第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用目錄本章主要內(nèi)容：微分中值定理洛必達法則函數(shù)的單調(diào)性與極值最大值與最小值問題曲線的凹凸性與拐點3-1

微分中值定理3.1.1

拉格朗日（Lagrange）中值定理設(shè)y

=f

(x)為區(qū)間I

上的可導(dǎo)函數(shù).A(a,f

(a))與B(b,f

(b))是曲線y

=f

(x)上的任意兩點，將直線段AB

平行移動，在區(qū)間（a,b）內(nèi)總能找到一個位置，在該位置直線AB

與曲線恰好相切（如圖3-1），這就是微分學(xué)理論中重要的拉格朗日中值定理.定理3.1（拉格朗日中值定理）若函數(shù)f

(x)滿足：①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；②在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo).則至少存在一點x?

(a,b)使得f

(x)

=

f

(b)

-

f

(a)b

-a3-1

微分中值定理3.1.1

拉格朗日（Lagrange）中值定理推論

3.1

函數(shù)

y

=

f

(x)

在（a,

b）內(nèi)可導(dǎo)，且

f

￠(x)

=0

，則

f

(x)

在區(qū)間（a，b）內(nèi)是一個常數(shù)函數(shù).證明

任取

x1,

x2

?

(a,b)

，假設(shè)

x1

<

x2

，因為

f

(x)

在閉區(qū)間[x1,

x2

]

上滿足拉格朗日中值定時的條件，則有f

(x2

)

-

f

(x1)

=

f

￠(x)(x2

-

x1)

x?

(x1,

x2

)由假設(shè)知f

￠(x)=0

，所以可得f

(x2

)=f

(x1).這就是說，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)任意兩點的函數(shù)值都相等，所以f

(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)是一個常數(shù)函數(shù).3-1

微分中值定理3.1.1

拉格朗日（Lagrange）中值定理推論

3.2

函數(shù)

f

(x)

與

g(x)

在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)處處相等，即

f

￠(x)

=

g￠(x)

，則

f

(x)

與g(x)在（a，b）內(nèi)只相差一個常數(shù)，即f

(x)-g(x)=C

.3-1

微分中值定理3.1.1

拉格朗日（Lagrange）中值定理例

證明不等式

sin

a

-

sin

b

≤

a

-

b

.證明

令

f

(x)

=

sin

x

，則在區(qū)間[a，b]上滿足拉格朗中值定理，有sin

a

-

sin

b

=

cosx

(a

-

b) (a

<

x

<

b)于是sin

a

-

sin

b

=

cosxa

-

b

≤

a

-

b注

當(dāng)

a=0

時，不等式又可寫成

sin

b

≤

b

，它說明單位圓內(nèi)正弦線長度的絕對值不大于其對應(yīng)在單位圓上弧長的絕對值.注

用拉格剆日中值定理證明不等式，往往先構(gòu)造滿足拉格朗日中值定理條件的輔助函數(shù)

f

(x)

，然后對

f

￠(x)

進行放大或縮小處理即可.3-1

微分中值定理3.1.2

羅爾（Rolle）中值定理定理3.2（羅爾Rolle

中值定理）①在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；②在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；③

f

(a)

=

f

(b)

.設(shè)函數(shù)f

(x)滿足：則至少存在一點x

?

(a,b)，使f

￠(x)=0.3-1

微分中值定理3.1.2

羅爾（Rolle）中值定理3-2

洛必達法則3.2.1

0

和￥

型不定式0

￥定理3.4（洛必達（L’Hospital）法則（一））設(shè)函數(shù)f

(x),g(x)滿足下列條件：在x0

的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g￠(x)?0lim

f

(x)

=

lim

g(x)

=

0xfi

x0

xfi

x0xfi

x0g￠(x)（3）

lim

f

￠(x)=A

（或￥）xfi

x0xfi

x0g(x)

g￠(x)則

lim

f

(x)

=

lim

f

￠(x)

=

A

（或￥）3-2

洛必達法則3.2.1

0

和￥

型不定式0

￥定理3.5（洛必達（（L’Hospital）法則（二））設(shè)函數(shù)f

(x),g(x)滿足下列條件：在x0

的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g￠(x)?0lim

f

(x)

=￥,

lim

g(x)

=￥xfi

x0

xfi

x0xfi

x0g￠(x)（3）

lim

f

￠(x)=A

（或￥）xfi

x0xfi

x0g(x)

g￠(x)則

lim

f

(x)

=

lim

f

￠(x)

=

A

（或￥）說明 對于洛必達法則（一）和（二），把

x

fi

x0

改為

x

fi

￥

仍然成立.3-2

洛必達法則例求limxfi

0

sin

xex

-1．解

這是“

0

”型，試用洛必達法則，得0limexex

-1 (ex

-1)￠xfi

0

sin

x

(sin

x)￠

xfi

0

cos

x=

lim

=

lim

=1，xfi

0求得極限是1，這說明該未定式滿足洛必達法則的條件，并能用洛必達法則計算其極限3-2

洛必達法則xfi

0例

求極限lim

1

-

cos

x

.解22limxfi

0x21

-

cos

x00=limxfi

0(1

-

cos

x)￠=

limxfi

0sin

x

1(x

)￠2x

2x=.例

求極限limxfi

0ex

-

cos

xx

sin

x解0limxfi

0ex

-

cos

x

0ex

+

sin

x=limxfi

0

sin

x

+

x

cos

xx

sin

x=

￥3-2

洛必達法則3.2.2

可化為0

和￥

型不定式0

￥1．0

￥型對于0

￥型極限，常見的求解方法是先把函數(shù)變形化為0

型或￥

，再用洛必達法0

￥則求解.例求極限lim

x

ln

x

.xfi

0+解=

lim

(-x)

=

0xfi

0+1ln

x0

￥lim

x

ln

x

=

limxfi

0+

xfi

0+

1xxx2￥￥xfi

0+

1=

lim-0注

此題如若將

0

￥

型化為

0

型，較繁.3-2

洛必達法則3.2.2

可化為0

和￥

型不定式0

￥2．￥

–￥型對于￥

–￥型極限，先將函數(shù)進行恒等變形（通分等）化為0

型或￥

型，再用洛必0

￥達法則求之.2

1例

求極限lim(xfi

1-

)

.解2x2

-1

x

-12

1lim(xfi

1x

-1

x

-12xfi

1

2x-1

1200=lim￥

-￥xfi

1

x1

-

x-

)

=

lim-1=

-3-2

洛必達法則3.2.2

可化為0

和￥

型不定式0

￥=N

將冪指￥3.

1￥型、00

型、￥

0

型1￥型、00

型、￥

0

型這三種不定型，要用取對數(shù)的方法或者用公式eln

N函數(shù)指數(shù)化，轉(zhuǎn)化為0

型或￥

型的極限來求.01例

求極限lim

x1-x

.（1￥）xfi

1解1由于x1-xln

x=e1-x

，于是ln

x1=

e1-x1=

eln

x1-

x1 ln

xlim

ln

xlim

-1=

exfi

11-x

=

exfi

1

x=

e-1lim

x1-x

=

lim

e1-xxfi

1

xfi

13-3函數(shù)的單調(diào)性與極值3.3.1

函數(shù)的單調(diào)性定理

3.6

設(shè)函數(shù)

f

(x)

在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則有如果在（a，b）內(nèi)f

￠(x)>0

，那么，函數(shù)f

(x)在（a，b）上單調(diào)增加.如果在（a，b）內(nèi)f

￠(x)<0

，那么，函數(shù)f

(x)在（a，b）上單調(diào)減少.注：（1）這個判定定理只是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加（減少）的充分條件.（2）這個判定定理中的閉區(qū)間換成其他區(qū)間結(jié)論也成立.3-3函數(shù)的單調(diào)性與極值3.3.2函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)y

=f

(x)在x0

的某一個鄰域U

(x0

,d

)內(nèi)有定義，則如果當(dāng)x

?

U

(x0

,d

)(x

?x0

)時,恒有f

(x0

)<f

(x)，則稱x0

是f

(x)的極小值點，稱f

(x0

)為f

(x)的極小值.如果當(dāng)x

?

U

(x0,d

)(x

?x0

)時,恒有f

(x0

)>f

(x)，則稱x0

是f

(x)的極大值點，稱f

(x0

)為f

(x)的極大值.極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值3-3函數(shù)的單調(diào)性與極值3.3.2函數(shù)的極值3-3函數(shù)的單調(diào)性與極值3.3.2函數(shù)的極值定理3.7（極值點的必要條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點x0

處可導(dǎo)，且x0

為f(x)的極值點，則f

￠(x0

)=03-3函數(shù)的單調(diào)性與極值3.3.2函數(shù)的極值3-3函數(shù)的單調(diào)性與極值3.3.2函數(shù)的極值3-3函數(shù)的單調(diào)性與極值3.3.2函數(shù)的極值定理

3.8（極值的第一充分條件）

設(shè)函數(shù)

y=

f(x)

在

x0

的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在

x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)（允許

f￠(0)

不存在），則當(dāng)x

<x0

時，f

￠(x)>0

；當(dāng)x

>x0

時，f

￠(x)<0

，則x0

為f(x)的極大值點.當(dāng)x<x0

時，f￠(x)<0

；當(dāng)x

>x0

時，f￠(x)>0

，則x0

為f

(x)的極小值點.在x0兩側(cè)f￠(x)符號相同，則x0

不是f

(x)的極值點.3-3函數(shù)的單調(diào)性與極值3.3.2函數(shù)的極值求函數(shù)極值的一般步驟為：指出函數(shù)f

(x)的定義域，求出f￠(x)；求出可能的極值點，即f

(x)的駐點和f

￠(x)不存在的點；利用極值的第一充分條件進行判斷.3-3函數(shù)的單調(diào)性與極值3.3.2函數(shù)的極值2例求函數(shù)f

(x)=(x

2

-4)3

的極值．解

函數(shù)的定義域為(-￥

,+￥

)

，324

x3-

1f

￠(

x

)

=

(

x

2

-

4

) 2

x

=3

3

x

2

-

4．令f

￠(x)=0

，得駐點為x

=0

；但當(dāng)x

=–2

時，f

(x)不存在．列表討論如下：x(-￥

,

-2)-

2(-2,

0)0(0,

2)2(2,+￥

)f

(x)—不存在+0—不存在+f

(x)↘極小值0↗極大值3

16↘極小值0↗所以，f

(x)的極大值為3

16

，極小值為0.3-3函數(shù)的單調(diào)性與極值3.3.2函數(shù)的極值定理

3.9（極值的第二充分條件）

函數(shù)

f

(x)

在

x0

處具有二階導(dǎo)數(shù)，且

f￠(x0

)

=

0

則當(dāng)f

￠(x0

)<0

時，x0

是f

(x)的極大值點.當(dāng)f

￠(x0

)>0

時，x0

是f

(x)的極小值點.當(dāng)f

￠(x0

)=0

時，不能判斷x0

是否是f(x)的極值點.3-3函數(shù)的單調(diào)性與極值3.3.2函數(shù)的極值例

利用極值的第二充分條件，求函數(shù)

y

=

x4

-

8

x3

-

6x2

的極值.3解

所給函數(shù)定義域為（-￥

，+￥

），

y￠=

4x3

-

8x2

-12x

=

4x(x

+1)(x

-

3)

.令y￠=0

得y

的駐點為：x1

=-1,x2

=0,x3

=3y

￠=12x2

-16x

-12x=-13因

y

￠

=16

>

0

，所以

y(-1)

=

-

7

為一個極小值；因y

￠x=0

=-12

<0

，所以y(0)=0

為一個極大值；因y

￠x=3

=48

>0

，所以y(3)=-45

也是一個極小值.3-4最大值與最小值問題3.4.1

函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)f

(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的求法：求出函數(shù)f

(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)所有可能的極值點（駐點及導(dǎo)數(shù)不存在的點）；求出上述各點的函數(shù)值與端點處的值進行比較，其中最大的就是函數(shù)f

(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值，最小的就是函數(shù)f

(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最小值．3-4最大值與最小值問題3.4.1

函數(shù)的最大值與最小值例求函數(shù)f

(x)=2x3

-6x2

-18x

+1在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值．解f

￠(x)

=

6x2

-12x

-18

=

6(x

+1)(x

-3)

，令f

￠(x)=0

，得駐點x1

=-1

和x2

=3

，但由于點x1

=-1

不在區(qū)間[1,4]內(nèi)，故無需討論．并且f(3)

=

-53

，

f

(1)

=

-21，

f(4)

=

-39

，比較大小得，函數(shù)的最大值為f

(1)=-21，最小值為f

(3)=-53

．3-4最大值與最小值問題3.4.2

函數(shù)最值的應(yīng)用1.

最大利潤利潤是衡量企業(yè)經(jīng)濟效益的一個主要指標(biāo)，在一定的設(shè)備條件下，如何安排生產(chǎn)才能使企業(yè)獲得最大的利潤，這是企業(yè)管理中一個很重要的問題．3-4最大值與最小值問題3.4.2

函數(shù)最值的應(yīng)用例

某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其總成本為C(q)

=

1q2

+

q

+100

，該種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為q

=

75

-

3

p

（其9中p

為單價），問每天生產(chǎn)多少件該產(chǎn)品時的利潤最大，并求出最大利潤？解

由題意得，利潤函數(shù)為：L(q)

=

R(q)

-

C(q)

=

p

q

-

C(q)

=

(25

-

q

)q

-

1

q2

-

q

-1003

9(q

?

0)

，4=-

q2

+

24q

-10098L￠(q)=-q

+24

，令L￠(q)=0

，得駐點q

=27

，并且是唯一的駐點，此時利潤函數(shù)L(q)取到最大值，9且最大利潤為L(27)=224

．即，每天生產(chǎn)27

件該產(chǎn)品時的利潤最大，且最大利潤為224．3-4最大值與最小值問題3.4.2

函數(shù)最值的應(yīng)用2.

最小成本例已知某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的可變成本為C(q)=q3

-9q2

+30q

(其中C

表示可變成本，單位：千元，q

表示產(chǎn)量，單位：噸)，求平均可變成本C(q)（單位：千元）的最小值．解

由題意得，平均可變成本為：2q

qC(q)

q3

-

9q2

+

30qC(q)

=

= =

q

-

9q

+

30

，C￠(q)=2q

-9

，令C￠(q)=0

，得駐點q

=4.5

，并且是唯一的駐點，此時平均可變成本C(q)取到最小值，且最小平均可變成本為C(4.5)=9.75

（千元）．即產(chǎn)量為4.5

噸時，平均可變成本最小且最小值為為9750

元．3-5曲線的凹凸性與拐點3.5.1

曲線的凹凸性3-5曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性定理

3.10（曲線凹凸性的判定法）

設(shè)函數(shù)

f

(x)

在（a，b）內(nèi)二階可導(dǎo).若在（a，b）內(nèi)f

￠(x)>0

，則曲線y

=f

(x)在（a，b）內(nèi)為凹的；若在（a，b）內(nèi)f

￠(x)<0

，則曲線y

=f

(x)在（a，b）內(nèi)為凸的.注

上述定理中的區(qū)間改為閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間以及無窮區(qū)間也是成立的.3-5曲線的凹凸性與拐點3.5.1

曲線的凹凸性例1判定曲線y

=x3

的凹凸區(qū)間.1解所給曲線y

=x3

在（-￥

，+￥）內(nèi)為連續(xù)曲線，由于3-

21

293

x5y￠=

x

3

,

y

￠=-x

?

01

1因此，當(dāng)

x

>

0

時，

y

￠<

0

，可知曲線

y

=

x3

在（0，+￥

）內(nèi)為凸的.當(dāng)

x

<

0

時，

y

￠>

0

，可知曲線

y

=

x3

在（-￥

，0）內(nèi)凹的.根據(jù)定理（3.10）可知，二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)是判斷曲線凹凸的依據(jù)，同時，我們又知道駐點和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點是函數(shù)增減區(qū)間可能的分界點.類似地，二階導(dǎo)數(shù)為零和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點是曲線凹凸區(qū)間可能的分界點.3-5曲線的凹凸性與拐點3.5.2曲線的拐點定義連續(xù)曲線上的凹與凸部分的分界點，稱為曲線的拐點.由此得到：在曲線的拐點處有y

￠(x)=0

或y

￠(x)不存在.注

拐點是曲線上點，拐點的坐標(biāo)必須寫成(x0

,

f

(x0

))

.討論曲線凹凸及拐點的一般步驟為：指出函數(shù)f

(x)的定義域，求出f

￠(x)；求出可能拐點的橫坐標(biāo)，即f

￠(x)=0

或f

￠(x)不存在的點的橫坐標(biāo)；判定在這些點的兩側(cè)f

￠(x)的符號，由定理3.10

指出凹凸性，進而求出拐點.3-5曲線的凹凸性與拐點3.5.2曲線的拐點例

判定曲線的凹凸，并求曲線的拐點1（1）

y

=

x3

（2）

y

=

x3-

21

2

13

9?

0

，x3

x2解

（1）此函數(shù)的定義域為（-￥

，+￥

），

y￠=

x

3

，

y

￠=-當(dāng)x=0

時，y

￠不存在，且當(dāng)x

<0

時，y

￠>0

；當(dāng)x

>0

時，y

￠<0

.1故曲線在（-￥

，0）內(nèi)是凹的，在（0，+￥

）是凸的；（0，0）是曲線y

=x3

的拐點.（2）此函數(shù)的定義域為（-￥

，+￥

），y￠=3x2

，y

￠=6x，令y

￠=0

得x=0，當(dāng)x

<0

時，y

￠<0

；當(dāng)x

>0

時，y

￠>0

.故曲線y

=x3

在（-￥

，0）內(nèi)是凸的，在（0，+￥

）內(nèi)是凹；（0，0）是曲線的拐點.3-5曲線的凹凸性與拐點3.5.3

曲線的漸近線定義

如果曲線

y

=

f

(x)

上的一動點P

沿著曲線趨于無窮遠點，動點

P

與某條直線L

的距離趨于零，則稱直線L

為曲線

f

(x)

的漸近線.3-5曲線的凹凸性與拐點3.5.3

曲線的漸近線3-5曲線的凹凸性與拐點3.5.3

曲線的漸近線3-5曲線的凹凸性與拐點3.5.3

曲線的漸近線3-5曲線的凹凸性與拐點3.5.4

函數(shù)圖形描繪的步驟一般地，描繪函數(shù)y

=f

(x)的圖像有如下步驟：確定函數(shù)的定義域；確定曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性；求出曲線和坐標(biāo)軸的交點；判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出極值；確定函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點；求出曲線的漸近線；列表討論并描繪函數(shù)的圖像.本章小結(jié)中值定理羅爾中值定理函數(shù)f

(x)在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，f

(a)=f

(b)，則至少存在一點x

?

(a,b)，使得f

￠(x)=0.拉格朗日中值定理b

-

a函數(shù)f

(x)在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點x

?

(a,b)，使得f

￠(x)=

f

(b)-f

(a)

.注意兩個推論.本章小結(jié)2．洛必達法則若分式

f

(x)

是

0

型或￥

型未定式，而且lim

f

￠(x)

=

A（或￥

），則有l(wèi)im

f

(x)

=

lim

f

￠(x)

=

A（或￥

）.g(x)

0

￥

g￠(x)

g(x)

g￠(x)注意

上述公式對任意的變化過程都是成立的.其他形式的未定式必須化成

0

型或￥

型未定式才能應(yīng)用此法0

￥則.本章小結(jié)3．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1）函數(shù)單調(diào)性判定定理 設(shè)函數(shù)

f(x)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，如果在（a,b）內(nèi)

f

'(x)

>

0

，則

f(x)在[a,b]上單調(diào)增加.如果在（a,b）內(nèi)f

'(x)<0

，則f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟為：確定函數(shù)的定義域（確定討論范圍）；求出使f

'(x)=0

的點和f

'(x)不存在的點，并以這些點為分界點，將定義域分為若干個部分區(qū)間；列表確定f

'(x)的各個部分區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定f(x)的單調(diào)增減區(qū)間.本章小結(jié)4．求函數(shù)的極值1）判斷極值的兩個充分條件：第一充分條件：設(shè)x0

是f(x)的極值可疑點，且f(x)在點x0

處連續(xù)，在點x0

的某個領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)（允許f

'(x0

)不存在），當(dāng)x

<x0

時，當(dāng)f

'(x0

)>0

，而當(dāng)x

>x0

時，f

'(x0

)<0

，則f

(x0

)是函數(shù)的極大值.當(dāng)x

<x0

時，當(dāng)f

'(x0

)<0

，而當(dāng)x

>x0

時，f

'(x0

)>0

，則f

(x0

)是函數(shù)的極小值.當(dāng)x

<x0

，與x>x0

時，f

'(x)不變號，則f

(x0

)不是函數(shù)f

(x

)的極值.第二充分條件：如果函數(shù)f

(x)在x0處有二階導(dǎo)數(shù),且f

￠(x0

)=0，f

￠(x0

)?0如求f

￠(x0

)>0,則f

(x0

)是函數(shù)的極小值；如求f

￠(x0

)<0則f

(x0

)是函數(shù)的極大值.本章小結(jié)4．求函數(shù)的極值2）求函數(shù)的極值步驟：①求出函數(shù)f(x)的定義域及導(dǎo)數(shù)f

'(x)；②求出函數(shù)的極值可疑點x0

，即f(x)的駐點和f

'(x)不存在的點；③判定x0

處左右的導(dǎo)數(shù)的符號，確定x0

是否是極值點，如果是極值點，進一步確定是極大值點還是極小值點；若只有駐點，且f

￠(x0

)?0

，也可考慮用二階導(dǎo)數(shù)的符號來判別：若f

￠(x)>0

，則x0

是極小值點；f

￠(x)<0

，則x0是極大值點.④求出各極值點處的函數(shù)值，就得到函數(shù)f(x)的極值.本章小結(jié)求函數(shù)的最值求一個連續(xù)函數(shù)在[a,b]上的最大值和最小值,只要先求出函數(shù)f

(x)在(a,b)內(nèi)的一切