第四講

點對稱操作、晶系第三講

晶體投影意義：1、投影是研究晶體外形和結(jié)構(gòu)的有用工具。2、極射赤面投影能清楚表達(dá)晶體點群中對稱要素的空間分布。復(fù)習(xí)：晶面角守恒定律：在相同溫度和壓力等條件下，成分和構(gòu)造上均相同的同種晶體，其對應(yīng)晶面之間的夾角是守恒的。AB180o-180o-a1a2a3a5a4a6P2P6P5P3P4P1PZT微觀對稱性的反映極射赤面投影Op=rtan(/2)SNOAPp/2球面基圓基圓平面球面坐標(biāo)：極距角、方位角。緯線、經(jīng)線、子午面。r極距角、方位角晶體的投影晶體的球面投影球面上點的極射赤面投影SN球面基圓SNSNOACBSNO水平小圓直立小圓傾斜小圓球面上小圓的投影球面基圓O（原）點不動，極點和小圓是相對可變的!球面上大圓的投影xy基圓yxz球面SNSNSN無需一定是直角坐標(biāo)！BANBANBASNOBANBAN可相對任意旋轉(zhuǎn)！例：銅單晶體的極射赤面投影(001)(100)(010)(111)(111)(111)(111)yxz(110)(110)(101)(011)(001)(100)(010)(110)(110)(101)(011)010100010100001001110110110110011011101101011011010100001yxzCu單晶體的極射赤面投影(111)(111)(111)(111)xy111111111111010100010100001110110110110011101101011001100010第四講(I)

點對稱操作點對稱操作(R)：在操作過程中保持空間有一不動點的對稱操作。比較：平移操作(t)點對稱操作晶系點群點對稱操作的集合十四種慣用布拉菲格子空間群非點式對稱操作花椒鳳蝶

狼毒

香格里拉的秋天

三葉草

四葉三葉草

TypeIbHPHTDiamondTypeIIaCVDDiamondNaturalDiamond43.51carat

SG(No.227):Fd3mDiamondsinglecrystalsforabrasives1(E，L1)重要概念：對稱操作、點對稱操作、對稱元素、參考軸、對稱操作算符、真旋轉(zhuǎn)、非真旋轉(zhuǎn)、操作符號晶體對稱的特點：晶體外形的對稱性（宏觀對稱性）決定于晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對稱性（微觀對稱性）。所有的晶體結(jié)構(gòu)都是對稱的。晶體外形是有限圖形，宏觀對稱是有限的，而微觀結(jié)構(gòu)被視作無限的。晶體的對稱不僅體現(xiàn)在外形上，同時也體現(xiàn)在物理性質(zhì)上。我們必須記?。簩τ诰w結(jié)構(gòu)，所討論的是單胞連同其中所含實體的對稱性，而不是陣點排成的裸單胞的對稱性yxzxym(，P)xy極射赤面（平）投影yxz對稱操作、點對稱操作、參考軸、對稱算符對稱操作：對分子或晶體，使其各個原子的位置發(fā)生變換的操作，但其結(jié)果是使分子或晶體的狀態(tài)與操作前的狀態(tài)正好相同。點對稱操作：在操作過程中保持空間有一不動點的對稱操作。苯分子bac1,2,3,4,5,6,…1,2,3,4,5,6,…ABA’B’t’tt’=mt

=

360o/n

(n=1,2,3,4,6)鏡面{m[001]}，反映恒等1x’y’z’xyz-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1=x’y’z’xyz=-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1參考軸：對稱算符r’=Rra,b,c

(無需正交)x’y’z’xyza11a21a31a11a21a31a11a21a31=r=xa+yb+zcr’=x’a+y’b+z’c(x,y,z)(x’,y’,z’)rr’abc=90o直角坐標(biāo)=120o六角坐標(biāo)對稱心(i)，反演x’y’z’xyz-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1=m[001]x’y’z’xyz=-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1m[100]x’y’z’xyz=-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1m[010]x’y’z’xyz=-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1m[110]x’y’z’xyz=-0-1

-0-1-0

-0-0-0

-1m[110]x’y’z’xyz=-0-1

-0-1-0

-0-0-0

-1鏡面m[001](=90o)x’y’z’xyz=-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1m[001](=120o)x’y’z’xyz=-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1對稱心(i)，反演x’y’z’xyz-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1=m[100](=90o)x’y’z’xyz=-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1m[100](=120o)x’y’z’xyz=-1-0-0-1-1

-0-0-0

-1baba直角坐標(biāo)

六角坐標(biāo)

1(E,L1)2(C2,L2)++++_++_3(C3,L3)3(C3,L3);33;333x’y’z’xyz=-0-1

-0-1-1

-0-0-0

-14(C4,L4)4(C4,L4);42=

2;43;44=16(C6,L6)6(C6,L6);62=3;63=

2;64;65;66=1+_,1(i,C)+_,+_,手性的變化對形關(guān)系、對形操作2(σ,P),m+_,+_,+_,？3(S65,Li3)3(S65,Li3)=3+C4(S43,Li4)6(S35,Li6)6(S35,Li6)=3+P360o/n(n=1,2,3,4,6)1(E,L1)2(C2,L2)3(C3,L3)4(C4,L4)6(C6,L6)1(i,C)2(σ,P),m3(S65,Li3)4(S43,Li4)6(S35,Li6)++,+_,旋轉(zhuǎn)軸，n

旋轉(zhuǎn)反演軸，n

點對稱操作1(E,L1)2(C2,L2)3(C3,L3)4(C4,L4)6(C6,L6)1(i,C)2(σ,P),m3(S65,Li3)4(S43,Li4)6(S35,Li6)(C41,C42,C43,C44

)(C61,C62,C63,C64

,C65,C66)(C31,C32,C33)n=1n(iCn),

Sn=σCn(σh,σv,σd)S6,S62(C3),S63(i),S64(C32),S65,S66(E)35,34,33,32,31,36S3,S32(C32),S33(σh),S34(C3),S35,S36(E)65,64,63,62,6,66

S4(43),S42(42),S43(4),S44(E)點對稱操作3(S65,Li3)6(S35,Li6)S6,S62(C3),S63(i),S64(C32),S65,S66(E)35,34,33,32,31,36S3,S32(C32),S33(σh),S34(C3),S35,S36(E)65,64,63,62,6,66ab(x,y,z)(x-y,x,z)(-y,x-y,z)(-x,-y,z)(y-x,-x,z)(y,y-x,z)x-yxyz=-1-1

-0-1-0

-0-0-0

-1xz6[001]-yxyz=-0-1

-0-1-1

-0-0-0

-1x-yz3[001]第四講(II)

晶系七種晶系的提出，正是由于將各種不同的真旋轉(zhuǎn)和非真旋轉(zhuǎn)操作應(yīng)用于單胞的各個軸或點陣平移矢量所得到的結(jié)果。晶系是由晶體的對稱性來劃分的。單胞幾何形狀(晶胞參數(shù))的限制是對稱性要求的結(jié)果。七種晶系對稱條件晶系特點四個三次軸三斜單斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)兩個2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)a≠b≠

c,≠

≠

a≠b≠

c,==90o≠

a≠b≠

c,===90oa=b≠

c,===90oa=b≠

c,==90o,

=120oa=b=

c,===90oa=b=

c,==菱形a=b≠

c,==90o,

=120o(x,y,z)(x’,y’,z’)rr’abc=90o直角坐標(biāo)=120o六角坐標(biāo)參考軸：對稱算符r’=Rra,b,c

(無需正交)x’y’z’xyza11a21a31a11a21a31a11a21a31=r=xa+yb+zcr’=x’a+y’b+z’c這里(x,y,z)和(x’,y’,z’)可以是單胞軸長的分?jǐn)?shù)，表示原子位置。三斜晶系：1(E)或1(i)恒等Ex’y’z’xyz-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1=對稱心(i)，反演x’y’z’xyz-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1=兩種操作中，單胞軸彼此之間沒有任何約束關(guān)系，所以對單胞的幾何形狀沒有特別限制，即：a≠b≠

c,≠

≠

單斜晶系：2(C2)或2(m)m[001]x’y’z’xyz=-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-12[001]x’y’z’xyz=-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1r’={2[001]}r=–

xa–yb+zcr’={m[001]}r=xa+yb

–zc2次旋轉(zhuǎn)不變要求：–

xa·zc=xa·zc

a≠b≠

c,==90o≠

a≠

c,=90oa=b≠

c,==

=90oa≠b≠c,==

=90or’={2[100]}r=xa–yb

–

zcr’={2[001]}r=–

xa+yb

–

zcr’={2[001]}r=–

xa–yb+zcr’={4[001]}r=–

ya+xb+zcCrystalSystemsCrystalstructuresaredividedintogroupsaccordingtounitcellgeometry(symmetry).英文七種晶系對稱條件晶系特點四個三次軸三斜單斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)兩個2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)a≠b≠

c,≠

≠

a≠b≠

c,==90o≠

a≠b≠

c,===90oa=b≠

c,===90oa=b≠

c,==90o,

=120oa=b=

c,===90oa=b=

c,==菱形a=b≠

c,==90o,

=120o對稱條件晶系特點四個三次軸三斜單斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)兩個2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)a≠b≠

c,≠≠a≠b≠c,==90o≠

a≠b≠c,===90oa=b≠c,===90oa=b≠c,==90o,

=120oa=b=

c,===90oa=b=

c,==菱形a=b≠c,==90o,

=120o全對稱點群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3mxymmm(3L23PC)極射赤面（平）投影一般形正交晶系：正交雙錐晶類極射赤面（平）投影一般形xy四方晶系：四方四面體晶類4

(Li4)4/m(L4PC)極射赤面（平）投影一般形xy四方晶系：四方雙錐晶類23

(3L24L3)xy極射赤面（平）投影一般形立方晶系：五角三四面體晶類一維情況：aa點陣，Latticep1pm基元Basis點陣，Latticeab1234初基晶胞，primitiveunitcell晶胞，latticeunitcellOblique,a≠b