專題05函數(shù)的性質(zhì)（1）

型陶講

題型一、函數(shù)的奇偶性

正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個(gè)問(wèn)題：（1）定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)/'（X）

為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；（2）『（一向=一/'（入）或/>（一入）=人入）是定義域上的恒等式.奇函數(shù)的

圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反之也成立.利用這一性質(zhì)可簡(jiǎn)化一些函數(shù)圖象的畫法,

也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性.填空題，可用特殊值法解答，但取特值時(shí)，要注意函數(shù)的定義域.

例1、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）函數(shù)y=/（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí),

/（x）=2x,則當(dāng)x>0時(shí)，/（%）=（）

A.一2'B.2T

C.—2-xD.2'

【答案】C

【解析】?.?x<0時(shí),/（%）=2\

當(dāng)x>0時(shí)，-x<0,/（-%）=

由于函數(shù)y=/（x）是奇函數(shù)，.?./（司=一/（一力=一2一工，

因此，當(dāng)x>0時(shí)，/卜）=一2-"故選c.

變式1、（2021?山東泰安市?高三三模）命題"奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的否定是（）

A.所有奇函數(shù)的圖象都不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.所有非奇函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.存在一個(gè)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.存在一個(gè)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

【答案】C

【解析】

全稱命題"所有奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱"的否定是特稱命題，

所以命題"奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱"的否定是"存在一個(gè)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

故選:C

變式2、（2020?山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期末）已知定義在［加-5,1-2加］上的奇函數(shù)/（x）,滿足x〉0

時(shí)，/（x）=2'-l,則/（加）的值為（）

A.-15B.-7C.3D.15

【答案】A

【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

則用一5+1—2m=0,解得加二一4

因?yàn)槠婧瘮?shù)/（X）當(dāng)x〉0時(shí),/（》）=2'-1

M/（-4）=-/（4）=-（24-l）=-15

故選:A

變式3、（2020屆浙江省臺(tái)州市溫嶺中學(xué)3月模擬）若函數(shù)/（x）=ln（2+。）是奇函數(shù)，則使/（X）＜1

的x的取值范圍為（）

A.GW）B,喝）

（e-1]（e—

C.--JD.-1,--U（l,+oo）

（e+1）\e+lj

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，函數(shù)/（x）=ln[占是奇函數(shù)，則/⑼=0,

即In[二一+〃]=（）,可得。=一1,

U+o）

則/（x）=ln￡^--=有匕色＞0,解可得

U-x）U-xJ1-x

即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,1）,

設(shè)，=二^,則y=ln"

1-x

11Y2

t=——=-------1,則f在（fl）上為增函數(shù),而歹=lnf在（0,+。）上為增函數(shù),則/（x）在（T1）上為

1-xX-1

增函數(shù)，

若/（x）=l，即匕土=e,解可得x=^~

1-xe+1

則即解得xcg'，

e-l

又由則有-l<x<---,

e+1

即X的取值范圍為1-1,*}

故選：A.

變式4、(2021?山東泰安市,高三三模)請(qǐng)寫出一個(gè)值域?yàn)椋?,2］且在［0,4］上單調(diào)遞減的偶函數(shù)

7TY

【答案】/(x)=cos—+1

4

【解析】

TTY

由/(x)=cos—+1在xeR匕偶函數(shù)，值域?yàn)椋?,2］且在［0,4］上單調(diào)遞減，

4

JTX

故答案為：/'(x)=cos——+1

4

變式5、(2021?山東日照市?高三其他模擬)寫出一個(gè)滿足/(x)=/(2-x)的奇函數(shù)/(x)=.

兀

【答案】sinyx(答案不唯一)

【解析】

TT

取/(》)=$也5》，下面為證明過(guò)程：

顯然，其定義域?yàn)镽；

7T

由/(—x)=sin~x\--sin5%)=一/(》)，故/(X)=5也5%為奇函數(shù);

又/(2_x)=siny(2-x)=sinll=sinyx=/(x).

依答案為：sin^x(答案不唯一).

2

題型二、函數(shù)的單調(diào)性

已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍要注意以下兩點(diǎn)：①若函數(shù)在區(qū)間［a,6］上單調(diào)，則該函數(shù)在

此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；②分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取

值.

對(duì)于復(fù)合函數(shù)尸九g(x)],若r=g(x)在區(qū)間(a,3)上是單調(diào)函數(shù)，且尸f(t)在區(qū)間(g(a),g(份)或

者(g(6),g(a))上是單調(diào)函數(shù)，若f=g(x)與y=f(t)的單調(diào)性相同(同時(shí)為增或減)，則尸=/[g(x)]為增函

數(shù)；若t=g(x)與尸Mt)的單調(diào)性相反，則尸爪式⑼]為減函數(shù).簡(jiǎn)稱：同增異減.

例2、(江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研)已知函數(shù)/(x)=〈在火上為單

-ax+\,x>1

調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】-1,-7

L2J

0,、ax2+2x.x<1

【解析】函數(shù)在R上為單調(diào)增函數(shù)，

-ax+l,x>1

-->1

a1

需，a<0,解得——.

2

a+2<-a+1

故答案為：-1,--.

變式1、(2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)演時(shí)，有

[/(』)一/(x2)](x1-x2)<0恒成立，若f(3x+1)+,/'(2)>0,則x的取值范圍是.

【答案】(一%-1)

【解析】根據(jù)己知條件：當(dāng)時(shí)，有[/(%)—/'(工2)](西一看)<0恒成立，得函數(shù)/(X)是定義在R上

的減函數(shù)，

又因?yàn)楹瘮?shù)〃x)是定義在火上的奇函數(shù)，所以一/(2)=/(—2),故/(38+1)+/(2)〉0等價(jià)于

/(3X+1)>-/(2)=/(-2),

所以3x+l<—2,即x<—1.

故答案為：(一8,-1).

變式2、(2021?山東高三二模)已知函數(shù)/(X)=3,7+X2-4X,且/(log?。)〉/。)，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍為()

A.(-oo,2)<J(8,+oo)B.(0,2)

C.(0,2)u(8,+oo)D.(8,+oo)

【答案】C

【解析】

2

/(4—X)=n臼+(4-一4(4一x)=3kT+x-4x=/(x).的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱,

?.?丁=3卜-2和^=/一4%都在(—8,2)上是減函數(shù)，在(2,+8)上是增函數(shù)，.?./卜)在(—8,2)卜.為減函

數(shù)，在(2,+8)上為增函數(shù).

又〃log24)>/(3),.?.|bg2"2|>|3-2|=1,即log2a<1或log2a>3,解得0<a<2或a>8.

故選：C.

題型三、函數(shù)的周期性

1、若/(x)是一個(gè)周期函數(shù)，則/(x+T)=/(x),那么/(x+2T)=/(x+T)=/(x),即27也是/(力

的一個(gè)周期，進(jìn)而可得：左丁(左eZ)也是/(x)的一個(gè)周期

2、函數(shù)周期性的判定：

(1)f(x+a)=f(x+b):可得/(x)為周期函數(shù)，其周期「=卜—4

(2)/(x+a)=—/(x)n/(x)的周期7=2a

/("+")=7^=>/(”的周期7=2。

(3)

(4)/(x)+/(x+a)=%(人為常數(shù))=/(x)的周期T=2a

(5)f(Xyf(x+a)=k(〃為常數(shù))=>/卜)的周期丁=24

例3、(2019通州、海門、啟東期末)已知函數(shù)f(x)的周期為4,且當(dāng)xG(0,4］時(shí)，fi(x)=

nx

cos—,0<x<2,\

則證

的值為

/3\

log2lx--2<x<4.

【答案】0

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為4,所以)=g)=/og22=l,故，；))=f(I)=cosg=0.

變式1、(2017南京三模)已知函數(shù)/(x)是定義在R上且周期為4的偶函數(shù).

31

當(dāng)xe[2,4]時(shí)，/(x)=|log4(x——),則f內(nèi)的值為▲.

22

【答案】-

2

[解析]由題意可得：=/(—I=bg4f(一:=；

變式1、(2021?河北張家口市?高三期末)已知/(X)是R上的奇函數(shù)，且對(duì)xeR,有/(x+2)=-/(x),

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/(x)=2*-1,則/(唾241)=()

252341

A.40B.—C.—D.—

164123

【答案】C

【解析】

由已知得了(x+4)=/(x),由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)估計(jì)出log241e(5,6),然后利用已知條件把自變量變小為

log241-6e(-l,0),再由奇函數(shù)定義可求得函數(shù)值.

【詳解】

5<log241<6,/(x+2)=-/'(x)n/[(x+2)+2]=-/(x+2)=/(x),

故/(log241)=/(log241—4)=—/(log241—6)=/(6Tog241).

6|Ofc41

6-log241e(0,1),故/(6-log241)=2-==

故選：C.

變式2、(2021?山東濟(jì)寧市?高三二模)已知/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，/。7)=-/(1+X),且當(dāng)

xe[0,l]時(shí)，/(x)=F+x—2,則下列說(shuō)法正確的是()

A.7(x)是以4為周期的周期函數(shù)

B.7(2018)+/(2021)=-2

C.函數(shù)y=log2(x+l)的圖象與函數(shù)/(X)的圖象有且僅有3個(gè)交點(diǎn)

D.當(dāng)xw[3,4]時(shí)，/（x）=x2-9x+18

【答案】ACD

【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)/（x）的周期，可判斷A選項(xiàng)的正誤；求出/（2018）、/（2021）的值，可判斷B選項(xiàng)的正誤;

數(shù)形結(jié)合可判斷C選項(xiàng)的正誤：求出函數(shù)〃％）在區(qū)間[3,4]上的解析式，可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，由已知條件可得/（x+l）=-/（l-x）=-/（x-l）=/（x—3）,

所以，函數(shù)/（X）是以4為周期的周期函數(shù)，A選項(xiàng)正確：

對(duì)于B選項(xiàng)，/（2018）=/（2）=-/⑼=2,/（2021）=/（1）=0,則/（2018）+〃2021）=2,B選

項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)x〉3時(shí)，bg2（x+l）＞2,即函數(shù)^=1082@+1）與函數(shù)/（力在（3,+8）上的圖象無(wú)交點(diǎn),

由圖可知，函數(shù)V=log2（x+1）與函數(shù)/（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)xe[3,4]時(shí)，x-4e[-l,0],則4-xe[0,l],

22

所以，/（X）=/（X-4）=/（4-X）=（4-X）+（4-X）-2=X-9x+18,D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

之園亞EB更

1、(2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考)下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在(一嗎。)上單調(diào)遞減的是()

W2

A.y=2B.v=C.y=--xD.^=ln(x+l)

【答案】AD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，丁=2兇為偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，歹=2-'=二為減函數(shù)，符合題意.

2

對(duì)于B選項(xiàng)，y=為偶函數(shù)，根據(jù)基函數(shù)單調(diào)性可知y=在(fO,0)上遞增，不符合題意.

對(duì)于c選項(xiàng)，y=L-x為奇函數(shù)，不符合題意.

X

對(duì)于D選項(xiàng)，^=ln(x2+1)為偶函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，y=ln(x2+1)在區(qū)間(—8,0)

上單調(diào)遞減，符合題意.

故選：AD.

2、【2020年新高考全國(guó)I卷】若定義在R的奇函數(shù)/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，且/(2)=0,則滿足力小一口之。

的x的取值范圍是

A.[―l,l]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]U[l,+a>)D.[-l,0]U[l,3]

【答案】D

【解析】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)/(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，且/(2)=0,

所以/(X)在(0,+co)上也是單調(diào)遞減,且/(-2)=0,/(0)=0,

所以當(dāng)x€(-oo,-2)。(0,2)時(shí),/(x)>0,當(dāng)x€(—2,0)U(2,+oo)時(shí),/(x)<0,

所以由?VXx-DNO可得：

x<0x>0

\-2<x-l<0或x—122或10Wx—1W2垢一1<一2或"=°.

解得—l<x<0或l〈xW3,

所以滿足曠,(x—l)NO的x的取值范圍是[―

故選：D.

3、(2021?山東泰安市?高三其他模擬)已知函數(shù)"X)滿足①定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8)；②值域?yàn)??；③

/(—x)=/(x).寫出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù)/(x)=.

【答案】/(X)=ln|x|(答案為唯一)

【解析】

/(x)=ln|x|的定義域?yàn)?―co,0)U(0,+8),值域?yàn)镽,且/(—x)=lnH|=lnk|=/(x),因此

/(x)=ln|x|符合題意.

故答案為：/(x)=ln|x|

<1,

4、(2021?山東濰坊市?高三三模)設(shè)函數(shù)/(X)=,、2則不等式/(1-因)+〃2)>0的解集

(x-1)+l,x>1,

為.

【答案】(-3,3)

【解析】

由函數(shù)解析式知“X)在R上單調(diào)遞增，且-/'(2)=-2=/(-2),

則/(1-附+/⑵>0=/(1-附>-7■⑵=/(—2),

由單調(diào)性知1一忖>一2,解得xe(—3,3)

故答案為：(-3,3)

5、(2020?河北邯鄲市?高三期末)已知g(x)是定義在火上的奇函數(shù)，/(x)=g(x)+V,若

f(a)=2,f(-a)=2a+2,則4=()

A.2B.-1C.2或—1D.2或1

【答案】C

【解析】

???8(%)是奇函數(shù)，，8(力+8(-汾=0,

f(x)+/(-x)=2x2,而/(a)=2,f(-a)=2a+2,

所以4+2。=2。2,解得a=2或—1,

故選：c

6、(山東省青島市2020-2021學(xué)年高三模擬)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：x為整數(shù)時(shí)，/(x)=2021；

x不為整數(shù)時(shí)，/(x)=0,則()

A./(x)是奇函數(shù)B./(X)是偶函數(shù)

C.Vx￡/?,/(/(%))=2021D./(x)的最小正周期為1

【答案】BCD

【解析】

A中，對(duì)于函數(shù)/(x),有/(1)=202=2021,

所以/(-X)=-/(力不恒成立，則函數(shù)/")不是奇函數(shù)，所以A不正確；

B中，對(duì)于函數(shù)/(x),若x為整數(shù)，則一x也是整數(shù)，貝ij有/(x)=/(-x)=2021,

若x不為整數(shù)，則-x也不為整數(shù)，則有=x)=0,

綜上可得/(—x)=/(x)，所以函數(shù)/(x)是偶函數(shù),所以B正確;

C中,若x為整數(shù)，則/(x)=2021,c不為整數(shù),則/卜)=0,

綜上函數(shù)/(x)是整數(shù)，則/(/(x))=2021,所以c正確;

D中，若x為整數(shù)，則x+1也是整數(shù)，若x不為整數(shù)，則x+1也不是整數(shù)，

總之有/(x+1)=/(x),所以函數(shù)/(X)的周期為1,

若￡(0</<1),則x和x+〃/可能是一個(gè)整數(shù)，也可能不是整數(shù)，則有+

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為1，所以D正確.

故