注:11月11日下午進行代數(shù)與幾何期中考試,考前三章,時間3:00-4:30.可以在工大主頁上精品課網(wǎng)站,05年代數(shù)與幾何中能查往年的期中考試題.1對一般情況我們有:總結:2A

B一次行存在相應初等陣P

使:PA=BA

B一次列存在相應初等陣Q使:AQ=B

初等陣與一次初等變換的關系3A

B行存在初等陣P1P2…Ps使:P1P2…PsA=BA

B列存在初等陣Q1Q2…Qt使:AQ1Q2…Qt=B存在初等陣P1P2…PsQ1Q2…Qt使:P1P2…PsAQ1Q2…Qt=B

A

B（AB）初初等陣與初等變換的關系4例1設求5計算解原式例26*定理3.6A可逆初等陣使:證顯然A可逆

A

E初

仍是初等陣.即存在初等陣

P1P2…PsAQ1Q2…Qt=E使3.5.3

矩陣等價的充要條件r(A)=n(可逆陣能分解為初等陣的積)7設A,B都是mn階矩陣,則ABm階可逆矩陣P,n階可逆矩陣Q

使證是初等陣之積,故可逆且使A

B

初A

B

令存在初等陣P1P2…Ps

AQ1Q2…Qt=B使推論18設A

是mn階矩陣,P是m階可逆陣,

Q

是n階可逆矩陣,則推論3設A

是可逆矩陣,

則A

E行因為初等變換不變秩.證

A可逆,則使可逆,所以存在初等陣推論29設A,B都是mn階矩陣.(2)存在可逆矩陣P,Q

使A可分解為初等陣的積:A可經(jīng)初等行變換化為E:A可經(jīng)初等列變換化為E:總結(3)如果AMn,則A可逆AE.(1)ABA,B具有相同的等價標準形.存在可逆矩陣P,Q使10由A可逆，有

說明A僅經(jīng)過初等行(列)變換可化為

En.

完全相同的變換可以把

En化為

A-1.3.5.4求逆矩陣的初等變換法可得11由此可得到求逆矩陣的初等變換法:構造一個n(2n)矩陣:構造一個

(2n)n矩陣:行列*方法1方法212用初等行變換求矩陣A的逆矩陣:解先將A化為行階梯陣,再化為單位陣例313可驗證14注

可用初等變換法求矩陣方程可逆方法為：行例4用初等變換法求矩陣方程其中15解故16例5則

B=().(A)AP1P2

(B)

AP2P1

(C)P1P2A(D)P2P1A17例6將表示成為初等方陣之積.解1819本節(jié)內(nèi)容提要

利用分塊矩陣的初等變換求逆分塊矩陣的初等變換3.5.5

分塊矩陣的初等變換分塊初等陣20對分塊矩陣同樣可以引進初等變換和初等矩陣的概念.分塊矩陣關于子塊的一次初等變換,可以看作是關于元素的一批初等變換的合成.我們只以分成4塊的情況簡單解釋.設1.分塊矩陣的初等變換21定義

下面三種針對分塊矩陣M的變形,

統(tǒng)稱為分塊矩陣的初等變換:

初等行變換

初等列變換(1)換法:(2)倍法:

(3)消法:

這里要假定運算滿足可行性原則.

為什么要求P可逆?可逆矩陣22分塊初等陣分塊單位陣一次初等變換2.

分塊初等陣換法:倍法:消法:23

對分塊矩陣進行一次初等行(列)變換,

相當于給它左(右)乘以一個相應的分塊初等矩陣：換法:24消法:倍法:25

分塊初等變換不改變分塊陣的秩.

消法分塊初等變換保持行列式值不變.

用分塊初等變換求逆.

對分塊陣進行一次初等行(列)變換,相當于對原矩陣進行一系列初等行(列)變換.

分塊行分塊列26例1

求

其中A，B可逆.解行行行27總結：常用的分塊矩陣求逆公式設

A,B都是可逆方陣,則有下列公式.28證例2

用分塊方法證明|AB|=|A||B|其中A、B為n階方陣.29例3證證明

其中A為n階可逆矩陣,B為m階方陣.(行列式第一降階定理)30例4

證明|Em

-AB|

=|En

-BA|,其中

A為m×n階矩陣,

B為n×m階陣.證31利用上式可得時可見書上的說明.為任意數(shù).32注本例的結果可以把m階的行列式轉化為n階的行列式計算,此時可稱為