第四節(jié)幾種常見的二次曲面一、曲面方程的概念二、柱面三、錐面四、旋轉曲面五、二次曲面一、曲面方程的概念空間的曲面可用一個三元方程F

(

x,

y,

z)

=

0表示，稱該方程為曲面的一般方程。二次曲面方程的定義：三元二次方程a

x2

+a

y2

+a

z2

+a

xy

+a

yz

+a

zx

+a

x

+a

y

+a

z

+a

=01

2

3

4

5

6

7

8

9

1062(ii

=1a

?

0)表示的圖形稱為二次曲面.以下給出幾例常用的二次曲面.故所求方程為例1.求動點到定點方程.解:設軌跡上動點為即依題意距離為R

的軌跡xyzoM0M(x

-

x0

)2

+

(

y

-

y0

)2

+

(z

-

z0

)2

=

R0

0

0(

x

-

x

)2

+

(

y

-

y

)2

+

(z

-

z

)2

=

R2特別,當M0在原點時,球面方程為x2

+

y2

+

z2

=

R2表示上(下)球面.例2.研究方程的曲面.解:配方得此方程表示:表示怎樣球心為M

0

(1,-2,0),半徑為

5

的球面.說明:如下形式的三元二次方程(A≠

0

)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是一個球面,

或點

,

或虛軌跡.定義.平行定方向的動直線l沿定曲線C

移動的產生的曲面叫做柱面,

C

叫做準線,

l

叫做母線.二、柱面C準線xoy

面上的曲線l1.一般地,在三維空間方程

F

(

x,

y)

=

0

表示

柱面,母線

平行于

z

軸;xyz1l，CMM1

l在xoy

面上表示曲線C,

在C上任取一點M1

(x,y,0)

,過此點作平行z

軸的直線l,對任意

z

,

點M

(

x,

y,

z)的坐標也滿足方程沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面,所以為柱面.其上所有點的坐標都滿足此方程,故在空間表示柱面xozyxyz

l2準線xoz

面上的曲線l3.方程

G(

y,

z)

=

0

表示

柱面,母線平行于x

軸;準線yoz

面上的曲線l2.方程H

(z,x)=0

表示柱面,母線平行于y

軸;xyzl3圓柱面x2

+

y2

=

R2xozyxyzxyzo?表示拋物柱面,母線平行于z

軸;準線為xoy

面上的拋物線.z

軸的橢圓柱面.2

2+

=1a

bx2

y2?x

-y

=0

表示母線平行于z

軸的平面.(且z

軸在平面上)表示母線平行于yzoxo三、錐面一條動直線通過一定點且沿空間一條固定曲線移動所產生的曲面稱為錐面。動直線稱為母線，定點稱為頂點，固定曲線稱為準線。2

x

2

y

2+

b2

a求以橢圓=1為準線，頂點在原點

z

=

c的錐面方程。X

=

Y

=

Zx

y

z此母線與準線的交點為

(

x0

,

y0

,

c

)則

x0

=

y0

=

cx

y

z

x

=

xc

,

y

=

yc0

z

0

z(

cx

)2

(

cy

)2z

za2

b2\+設M

(x,y,z)為錐面上的任意一點，它一定是一條母線上的點.設母線方程為222a2

b2

c2=

1

x+

y=

z

.注意：x2

+y2=z2為圓錐面方程。例3解四、旋轉曲面定義.一條平面曲線繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸.例如:建立yoz面上曲線C

繞z

軸旋轉所成曲面的方程:1

1

1給定yoz

面上曲線C:z

=

z1,

x2

+

y2

=

y1故旋轉曲面方程為f

(

–

x2

+

y2

,

z)

=

0若點

M

(0,

y

,

z

)

?

C,

則有f

(

y1,

z1)

=

0當繞

z

軸旋轉時, 該點轉到M

(x,y,z),則有f

(

y,

z)

=

0ozyxCM1

(0,

y1

,

z1

)M

(

x,

y,

z)思考：當曲線C

繞y

軸旋轉時，方程如何？C

:

f

(

y,

z)

=

0oyxzx

2

+

z

2

)

=

0f

(

y

,

–例

4

直線L繞另一條與L相交的直線旋轉一周，所得旋轉曲面叫圓錐面．兩直線的交點叫圓錐面的

2

頂點，兩直線的夾角a

0

<a<p叫圓錐面的半頂角．試建立頂點在坐標原點，旋轉軸為

z

軸，半頂角為a

的圓錐面方程．例4.試建立頂點在原點,旋轉軸為z

軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L

的方程為繞z

軸旋轉時,圓錐面的方程為xyz兩邊平方z2

=

a2

(

x2

+

y2

)LM

(0,

y,

z)xy分別繞xx2a2

c2y2

+

z2- =

1z2a2x2

+

y2-

c2

=

1這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.例5.求坐標面xoz

上的雙曲線軸和z軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程.解:繞x

軸旋轉所成曲面方程為繞z

軸旋轉所成曲面方程為z五、二次曲面三元二次方程a

x2

+a

y2

+a

z2

+a

xy

+a

yz

+a

zx

+a

x

+a

y

+a

z

+a

=01

2

3

4

5

6

7

8

9

10(二次項系數(shù)不全為0)的圖形通常為二次曲面.

其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法.平面被稱為一次曲面．我們僅研究標準二次曲面及其圖形.研究方法

平面截割法（截痕法）：即：用坐標面和平行于坐標面的一族平面與曲面相截，由截出的一族交線（即截痕）的形狀，加以綜合，從而了解曲面的全貌．a2

+

b2

+

c2

=

1x2

y2

z2x2

y2

z2a2

+

b2

-

c2

=

1a2x2

y2

z2+

b2

-

c2

=

-1x2

y22

p

+

2q=

zx2

y22

p

2q-+ =

z(p,q

同號)x2

y2

z2a2+

b2

=

c21.橢球面x2

y2

z2a2+

b2

+

c2

=

1x

￡

a,

y

￡

b,

z

￡

c(2)與坐標面的交線：橢圓,b2

x2

y2+

=

1

a2z

=

0222yz+

c2

=

1,x

=

0

b22c

x2

z2+

=

1y

=

0

aabcyxzo(

a,b,c

為正數(shù))(1)范圍：a2截痕的￡

b

)及z

=

z1同樣

y

=

y1

(

y1也為橢圓.(3)

截痕:

與z

=

z1

(

z1

<

c)的交線為橢圓：222

22

211abc2c2x2

y2+

=

1(c

-

z

)(c

-

z

)x2

y2

z2+b2

+c2

=1

(

a,b,c為正數(shù))z+ +

2

=

1b

2

ca

2x

2

y

2

z

2截痕法用z=z1截曲面用y=y1截曲面用x=x1截曲面abcyzo橢球面x(4)當a＝b

時為旋轉橢球面;當a＝b＝c

時為球面.2.

拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)x2

y22

p

+

2q

=

z用截痕法討論：

設

p

>

0,

q

>

01）用坐標面

xOy

(z

=

0)與曲面相截截得一點，即坐標原點O(0,0,0)原點也叫橢圓拋物面的頂點.圖形位于

xOy平面的上方，并關于

yOz及zOx坐標面

對稱.xyzO1

1z

=

z1y22

pz

+

2qz

=

1

x2圓的中心都在 軸上.1當z

變動時，這種橢z與平面>0)的交線為橢圓.z

=

z1

(z1xyOz2）用坐標面xOz

(

y

=

0)與曲面相截y

=

0

x2

=

2

pz截得拋物線2

12=

y1

y2q

yx

=

2

p

z

-它的軸平行于z

軸2q

y2

1

頂點

0,y1

,與平面y

=y1

的交線為拋物線.（3）用坐標面

yOz

(

x=

0)，

x=

x1與曲面相截均可得拋物線.同理當

p

<

0,

q

<

0

時可類似討論.x2

y22

p

+

2q

=

z(1)橢圓拋物面(p,q

同號)xyoyzo橢圓拋物面的圖形如下：zp

<

0,

q

<

0xp

>

0,

q

>

0特別,當p=q

時為繞z

軸的旋轉拋物面.x2

y22

p

2q-+=z

(p,q

同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）與三個坐標面的交線-

p

+

q

=

2zx

=

0x2

y2

x2

y2-

p

-

q

=

2zy

=

0x2

y2-

p

+

q

=

2zz

=

0(3)

x2

y2

p

-

q

=

0叫做雙拋物面的主拋物線.開口指z軸正向開口指z軸負向yp

q

x拋物線，其頂點均為原點，對稱軸同– =

0

z

=

0z

=

0一對直線2x

=

-2zp

(4)

y

=

0

y2=

2zq

(5)

x

=

0設

p

>

0,

q

>

0x2

y22

p

2q-+ =

z與平行于坐標面平面的交線與平面z

=h

(h

≠0)的交線為雙曲線.x2

y2-

p

+

q

=

2z雙曲線頂點分別在兩主拋物線上!x2

y22

ph

2qh

z

=

h+=

1-

z

=

hh

>

0

-2

ph,0,

h)

?

(4)2qh,

h)

?

(5)為雙曲線,其頂點為(0,–虛軸與x軸平行h

<0

為雙曲線,其頂點為(–虛軸與y軸平行yzoxx2

y2(2)

雙曲拋物面（鞍形曲面）-

2

p

+

2q

=

z

(

p

,

q

>0)用截痕法討論：設

p

>

0,

q

>

0圖形如下：xyzo(2)

雙曲拋物面（鞍形曲面）x2

y2-

2

p

+

2q

=

z(

p

,

q

>0)與平面x

=x1的交線為拋物線.1x

2

y2=

2q(z

+

1

)

x

=

x2

p拋物線yxoz3.

雙曲面(1)單葉雙曲面1)

y1x2

z2

y

2a2

c2b2- =

1

-

1

(實軸平行于x軸；虛軸平行于z

軸）1y

=

yx2

y2

z2a2+b2

-c2

=1

(

a,b,c

為正數(shù))平面z=z1上的截痕為橢圓.平面y

=y1

上的截痕情況:<b

時,截痕為雙曲線:xyoz虛軸平行于x

軸）– =

0a

cx

z3)

y1x2

z2

y

2a2

c2

b2- =

1

-

1

y

=

y1(實軸平行于z

軸;2)

y1

=b

時,截痕為相交直線:y

=b

(或-b)>b時,截痕為雙曲線:<

0xyozxyoz(2)雙葉雙曲面x2

y2

z2a2+

b2

-

c2=-1

(

a,b,

c

為正數(shù))平面y

=y1平面x

=x1平面z

=z1注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:上的截痕為雙曲線上的截痕為雙曲線(z1

>c)上的截痕為橢圓zxyox2

y2

z2a2+