cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ tanα－tan1＋tanαtantanα＋tan1－tanαtan

sin 2cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α 21－tantanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtan

1＋cos

1－cos ，sin

1＋sin2α＝(sinα＋cos

1－sin2α＝(sinα－cosα)，sinα±cosα＝存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立 √在銳角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不確定 ×tanα＋tan1－tanαtan角α，β都成立 ×

tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)存在實(shí)數(shù)α，使tan2α＝2tan √ √ 1sinα＋cosα＝3答案

解析sinα＋cosα＝11＋sin 9sin9

1－sin＝＝

sinα＋cos 2． ＝2，則tan sinα－cos答案4sinα＋cos tan 解析

＝2，等式左邊分子、分母同除cosα

sinα－costan2α＝2tanα

tan 3．(2015·重慶改編)若tan

tan 答案7

解析tan

tanα＋β－tan1＋tanα＋βtan＝ 3 4．(改編)sin347°cos148°＋sin77°cos 答案2解析sin347°cos148°＋sin77°cos＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos＝sin58°cos77°＋cos58°sin2＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝25．設(shè)α為銳角，若 sin(2απ)的值 ＋ ＋答案17解析∵α為銳角，cos(α＋π

3∴sin(α＋π ∴sin(2α＋π

＋π ∴cos(2α＋π＝2cos2(α＋π－1＝7 ∴sin(2α＋π＝

π

172

50題型一三角函 例 (1)已知sin

cos ，

(2)設(shè)sin2α＝－sinα，α∈2，π，則tan2α的值 答案

33 解 2sin 222nα＋2os22＝cosα－sin∵sin ∴cos∴原式(2)∵sin2α＝2sinαcosα＝－sin2∴cos2 2∴sinα＝3，tanα＝－2－21－－21－－＝∴tan 1－tan2思維升華(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)，首先要記住的結(jié)構(gòu)特征．(2)使用求

sin

3

cos

π的值 3

3

tan 解析 1－tan sin∴tanα＝－4＝cos3sin∴cos3sin又∴sin2α＝9又∵απ，π)，∴sin (2)cos2cos＋＝cos 32cos＋2＝3cosx＋ 2sin＝3(＝3(cos 2sin＝3cos(x－π題型二三角函數(shù)的靈活應(yīng)例

5，

π (1)

解析(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－2＝sin45°＝2

π

＝

tan πsinαcos5＋cos

π＝tan

sinαcos－cos

思維升華運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉的逆用及變形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦的多種變形等．ABC中，sinA＝－2cosB·cosCtanB·tanC＝1－2A的值為

2 x)－3cos2x的最大值

2sin解析(1)由題意知：sinA＝－2cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC

tanB＋tan

＝－1＝－tanA，所以1－anBtan(2)f(x)＝1－cos2π＋x－3cos2x＝sinx－3cos2x＋1＝2sin2x－π＋1f(x)

題型三＝5例 (1)設(shè)α、β都是銳角，且cos＝5

cos π＋sin 43，則

7π的值 答 2

＋6 5解析(1)依題意得sin 1－co＝25

α，β0<α<α＋β<π，cos55

55cos＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sin 5

2 25×5

5＝25∵cos(α－π＋sinα＝4∴

2cosα＋2sinα＝5 3 3(2cosα＋2sinα)＝53sin(π＋α)＝4 ∴sin(α＋7π 6 思維升華(1)解決三角函數(shù)的求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當(dāng)“已

α－β＝(α＋β)α＋β) ＝2

2，

3

559解析 ∵0＜α＜2，∴4＜4＋α＜4∴sinπ＋α＝2 3 ∴sinπ－β＝ 3

3＋2

6＝5

3×

3× 9

典例(1)已知0＜β＜2＜α＜π，且

－2＝－9，sin2－β＝3，則cos(α＋β) (2)已知在△ABC中 cos

cos 易錯(cuò)分析(1)角α－β，α－β 解析

5 1－sin2－β＝3

4sin 1－cosα－2＝9 ∴cos2

＝cos

4 7＝－9×3

9×3＝2722 ＝2×729(2)在△ABC中，∵cos

3 7∴2＜B＜π，sinB＝1－cosB＝4 ＝－3∴cos(A＋B)＝－ ＝－3∴cos＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sin＝－ 7

37 3 4＋3×47

7 37答案 溫馨提醒在解決三角函數(shù)式的求值問(wèn)題時(shí)，要注意題目中角的范圍的限制，特別是進(jìn)行開(kāi)巧用變形和差角變形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1?tanx·tany)；倍角變形：降冪1＋cos 1－cos ，sin 配方變形：1±sinα＝sin2±cos21＋cos 1－cos 2sinA組(時(shí)間：40分鐘cos85°＋sin25°coscos 答案2

2sin5°＋3sin2解析原式

cos2sinsin30°－25°2sin

2cos cos ＝cos25°θ

π，sin 3

sin 答案4

＝88解析sin2θ＝37sin2θ＋cos2θ＝183＋43＋4(sinθ＋cosθ)2＝8 3＋4θπ，π，∴sinθ3＋4

同理，sinθ－cos

，∴sin3－4若tanθ＝ sin2θ3－41＋cos答 解析sin2θ＝2sinθcosθ＝tanθ＝1＋cos 已知cos 5

tan

3

α－β的值 π答案π4解析

5 5 2 π<α<2π，cosα＝－5sinα＝－5，tanα＝2tanβ＝3 ＝1

3

－β<0得 3，所以33

已知

tan＋ 答案3

＝5，

解析 4＝31＋tanα＋βtanβ－π

sin答案2

1－cos＝1＋sin＝

21＋sin1＋sin 2＝221＋sin

1＋sin10°已知α、β均為銳角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，則tan 答案解析cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，cosβ(cosα－sinα)＋sinβ(cosα－sinα)＝0，即(cosβ＋sinβ)(cosα－sinα)＝0.α、βsinβ＋cos∴cosα－sin∴tan 函數(shù)f(x)＝2cosxsin－3的最大值 —答案 —解析∵f(x)＝2cos ＝2cosx1sinx－ ＝1sin2x－

2cos- 2cos ＝sin2x－π－ 212

已知sin2α－tan求tan －tan解

3∴cos2α＋π＝－ ∴sin ＝sin2α＋πcosπ－cos2α＋πsin 22 又由(1)sin2α＝1，∴cos2α＝－2∴tan 1 sinα cosαtan ∴tan

2sinαcosα－2cos

-＝sin

2＝2121

6(1)求cosα

2＋cos2＝2 6解(1)

2＋cos2＝2sin又 32<α<πcosα＝－2 所以－<－<，故π － π 又sn(α－)＝3，得c() cosc[＝cosco(β)＋n(＝－

2 4

B組(時(shí)間：20分鐘π 2sin2α＋sinπ

答 2— tan 解析由 ＝2，得tan

1－tan2<α<0sinα＝－102sin2α＋sin 2sinαsinα＋cos2sin2sinα＋cos

＝22sin25

8－5答

，2，且sinα－sinαcosα－2cosα＝0，則 解析∵sin2α－sinαcosα－2cos2α＝0，cos∴tan2α－tan∴tanα＝2tan∵α∈0，π，∴tan tanπ－tan＝ ＝

tan3tan1＋2＝＝23－123－228－588－5

已知cosα－sinα＝32－答

解析3＝cos3 3∴sin 1－cos22α＝3

-

2cos2－6 2－6

2sin23－2×3 1＋cos

設(shè) ＋sinx＋asin＋4的最大值為2＋3，則常數(shù) 3答案3c2x

解析

2