9.8曲線與方程及直線與圓錐曲線考綱要求:1.了解圓錐曲線的簡單應用.

2.理解數(shù)形結合思想.21.曲線與方程一般地,在平面直角坐標系中,如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下關系:(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解.(2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上上,那么這個方程叫作曲線的方程,這條曲線叫作方程的曲線.2.圓錐曲線的共同特征圓錐曲線上的點到一個定點的距離與它到一條定直線的距離之比為定值e.當0<e<1時,該圓錐曲線為橢圓;當e=1時,該圓錐曲線為拋物線;當e>1時,該圓錐曲線為雙曲線.33.直線與圓錐曲線的位置關系(1)從幾何角度看,可分為三類:沒有公共點,僅有一個公共點及有兩個不同的公共點.(2)從代數(shù)角度看,可通過將表示直線的方程代入圓錐

曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷.設直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.①若a=0,當圓錐曲線是雙曲線時,直線l與雙曲線的漸近線平行;當圓錐曲線是拋物線時,直線l與拋物線的對稱軸平行(或重合).4②若a≠0,設Δ=b2-4ac.當Δ>

0時,直線和圓錐曲線相交于不同的兩點;

當Δ=

0時,直線和圓錐曲線相切于一點;

當Δ<

0時,直線和圓錐曲線沒有公共點.

4.直線與圓錐曲線相交時的弦長問題(2)當斜率k不存在時,可求出交點坐標,直接運算(利用兩點間的距離公式).55.圓錐曲線的中點弦問題

6123451.下列結論正確的打“√”,錯誤的打“×”.(1)直線l與橢圓C相切的充要條件是:直線l與橢圓C只有一個公共點.(√)(2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是:直線l與雙曲線C只有一個公共點.(×)(3)直線l與拋物線C相切的充要條件是:直線l與拋物線C只有一個公共點.(×)(4)如果直線x=ty+a與圓錐曲線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則弦長.(√)(5)若拋物線C上存在關于直線l對稱的兩點,則需滿足直線l與拋物線C的方程聯(lián)立消元得到的一元二次方程的判別式Δ>0.(×)712345A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定答案解析解析關閉答案解析關閉812345答案解析解析關閉答案解析關閉912345答案解析解析關閉答案解析關閉1012345答案解析解析關閉答案解析關閉1112345自測點評1.弦長公式使用時要注意直線的斜率情況,對于斜率不存在的直線要單獨處理,對于拋物線中的過焦點的弦要使用其特定的公式.2.直線與雙曲線或與拋物線的交點問題比直線與橢圓的交點問題更為復雜,除了可以利用方程分析,還可以結合圖像分析.12考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混13考點1考點2考點3考點4解題心得:直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法:用直線方程與圓錐曲線方程組成方程組,研究直線與圓錐曲線的位置關系,只需判斷這個方程組的解的個數(shù),即用代數(shù)法研究幾何問題,這是解析幾何的重要思想方法.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點問題,實際上是研究方程組解的個數(shù)問題.知識方法易錯易混14考點1考點2考點3考點4對點訓練1

過拋物線y2=2x的焦點作一條直線與拋物線交于A,B兩點,它們的橫坐標之和等于1,則這樣的直線()

A.有且只有一條 B.有且只有兩條C.有且只有三條 D.有且只有四條答案解析解析關閉答案解析關閉知識方法易錯易混15考點1考點2考點3考點4考點2圓錐曲線中的弦長與中點弦問題(多維探究)

類型一

弦長問題知識方法易錯易混16考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混17考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混18考點1考點2考點3考點4類型二

中點弦問題例3過點M(1,1)作斜率為

的直線與橢圓C:(a>b>0)相交于A,B兩點,若M是弦長AB的中點,則橢圓C的離心率等

.

思考:解中點弦問題常用的求解方法是什么?答案解析解析關閉答案解析關閉知識方法易錯易混19考點1考點2考點3考點4

知識方法易錯易混20考點1考點2考點3考點4對點訓練2

(1)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形,當該三角形面積最小時,切點為P(如圖).①求點P的坐標;②焦點在x軸上的橢圓C過點P,且與直線l:y=x+交于A,B兩點.若△PAB的面積為2,求C的標準方程.知識方法易錯易混21考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混22考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混23考點1考點2考點3考點4(2)已知點(4,2)是直線l被橢圓

所截得的弦長的中點,則l的方程是

.答案解析解析關閉答案解析關閉知識方法易錯易混24考點1考點2考點3考點4

知識方法易錯易混25考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混26考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混27考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混28考點1考點2考點3考點4類型二

定值問題例5如圖,已知拋物線C:x2=4y,過點M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點,過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D(O為坐標原點).(1)證明:動點D在定直線上;(2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點N1,與(1)中的定直線相交于點N2.證明:|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值.思考:求圓錐曲線中定值問題常見的方法有哪些?知識方法易錯易混29考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混30考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混31考點1考點2考點3考點4解題心得:1.求定值問題常見的方法有兩種(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關.(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.2.定點的探索與證明問題(1)探索直線過定點時,可先設出直線方程為y=kx+b,然后利用條件建立b,k等量關系進行消元,借助于直線系的思想找出定點.(2)從特殊情況入手,先探求定點,再證明與變量無關.知識方法易錯易混32考點1考點2考點3考點4對點訓練3

(1)(2015江西南昌三模)已知拋物線C:x2=y,直線l與拋物線C交于不同兩點A,B,且

=(p,6).

①設直線m為線段AB的中垂線,請判斷直線m是否恒過定點?若是,請求出定點坐標;若不是,請說明理由.②記點A,B在x軸上的射影分別為A1,B1,記曲線E是以A1B1為直徑的圓,當直線l與曲線E相離時,求p的取值范圍.知識方法易錯易混33考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混34考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混35考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混36考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混37考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混38考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混39考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混40考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混41考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混42考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混43考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混44考點1考點2考點3考點4解題心得:圓錐曲線中常見的最值問題及其解法(1)兩類最值問題:①涉及距離、面積的最值以及與之相關的一些問題;②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關的一些問題.(2)兩種常見解法:①幾何法,若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;②代數(shù)法,若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系,則可先建立起目標函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導數(shù)法求解.知識方法易錯易混45考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混46考點1考點2考點3考點4知識方法易錯易混47考點1考點2考點3考點41.涉及直線與圓錐曲線的位置關系的判斷有兩種方法:(1)代數(shù)法,即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,組成方程組,通過方程組的解來判斷;(2)幾何法,即利用數(shù)形結合思想并找出關鍵點或關鍵線.2.弦長問題(1)弦長公式:設直線與圓錐曲線相交于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點,則可結合一元二次方程根與系數(shù)關系得到如下弦長公式:(2)常用點差法解決弦的中點問題.知識方法易錯易混48考點1考點2考點3考點41.直線與橢圓有且只有一個交點,則直線與橢圓相切;直線與雙曲線或直線與拋物線有且只有一個交點,則直線與雙曲線或直線與拋物線不一定相切.2.利用圓錐曲線中的弦長公