廣西壯族自治區(qū)桂林市第十六中學(xué)高三數(shù)學(xué)理知識(shí)點(diǎn)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：復(fù)數(shù)===+i，∴復(fù)數(shù)的虛部為，故選：D．2.已知球O的半徑為4，矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距離為2，則此矩形的最大面積為（）A.12 B.18 C.24 D.30參考答案：C【分析】推導(dǎo)出BD＝4，當(dāng)AB＝AD時(shí)，矩形ABCD的面積最大，此時(shí)AB2+AD2＝2AB2＝48，由此能求出此矩形的最大面積．【詳解】∵球O的半徑為4，矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距離為2，∴2，∴BD＝4，由不等式性質(zhì)得到得到：當(dāng)AB＝AD時(shí)，矩形ABCD的面積最大，此時(shí)AB2+AD2＝DB2＝48，解得AB2＝AD2＝24，∴此矩形的最大面積S＝AB2＝24．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的最大面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．3.如圖所示，則該圖可能是下列函數(shù)中的那個(gè)函數(shù)的圖象（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.設(shè)向量，是互相垂直的兩個(gè)單位向量，且|﹣3|=m|+|，則實(shí)數(shù)m的值為（）A． B．± C． D．±參考答案：C【考點(diǎn)】93：向量的模．【分析】首先求出向量，的數(shù)量積以及模長，然后對(duì)已知等式平方展開，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程解之．【解答】解：因?yàn)橄蛄浚腔ハ啻怪钡膬蓚€(gè)單位向量，所以=0，，|﹣3|=m|+|，所以|﹣3|2=m2|+|2，展開得10=2m2，又由題意，m≥0，所以m=；故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的運(yùn)算；利用了向量的平方與其模長平方相等．5.若，則必定是

（

）

A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．等腰直角三角形參考答案：B，所以，所以三角形為直角三角形，選B.6.若，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.7.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則A. B. C. D.參考答案：D略8.已知定義在上的函數(shù)滿足下列三個(gè)條件：①對(duì)任意的都有，②對(duì)于任意的，都有，

③的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則下列結(jié)論中，正確的是

(

)

A．

B．C．

D．參考答案：B略9.已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)情況，下列說法中正確的是

A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)． B．當(dāng)或或或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． C．當(dāng)或時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)． D．函數(shù)最多可能有四個(gè)零點(diǎn)．參考答案：C10.已知點(diǎn)A（﹣3，﹣）是拋物線C：y2=2px（p＞0）準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且滿足|PF|=m|PA|，當(dāng)m取最小值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以原點(diǎn)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A．3 B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結(jié)合||PF|=m|PA|，可得=m，設(shè)PA的傾斜角為α，則當(dāng)m取得最小值時(shí)，cosα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率．【解答】解：點(diǎn)A（﹣3，﹣）是拋物線C：y2=2px（p＞0）準(zhǔn)線x=﹣上的一點(diǎn)，可得﹣=﹣3，即p=6，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x，則拋物線的焦點(diǎn)為F（3，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣3，過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，則=m，設(shè)PA的傾斜角為α，則cosα=m，當(dāng)m取得最小值時(shí)，cosα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，設(shè)直線PA的方程為y=kx+3k﹣，代入y2=12x，可得y2﹣y+3k﹣=0，∴△=1﹣4??（3k﹣）=0，∴k=或﹣，可得切點(diǎn)P（2，±2），由題意可得雙曲線的焦點(diǎn)為（﹣3，0），（3，0），∴雙曲線的實(shí)軸長為﹣=7﹣5=2，∴雙曲線的離心率為e===3．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為為拋物線上的任意一點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是．參考答案：略12.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A. B.C. D.參考答案：D令，可得圓的半徑，又，則，再根據(jù)題圖知，即．故本題答案選D．13.點(diǎn)A（1，2）關(guān)于直線m：x﹣y﹣1=0的對(duì)稱點(diǎn)是

．參考答案：（3，0）【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程．【分析】設(shè)點(diǎn)A（1，2）關(guān)于直線m：x﹣y﹣1=0的對(duì)稱點(diǎn)為B（a，b），利用垂直及中點(diǎn)在軸上這兩個(gè)條件求得a、b的值，可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)點(diǎn)A（1，2）關(guān)于直線m：x﹣y﹣1=0的對(duì)稱點(diǎn)為B（a，b），由，求得，可得B（3，0），故答案為：（3，0）．14.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度數(shù)是

；參考答案：60°解：設(shè)AB=1，作A1M⊥BD1，AN⊥BD1，則BN·BD1=AB2，TBN=D1M=NM=．TA1M=AN=．∴AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NAcosq，T12=++－2′cosq，Tcosq=．Tq=60°．15.函數(shù)在區(qū)間

上的值域是,則

的最小值是____.參考答案：

16.設(shè)函數(shù)是定義在上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則=_______________.

參考答案：因?yàn)楹瘮?shù)的周期為2，所以?！敬鸢浮俊窘馕觥?7.若復(fù)數(shù)，則等于

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.選修4－1：幾何證明選講如圖，已知點(diǎn)在圓直徑的延長線上，切圓于點(diǎn)，是的平分線并交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，求？

參考答案：解：——————————10分略19.（12分）醫(yī)生的專業(yè)能力參數(shù)K可有效衡量醫(yī)生的綜合能力，K越大，綜合能力越強(qiáng)，并規(guī)定：能力參數(shù)K不少于30稱為合格，不少于50稱為優(yōu)秀．某市衛(wèi)生管理部門隨機(jī)抽取300名醫(yī)生進(jìn)行專業(yè)能力參數(shù)考核，得到如圖所示的能力K的頻率分布直方圖：

（1）求出這個(gè)樣本的合格率、優(yōu)秀率；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽出一個(gè)樣本容量為20的樣本，再從這20名醫(yī)生中隨機(jī)選出2名．①求這2名醫(yī)生的能力參數(shù)K為同一組的概率；②設(shè)這2名醫(yī)生中能力參數(shù)K為優(yōu)秀的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖．【分析】（1）根據(jù)合格率、優(yōu)秀率的意義即可得出；（2）利用分層抽樣的方法、古典概型的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列和期望即可得出．【解答】解：（1）解：各組的頻率依次為0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，∴這個(gè)樣本的合格率為1﹣0.2=0.8，優(yōu)秀率為0.15+0.1+0.05=0.3．（2）①用分層抽樣抽出的樣本容量為20的樣本中，各組人數(shù)依次為4，6，4，3，2，1．從20名醫(yī)生中隨機(jī)選出2名的方法數(shù)為，選出的2名醫(yī)生的能力參數(shù)K為同一組的方法數(shù)為．故這2名醫(yī)生的能力參數(shù)K為同一組的概率．②20名醫(yī)生中能力參數(shù)K為優(yōu)秀的有6人，不是優(yōu)秀的有14人．依題意，X的所有可能取值為0，1，2，則，，．∴X的分布列為X012P∴X的期望值．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握合格率、優(yōu)秀率的意義、分層抽樣的方法、古典概型的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列和期望是解題的關(guān)鍵．20.定義在R上的單調(diào)函數(shù)滿足且對(duì)任意都有．(1)求證為奇函數(shù)；(2)若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)

(x，y∈R)，①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對(duì)任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù)．(2)解：＞0，即f(3)＞f(0)，又在R上是單調(diào)函數(shù)，所以在R上是增函數(shù)又由(1)f(x)是奇函數(shù)．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，∴k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0對(duì)任意x∈R成立．令t=3＞0，問題等價(jià)于t-(1+k)t+2＞0對(duì)任意t＞0恒成立．

R恒成立．略21.（本小題滿分14分）

已知函數(shù),其中．（Ⅰ）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范

圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，（ⅰ）證明：；（ⅱ）試判斷方程是否有實(shí)數(shù)解，并說明理由．參考答案：見解析考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用解：函數(shù)定義域，．

（Ⅰ）因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，所以在上恒成立，

即，在上恒成立，則

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，,．（?。┝睿茫?得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增．令,得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減．所以，．

所以成立．

（ⅱ）由（?。┲?，所以．

設(shè)所以．

令，得．

令,得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，

令,得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減；所以，，即．

所以，即．所以，方程沒有實(shí)數(shù)解．22.近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重．大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾?。疄榱私饽呈行姆渭膊∈欠衽c性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)對(duì)入院的

50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：

患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男

5

女10

合計(jì)

50已知在調(diào)查的50人中隨機(jī)抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為．（Ⅰ）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（Ⅱ）是否有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)？說明你的理由；（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃?。F(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，抽取3名進(jìn)行其他方面的排查，記抽取患胃病的女性人數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望以及方差；大氣污染會(huì)引起各種疾病，試淺談日常生活中如何減少大氣污染．下面的臨界值表供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式其中）

參考答案：（Ⅰ）解：列聯(lián)表補(bǔ)充如下

………2分

患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男20525女101525合計(jì)302050（Ⅱ）解：因?yàn)椋杂郑敲?/p>