《微積分》A刻苦勤奮－理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心－第八章多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)內(nèi)容和基本要求

理解多元函數(shù)的極限與連續(xù)概念,以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分條件。理解方向?qū)?shù)和梯度的概念，并掌握其計算方法。掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。會求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全導(dǎo)數(shù)。了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單函數(shù)的最大值和最小值，會解一些簡單應(yīng)用題。重點與難點重點：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，用拉格朗日條件極值求最大值應(yīng)用問題，方向?qū)?shù)與梯度。難點：全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。第八章多元函數(shù)微分學(xué)

習(xí)題課主要內(nèi)容平面點集和區(qū)域多元函數(shù)的極限多元函數(shù)連續(xù)的概念極限運算多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)概念全微分的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則全微分形式的不變性方向?qū)?shù)全微分概念偏導(dǎo)數(shù)概念微分法在幾何上的應(yīng)用多元函數(shù)的極值解令練習(xí)１uvxy型練2解

設(shè)u=f(x,y,z),y=x3,(x2,lny,z)=0.解:u=f(x,x3,z)(x2,3lnx,z)=0易見z,u均x

的函數(shù),方程兩邊對x

求導(dǎo)數(shù).練3得解令記則方程組為方程組兩端對x求偏導(dǎo)數(shù)：練4方程組兩端對x求偏導(dǎo)數(shù)：的條件下，方程組有唯一解。解則設(shè)則問題就是在條件下，求的最小值。練5構(gòu)造函數(shù)由(1),(3)得由(2),(3)得代入(4)得

已知曲面的方程為證明：曲面上任一點處的切平面通過某一定點。解設(shè)曲面上任一點為M(x0,y0,z0).曲面在點M(x0,y0,z0)處的法向量為練6M(x0,y0,z0)是曲面上的點，因此，切平面方程因此，曲面上任一點處的切平面均通過原點(0,0,0)。切平面方程練7練8(元).解得

件，件，故惟一駐點(25,17)也是最小值點，它使成本為最小，最小成本為

如何購物最滿意

日常生活中，人們常常碰到如何分配定量的錢來購買兩種物品的問題．由于錢數(shù)固定，則如果購買其中一種物品較多，那么勢必要少買(甚至不再能買)另一種物品，這樣就不可能很令人滿意．如何花費給定量的錢，才能達(dá)到最滿意的效果呢？經(jīng)濟學(xué)家試圖借助“效用函數(shù)”來解決這一問題．

而當(dāng)效用函數(shù)達(dá)到最大值時，人們購物分配的方案最佳．所謂效用函數(shù)，就是描述人們同時購買兩種產(chǎn)品各x單位、y單位時滿意程度的量．常見的形式有（目標(biāo)函數(shù)）

小孫有200元錢，他決定用來購買二種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶．且設(shè)他購買x張磁盤，y盒錄音磁帶的效用函數(shù)為設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配他的200元錢，才能達(dá)到最滿意的效果？例：解：這是一個條件極值問題，即求在約束之下的極值點，應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，定義拉格朗日函數(shù)：解得