時(shí)，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞增

…當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，存在?∈（0，π），使得cos?=a，即f'（?）=0，x∈（0，?）時(shí)，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，?）上單調(diào)遞增，x∈（?，π）時(shí)，f'（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（?，π）上單調(diào)遞減

…（2）要證明f（x）＜g（x），只須證明f（x）﹣g（x）＜0當(dāng)a=2b時(shí)，…等價(jià)于…記M（x）=，則

…M'（x）==…當(dāng)，即時(shí)，M'（x）≤0，M（x）在區(qū)間上（0，+∞）單調(diào)遞減，M（x）＜M（0）=0所以，當(dāng)x＞0，f（x）＜g（x）恒成立．…【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的對(duì)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及最值的應(yīng)用，分析法以及構(gòu)造法是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．19.已知函數(shù)（）的圖象與x軸相切，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為.（1）求a，b的值；（2）求f(x)在上的最大值和最小值.參考答案：解：（1）∵f(x)圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為，∴f(x)的周期為，∴且，∴，此時(shí)，又∵f(x)的圖象與x軸相切，∴且，∴；（2）由（1）可得，∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，f(x)有最大值為；當(dāng)，即時(shí)，f(x)有最小值為0.

20.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，O為D1B1的中點(diǎn)，，．（1）證明：CO⊥平面AB1D1；（2）求三棱錐O-AB1C的體積．參考答案：（1）見(jiàn)解析（2）．（1）證明：在長(zhǎng)方體中，∵，，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，同理，求解三角形可得，∵，∴，即．∵，∴平面．（2）解：由（1）知，平面，為直角三角形，且．∴．21.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）通過(guò)an+1=2Sn+1與an=2Sn﹣1+1（n≥2）作差、整理可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；（2）通過(guò)an=3n﹣1可知=，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：（1）∵an+1=2Sn+1（n∈N*），∴an=2Sn﹣1+1（n≥2），兩式相減得：an+1=3an（n≥2），由an+1=2Sn+1得：a2=2a1+1=3，∴a2=3a1滿足上式，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，∴an=3n﹣1；（2）∵an=3n﹣1，∴=，∴Tn=++…++，∴Tn=++…++，兩式相減得：Tn=3+2（++…+）﹣=4﹣，∴Tn=6﹣．22.（