分形的哲學(xué)思考、藝術(shù)欣賞及其應(yīng)用內(nèi)容提要概述分形起源一些奇怪現(xiàn)象分形幾何分形特征幾種典型的分形圖形關(guān)于維數(shù)分形應(yīng)用（分形插值）2021/7/152一、概述2021/7/153大家都知道，耗散結(jié)構(gòu)理論、協(xié)同學(xué)、突變理論、混沌動(dòng)力學(xué)和分形幾何都是創(chuàng)立于

70年代，它們無一不是跨學(xué)科的，也無一不是非線性的。它們的共同目標(biāo)是探索大自然中的復(fù)雜性。它們從不同的角度揭示復(fù)雜現(xiàn)象中的規(guī)則性?？梢哉f，這些非線性理論在本世紀(jì)是繼量子力學(xué)和相對論兩大重大學(xué)科的發(fā)現(xiàn)和第三次科學(xué)革命。我們把這些非線性理論共同形成的學(xué)科稱為非線性學(xué)科。因此，這門學(xué)科是一門年輕的學(xué)科。為什么要學(xué)非線性理論呢？原因有二：其一，復(fù)雜現(xiàn)象普遍存在于自然界中，非線性理論是解開復(fù)雜現(xiàn)象之迷的金鑰匙；其二，是訓(xùn)練學(xué)生的思維功能，即培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。一個(gè)人在完成學(xué)業(yè)之后，可能獲得許多知識，但這并不是衡量一個(gè)人能力的標(biāo)準(zhǔn)。因?yàn)殡S著時(shí)間的流逝，大部分的知識還會(huì)被忘卻，而只有得以訓(xùn)練的思維方式的功能永存。所以，人們常說教學(xué)不僅是教給學(xué)生知識，更重要的是要教給學(xué)生獲得知識的方法。非線性理論為認(rèn)識復(fù)雜現(xiàn)象提供了新的思維方式和解決問題的辦法。難怪生態(tài)學(xué)家May大聲疾呼：“必須向一般學(xué)生講授混沌”。又有人說“可以相信，明天誰不熟悉分形，誰就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人＂。2021/7/154二、分形的起源分形起源1973年,法國數(shù)學(xué)家B.Mandelbrot

在法蘭西學(xué)院講課時(shí),首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想,創(chuàng)造了“分形(Fractal)”這個(gè)新術(shù)語。他創(chuàng)立的分形幾何，為研究自然界中廣泛存在的復(fù)雜無序，不規(guī)則現(xiàn)象提供了一種定量描述手段，為人們從局部認(rèn)識整體、從有限認(rèn)識無限提供了新的方法。因此,近年來分形幾何不論在理論上,還是在應(yīng)用上都得到了迅速的發(fā)展。分形：具有自相似結(jié)構(gòu)的復(fù)雜幾何體。2021/7/155英國海岸線的長度隨尺碼變化（無窮大）；三、一些奇怪的現(xiàn)象2021/7/156Koch

雪花(面積有限,周長無限)2021/7/157哲學(xué)思考：曲線的維數(shù)不是一維的。就好比用直線（一維的）去度量曲面（二維的），所得的結(jié)果只能是無窮大。英國海岸線和koch雪花的周長它們都不是一維的，所以用一維的線段尺碼去度量它們，得到的結(jié)果只能是無窮大。但是它們又不是二維的，因?yàn)樗鼈儾豢赡艹錆M整個(gè)平面。故它們的維數(shù)是一個(gè)在1~2之間的數(shù)（分?jǐn)?shù)維）。哲學(xué)思考：曲線的維數(shù)不是一維的。就好比用直線（一維的）去度量曲面（二維的），所得的結(jié)果只能是無窮大。英國海岸線和koch雪花的周長它們都不是一維的，所以用一維的線段尺碼去度量它們，得到的結(jié)果只能是無窮大。但是它們又不是二維的，因?yàn)樗鼈儾豢赡艹錆M整個(gè)平面。故它們的維數(shù)是一個(gè)在1~2之間的數(shù)（分?jǐn)?shù)維）。2021/7/158四、分形幾何2021/7/159歐氏幾何（規(guī)則形體：園、方、柱、錐、球；整數(shù)維數(shù)：點(diǎn)、線、面、體）分形幾何（自然界中不規(guī)則形體、山，水系，云，樹皮，分?jǐn)?shù)維數(shù)）2021/7/1510分形水系2021/7/1511

自相似性（樹、菜花、水系、國徽、故事）五、分形特征

分?jǐn)?shù)維（海綿3維→2維，圖）2021/7/1512樹的自相似性2021/7/1513Cantor集：D=0.6309。直線段去掉中間的三分之一19

世紀(jì)數(shù)學(xué)家Cantor

提出。與實(shí)際相聯(lián)系是IBM

公司的高級研究員

Mandelbrot。他發(fā)現(xiàn)噪音總是一群群出現(xiàn)，一段無誤差的通訊之后緊跟著是一段有誤差的通訊。他按不同的時(shí)間尺度對無誤差傳輸段和有誤差傳輸段進(jìn)行劃分。若把一天的情況按小時(shí)作光滑平均，則發(fā)現(xiàn)：有一小時(shí)無錯(cuò)，下一小時(shí)有錯(cuò)。若按分作光滑平均，原來無錯(cuò)的那一小時(shí)段中，還會(huì)出現(xiàn)有錯(cuò)段；原來有錯(cuò)的那一小時(shí)段中，還會(huì)出現(xiàn)無錯(cuò)段。把時(shí)間尺度如此細(xì)下去，出現(xiàn)同樣的結(jié)果。更重要的是不管用小時(shí)還是用秒作尺度，有錯(cuò)段與無錯(cuò)段之比，始終為一常數(shù)。因此，通訊誤差是一種在時(shí)間軸上排列的

Cantor集2021/7/1514Koch曲線：D=1.26182021/7/1515Sierpinski

地毯carpet：D=1.8928

（正方形）2021/7/1516Sierpinski

墊片gasket：D=1.5850

（三角形）2021/7/1517Sierpinski

海綿sponge：D=2.7768

（立方體）2021/7/1518拓?fù)渚S數(shù)：七、關(guān)于維數(shù)點(diǎn)：零維；線：一維；2021/7/1519面：二維；體：三維。維數(shù)定義：一個(gè)幾何對象的維數(shù)，等于確定其中一個(gè)點(diǎn)的位置所需獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。二維空間中的曲線

y=f

(x)，其上任一點(diǎn)可以由（x,

y）確定。（思考：獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目）2021/7/15202021/7/152112

2

1

3,

l

(

r

)

=

r

3

N

(

r

)

=

1N

(

r

)

=

8

=r

=

1

,

13

3

1

3,

l

(

r

)

=

r

3

N

(

r

)

=

1N

(

r

)

=

27

=r

=

1

,ln(1)d

=1,

2,

3rd

=

ln

N(r)r

:

N(r)

=

1

,l(r)

=

rd

N(r)

=1,rd2

1

2l

(

r

)

=

r

2

N

(

r

)

=

1N

(

r

)

=

4

=

1

,r

=

1

,

2

13

3

1

2,

l

(

r

)

=

r

2

N

(

r

)

=

1N

(

r

)

=

9

=r

=

1

,2

2

1

1l

(

r

)

=

r N

(

r

)

=

1N

(

r

)

=

2

=

1

,r

=

1

,3

3

1

1l

(

r

)

=

r N

(

r

)

=

1N

(

r

)

=

3

=

1

,r

=

1

,維數(shù)的特征分形維數(shù)：在維數(shù)概念的基礎(chǔ)上，d維空間中的幾何體，若將其線度（邊長）擴(kuò)大L倍，則整個(gè)形體就擴(kuò)大K=Ld倍。在2維空間中，有K=L2。在3維空間中，有

K=L3。故空間維數(shù)與K、L之間具有以下關(guān)系：d=lnK/lnL。d(實(shí)數(shù))就稱為幾何體的維數(shù)。2021/7/1522幾種分形維數(shù)的數(shù)學(xué)定義：2021/7/15231、容量維數(shù)2、信息維數(shù)3、關(guān)聯(lián)維數(shù)

4、Renyi維數(shù)幾種分形圖案與分形曲面2021/7/15242021/7/15252021/7/15262021/7/15272021/7/15282021/7/15292021/7/15302021/7/15312021/7/15322021/7/15332021/7/1534分形是當(dāng)今最激動(dòng)人心的研究領(lǐng)域之一,

正如Mandelbrot在《自然中的分形幾何》中所寫到的那樣:“科學(xué)家發(fā)現(xiàn),他們以前必須稱之為粒狀、流體狀、中間狀、丘疹狀、麻窩狀、樹枝狀、海草狀、奇異狀、齋亂狀、彎曲狀、波形狀、束狀、折皺狀等不少形狀從今以后能以嚴(yán)格的和強(qiáng)有力的定量方法加以處理,對此他們將會(huì)驚喜不已?！皵?shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn),那些至今為止認(rèn)為異常的集合在某種意義上說應(yīng)該是規(guī)則的,被認(rèn)為是病狀的結(jié)構(gòu)應(yīng)該自然而然地從非常具體的問題中演化出來,對于大自然的研究應(yīng)該有助于解決一些老問題和產(chǎn)生如此之多的新問題,對此他們將會(huì)驚喜不已?！?021/7/1535分形應(yīng)用（分形插值）2021/7/1536巖石斷裂表面巖石斷裂表面圖片圖5-6

常規(guī)三軸壓力測試下的砂巖剪切斷裂表面(根據(jù)Jinan

Wang

1994)圖

5-7

剪切角為

45

時(shí)的剪切測試的砂巖斷裂表面(根據(jù)Jinan

Wang

1994)2021/7/1537實(shí)測巖石斷裂表面圖05152001817161514131220102021/7/153810X,

mmY,

mmZ,mm(

a

)巖石斷裂表面的分形特征定性分析(

a

)2021/7/1539(

c

)(

b

)圖5-9

巖石斷裂表面的自相似特征(

a

) 1

:

1 (

b

) 1

:

0.5 (

c

) 1

:

0.25定量分析實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)定義為[35,

39]:隨機(jī)函數(shù)z(x)的分形性可由V(h)表示[17,

80]

:分形維數(shù)D可由下式確定:i2021/7/1540iN

(h

)[

z

(

xN

(

h

)V

(h

)

=+

h

)

-

z

(

x

)]12i

=1V

(h)=

Ah

b2D

=

2

-

b-1.51-5-3-3.5-4-4.5-2.5-2log(V(h))-1 -0.5

0

0.5log(h)圖5-10

巖石斷裂表面的雙對數(shù)圖(實(shí)測斷裂表面圖見圖5-8(a))相關(guān)系數(shù)r=0.99872021/7/1541巖石斷裂表面的自仿射分形插值6.1.1

插值模型在第四章中我們已經(jīng)討論了矩形域上的分形插值根據(jù)迭代函數(shù)系統(tǒng)的計(jì)算公式,將公式(4-25)、(4-27)和(4-28)代入IFS(4-32),我們可以求得自仿射分形插值曲面的顯函數(shù):n

,

m

nn

,

m

mf

(

x,

y)

=

e

F

-1

(

x)

+

fY

-1

(

y)

+

gF

-1

(

x)Y

-1

(

y)n

,

m

n

mn

,m+

s f

(F

-1

(

x)

,

Y

-1

(

y))

+

kn

,

m

n

m(6-1)其中:en,m

,fn,m

,gn,m

,kn,m

由公式(4-30)求得,nx

-

x+

xn-1n

n

-10F

-1

(

x)

=

(

x

-

xx

-

x)

N

0,

x?[xn-1

n,

x

]

,

n?{1,2,

…,

N},(6-2)m2021/7/1542y

-

y+

ym-1m m-10Y

-1

(

y)

=

(

y

-

yy

-

y)

M

0,

y?[ym-1

m,

y

],

m?{1,2,

…,

M},(6-3)斷層面的分形插值斷層是巖體在長期的地質(zhì)構(gòu)造運(yùn)動(dòng)過程中形成一種巖石斷裂現(xiàn)象.斷層的存在直接影響著巖體的物理力學(xué)行為。而且斷層的分布狀況及斷層面的粗糙程度,控制著斷層面兩側(cè)巖體的接觸應(yīng)力分布、磨擦滑動(dòng)特性和斷裂面的力學(xué)性質(zhì),往往是工程巖體穩(wěn)定性的決定性因素。因此，研究斷層面的幾何狀態(tài)、粗糙程度,對于研究其力學(xué)行為、查明整個(gè)工程巖體的穩(wěn)定性是至關(guān)重要的。長期以來,受研究手段和研究方法的限制,沒有科學(xué)的定

量描述手段,一直是把斷層面當(dāng)作光滑的平面來看待的。其實(shí),斷層的表面是粗糙起伏凹凸不平的。大量的研究表明,地質(zhì)斷裂面,小到巖石斷口,大到斷層的表面都具有統(tǒng)計(jì)意義上的分形結(jié)構(gòu)特征，可以用分形維數(shù)加以描述.斷層是巖體在長期的地質(zhì)構(gòu)造運(yùn)動(dòng)過程中形成一種巖石斷裂現(xiàn)象.斷層的存在直接影響著巖體的物理力學(xué)行為。而且斷層的分布狀況及斷層面的粗糙程度,控制著斷層面兩側(cè)巖體的接觸應(yīng)力分布、磨擦滑動(dòng)特性和斷裂面的力學(xué)性質(zhì),往往是工程巖體穩(wěn)定性的決定性因素。因此，研究斷層面的幾何狀態(tài)、粗糙程度,對于研究其力學(xué)行為、查明整個(gè)工程巖體的穩(wěn)定性是至關(guān)重要的。長期以來,受研究手段和研究方法的限制,沒有科學(xué)的定

量描述手段,一直是把斷層面當(dāng)作光滑的平面來看待的。其實(shí),斷層的表面是粗糙起伏凹凸不平的。大量的研究表明,地質(zhì)斷裂面,小到巖石斷口,大到斷層的表面都具有統(tǒng)計(jì)意義上的分形結(jié)構(gòu)特征，可以用分形維數(shù)加以描述.2021/7/1543斷層面標(biāo)高數(shù)據(jù)0100200300050900800700600500150100X,mmY,mmZ,mm圖

7-1

斷層面信息點(diǎn)空間分布形態(tài)2021/7/154400-4-27680100200300050900800700600500