13.1.2線段垂直平分線的性質和判定夯實基礎篇一、單選題：1．如圖，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點D，則△BDC的周長是（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【知識點】線段垂直平分線的性質【解析】【解答】設邊AB的垂直平分線交AB于點E，

∵ED是AB的垂直平分線，

∴AD=BD，

∵△BDC的周長=DB+BC+CD，

∴△BDC的周長=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故答案為：B.

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，三角形周長的計算，掌握轉化思想的應用是解題的關鍵.2．如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為D，CE平分∠ACB．若BE=2，則AE的長為（）A． B．1 C． D．2【答案】B【知識點】角平分線的性質；線段垂直平分線的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=CE=1．故選B．【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分線定義得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形內角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AE=CE=1．3．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點A，B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，作直線MN分別交AB，AC于點D，E，連結CD，BE.下列結論中，錯誤的是()A．AD=CD B．BE>CDC．∠BEC=∠BDC D．BE平分∠CBD【答案】D【知識點】三角形的外角性質；線段垂直平分線的性質【解析】【解答】解：由作圖可得，DE是AB的垂直平分線，

∴AE=BE，AD=BD，

∴點D為AB的中點.

∵∠ACB=90°，點D為AB的中點，

∴CD為Rt△ABC的邊AB上的中線，

∴CD=AD=BD，故A選項正確；

∵DE⊥AB，

∴Rt△ADE中，AE＞AD.

∵AE＞AD。AE=BE，AD=CD，

∴BE＞CD，故B選項正確；

∵∠BEC是等腰△ABE的外角，

∴∠BEC=2∠A.

∵∠BDC是等腰△ACD的外角，

∴∠BDC=2∠A，

∴∠BEC=∠BDC，故C選項正確；

∵當∠A=30°時，∠ABE=30°=∠CBE，

∴當∠A=30°時，BE平分∠ABC，

而∠A不一定為30°，

∴BE不一定平分∠CBD，故D選項錯誤.

故答案為：D.

【分析】由作圖可得，DE是AB的垂直平分線，然后由線段垂直平分線的性質結合直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可推出AD與CD的關系，據(jù)此判斷A選項；

由直角三角形中斜邊最長結合AD、BD、CD的關系可判斷B選項；

由三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角之和可得∠BEC=2∠A，∠BDC=2∠A，據(jù)此判斷C選項；

當∠A=30°時，∠ABE=30°=∠CBE，然后根據(jù)∠A的度數(shù)判斷D選項.4．如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．47.5° D．50°【答案】B【知識點】三角形的外角性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝=17.5°，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，∴AB＝BE，∴AF＝EF，∴AD＝ED，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°，∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠CDE＝95°﹣50°＝45°，故答案為：B.【分析】根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質得到AF＝EF，根據(jù)中垂線的性質求得AD＝ED，得到∠DAF＝∠DEF，根據(jù)三角形的外角的性質即可得到結論.5．如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，若∠BAC＝70°，則∠EAN的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．50° D．55°【答案】B【知識點】線段垂直平分線的性質【解析】【解答】解：，，的垂直平分線交BC于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，，，，，故答案為：B．【分析】由三角形內角和180°解得，根據(jù)線段垂直平分線的性質，解得，進而根據(jù)等邊對等角性質，解得，最后根據(jù)角的和差計算的度數(shù)即可．6．如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，點E為垂足，F(xiàn)G垂直平分AC，點G為垂足，BC=5cm，則△ADF的周長等于（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】B【知識點】線段垂直平分線的性質【解析】【解答】∵DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，∴AD=BD，AF=CF，∵BC=5cm，∴△ADF的周長為：AD+DF+AF=BD+DF+CF=BC=5(cm).故答案為：B【分析】利用線段垂直平分線的性質，可證得AD=BD，AF=CF，因此要求△ADF的周長，就轉化為△ADF的周長就是線段BC的長。7．如圖，中，，，的垂直平分線分別交于點E，F(xiàn)，與，分別交于點D，G，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【知識點】三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，∴EB=EA，F(xiàn)A=FC，∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，∵△ABC中，∠BAC=130°，∴∠B+∠C=50°，∴∠BAE+∠FAC=50°，∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.故答案為：A.【分析】利用垂直平分線的性質可知EA=EB，F(xiàn)A=FC，利用等邊對等角得∠BAE=∠B，∠FAC=∠C；再利用三角形的內角和定理可求出∠B+∠C的度數(shù)；然后可用∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）計算可求解.二、填空題：8．如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，AB的垂直平分線DE交AC于D，則∠DBC的度數(shù)是．【答案】30°【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB=AD∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．故答案為：30°【分析】先根據(jù)等腰三角形性質易得∠ABC、∠ACB度數(shù)，再根據(jù)垂直平分線的性質可得DB=AD，根據(jù)“等邊對等角”求得∠ABD，最后求得∠DBC度數(shù)。9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB于點D，BC＝5，AC＝10，則AE的值是．【答案】【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理【解析】【解答】解：∵ED垂直平分AB于點D，∴AE＝BE，設AE＝x，則BE＝x，故在Rt△ECB中，EC2+BC2＝EB2，（10﹣x）2+52＝x2，解得：x＝．故答案為：．【分析】根據(jù)題意直接利用線段垂直平分線的性質結合勾股定理進而得出答案．10．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，邊AB的垂直平分線分別交AB，AC邊于點D,E,連結BE.若AB=10，BC=6，則△ACE的周長是.【答案】14【知識點】線段垂直平分線的性質【解析】【解答】解：∵AB=10，BC=6，∠C=90°，

∴AC==8.

∵DE為AB的垂直平分線，

∴AE=BE，

∴△ACE的周長=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=8+6=14.

故答案為：14.

【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AC的長，然后由線段垂直平分線的性質可得AE=BE，進而將△ACE的周長轉化為AC+BC.11．如圖，在中，分別以點A和點C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線分別交，于點D，E.若，的周長為13，則的周長為.【答案】19【知識點】線段垂直平分線的性質【解析】【解答】解：由題意可知，DE垂直平分線段AC，∴DA=DC，AE=EC=3，∵的周長為13，∴AB+AD+BD=13，∴AB+BD+DC=13，∴△ABC的周長=AB+BD+DC+AC=13+3+3=19，故答案為：19.【分析】由作法可知，DE垂直平分線段AC，根據(jù)線段的垂直平分線的性質“線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”可得AD=CD，AE=CE，然后根據(jù)三角形的周長等于三邊之和可求解.12．如圖，△ABC中，線段BC的垂直平分線DP與∠BAC的角平分線相交于點D，垂足為點P，若∠BAC=84°，則∠BDC=°．【答案】96【知識點】線段垂直平分線的性質【解析】【解答】如圖，做DM⊥AB延長線于M，做DN⊥AC于N

∵AD平分∠BAC，

∴DM=DN

∵DP垂直平分BC

∴BD=DC

∴Rt△BDM≌Rt△CDN

∴∠MDB=∠CDN

∠MDN=∠BDC

又∠DMA=∠DNA=90°，∠BAC=84°

∴∠MDN=96°；

∠BDC=96°【分析】做DM⊥AB延長線于M，做DN⊥AC于N，易由角平分線性質和線段垂直平分線性質得Rt△BDM≌Rt△CDN，從而得∠MDN=∠BDC，再利用四邊形內角和為180°可得∠MDN=96°，因此∠BDC=96°三、解答題：13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線DE交AC于D，垂足為E，若∠A=30°，CD=3．（1）求∠BDC的度數(shù)．（2）求AC的長度．【答案】解：（1）∵AB的垂直平分線DE交AC于D，垂足為E，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠BDC=∠ABD+∠A=60°；（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，∴∠CBD=30°，∴BD=ACD=2×3=6，∴AD=BD=6，∴AC=AD+CD=9．【知識點】線段垂直平分線的性質；含30°角的直角三角形【解析】【分析】（1）由AB的垂直平分線DE交AC于D，垂足為E，根據(jù)線段垂直平分線的性質，易得AD=BD，即可求得∠ABD的度數(shù)，又由三角形外角的性質，即可求得答案；（2）易得△BCD是含30°角的直角三角形的性質，繼而求得BD的長，則可求得答案．14．如圖，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點D，連接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度數(shù)．【答案】解：∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．∴∠DBC=∠C．∵∠A=100°，∠ABD=22°．∴∠BDC=∠A+∠ABD=122°．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴∠C=．【知識點】三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質【解析】【分析】先求出DB=DC，再求出∠BDC=122°，最后計算求解即可。15．如圖，在△ABC中，ADBC，垂足是D，∠B=2∠C．求證：AB+BD=DC．【答案】證明：在線段DC上取一點E，使DE=DB，連接AE，∵AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB=AE，∴∠AEB=∠B，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=2∠C，∴∠EAC=∠AEB-∠C=2∠C-∠C=∠C，∴AE=CE，∴CE=AE=AB，∴DC=DE+CE=AB+BD，∴AB+BD=DC．【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質及等腰三角形的性質進行作答即可。16．如圖，AB=AC，∠A=120o，BC=6cm，ED、FG分別是AB，AC的垂直平分線，求BE的長.【答案】解：連接AE、AG，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE、FG分別為線段AB、AC的垂直平分線，∴BE=AE，AG=CG，∴∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，∵∠AEG與∠AGE分別是△AEB與△AGC的外角，∴∠AEG=∠B+∠BAE=30°+30°=60°，∠AGE=∠C+∠CAG=30°+30°=60°，∴△AEG是等邊三角形，∴AE=EG=AG，∵BE=AE，AG=CG，BC=6cm，∴BE=EG=CG=2cm.【知識點】線段垂直平分線的性質；等邊三角形的判定與性質【解析】【分析】連接AE、AG，根據(jù)等腰三角形的性質可得：∠B=∠C=30°，然后根據(jù)垂直平分線的性質可得：BE=AE，AG=CG，從而得出：∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，然后根據(jù)三角形外角的性質可得：∠AEG=∠AGE=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定可得：△AEG是等邊三角形，從而得出：AE=EG=AG，即可求出BE=EG=CG=2cm.能力提升篇一、單選題:1．如圖，在銳角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分線交BC于點D，點M，N分別是AD和AB上的動點，則BM＋MN的最小值是（）A．4 B． C．5 D．6【答案】C【知識點】垂線段最短；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】如圖，∵AD是∠BAC的平分線，∴點B關于AD的對稱點B′在AC上，過點B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由軸對稱確定最短路線問題，點M即為使BM+MN最小的點，B′N=BM+MN，過點B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴×10?BE=25，解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分線，B′與B關于AD對稱，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故答案為：C．【分析】本題關鍵是確定點M、N分別在什么位置時，BM+MN最小。首先根據(jù)AD是∠BAC平分線可知點B的對稱點B'必在AC上，再根據(jù)垂線段最短的原理從B'向AB邊引垂線段，與AD、AB的交點即為M、N，因為此時B'N=MN+B'M=MN+MB。最后利用AB=AB'，結合等腰三角形兩腰上的高相等把求B'N的長轉化為求△ABC邊AC上的高BE，據(jù)此解答即可。2．如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線MD相交于點D，DE⊥AB交AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，現(xiàn)有下列結論：①DE=DF;②DE+DF=AD;③DM平分∠EDF：④AB+AC=2AE．其中正確的有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點】三角形全等及其性質；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質；線段垂直平分線的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴①正確；

又∵∠BAC=60°，∴∠DAE=∠DAF=30°，∴DE=DF=，∴DE+DF=AD，②正確；

連接DB、DC，∵DM垂直平分BC，∴DB=DC，∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，∴BE=CF，

同理Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴AB+AC=AE-BE+AF+FC=AE+AF=2AE，∴④正確。

故答案為：C

【分析】連接DB、DC，根據(jù)角平分線、線段中垂線的性質定理可知DE=DF、DB=DC，故①正確；利用HL可得兩對全等三角形，從而有AE=AF、BE=CF，據(jù)此可判斷④正確；又由∠DAE=∠DAF=30°，利用含30°直角三角形的性質可得DE=DF=，進而又得②正確。3．如圖，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，則下列結論：①AB+AD=2AE；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE﹣2S△BCE=S△ADC；其中正確結論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點】全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質【解析】【解答】解：①在AE取點F，使EF=BE，∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，∴AB=AD+2BE=AF+2BE，∴AD=AF，∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，∴AE=（AB+AD），故①正確；②在AB上取點F，使BE=EF，連接CF.在△ACD與△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC.∵CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B.又∵∠AFC+∠CFB=180°，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②正確；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，又∵CF=CB，∴CD=CB，故③正確；④易證△CEF≌△CEB，所以S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF=S△ADC，∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④錯誤；即正確的有3個，故答案為：C.【分析】①在AE取點F，使EF=BE.利用已知條件AB=AD+2BE，可得AD=AF，進而證出2AE=AB+AD；②在AB上取點F，使BE=EF，連接CF.先由SAS證明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根據(jù)線段垂直平分線、等腰三角形的性質得出∠CFB=∠B；然后由鄰補角定義及四邊形的內角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；③根據(jù)全等三角形的對應邊相等得出CD=CF，根據(jù)線段垂直平分線的性質得出CF=CB，從而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根據(jù)全等三角形的面積相等易證S△ACE-S△BCE=S△ADC.二、填空題：4．如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D為BC的中點，連接AD，E是AB上的一點，P是AD上一點，連接EP、BP，AC=10，BC=12，則EP+BP的最小值是.【答案】9.6【知識點】垂線段最短；三角形的面積；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質【解析】【解答】解：連接PC，

∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵D為BC的中點，

∴AD垂直平分BC，BD=BC=6

∴BP=CP，

∴EP+BP=EP+CP

要使EP+BP的值最小，利用兩點之間線段最短和垂線段最短，可知當點E，P，C在同一直線上時，且CE⊥AB時，EP+BP的值最小，最小值為EC的長；

∵，

∴10CE=12×8

解之：CE=9.6.

故答案為：9.6.

【分析】連接PC，利用已知易證△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性質可求出BD的長，利用勾股定理求出AD的長，利用垂直平分線的性質可證得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使EP+BP的值最小，利用兩點之間線段最短和垂線段最短，可知當點E，P，C在同一直線上時，且CE⊥AB時，EP+BP的值最小，最小值為EC的長；然后三角形的面積公式可求出CE的長.5．如圖所示，，點為內一點，分別作出點關于、的對稱點，，連接交于，交于，，則的周長為，.【答案】15；96°【知識點】線段垂直平分線的性質；軸對稱的性質【解析】【解答】解：∵P點關于OA的對稱是點P1，P點關于OB的對稱點P2，∴PM=P1M，PN=P2N．∴△PMN的周長為PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．∵P點關于OA的對稱是點P1，P點關于OB的對稱點P2，∴OA垂直平分PP1，OB垂直平分PP2∴PM=P1M，PN=P2N．∴∠PMN=2∠P1，∠PNM=2∠P2，∵PP1⊥OA,PP2⊥OB,，∴∠P2PP1=180°-∠AOB=138°,∴∠P1+∠P2=42°∴∠MPN=180°-42°×2=96°故答案為：15,96°.【分析】利用軸對稱的性質，可得到PM=P1M，PN=P2N，就可證得△PMN的周長就等于P1P2的長；利用線段垂直平分線的性質，可證得PM=P1M，PN=P2N，利用等邊對等角及三角形的外角的性質，易證∠PMN=2∠P1，∠PNM=2∠P2，再求出∠P1+∠P2的值，然后利用三角形內角和定理就可求出結果。6．在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交邊BC于點D、E，若∠DAE=40°，則∠BAC的度數(shù)為.【答案】20°或110°【知識點】三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質【解析】【解答】（1）當△ABC為銳角三角形時，易知∠ABE=∠BAE，∠DAC=∠DCA，∠ACE=∠ADE–∠DAC，∠EBA=2∠ACB+∠DAB，求得∠BAC=∠BAD+∠DAC=20°.（2）當△ABC為鈍角三角形時，∠DAB=∠B，∠C=∠EAC，所以，2（∠B+∠C）+40°=180°，求得∠BAC=110°.【分析】根據(jù)垂直平分線的性質，線段垂直平分線上的點與線段的兩個端點的距離相等，再由等邊對等角和三角形內角和定理，求出∠BAC的度數(shù).7．如圖，△ABC中（AB＞BC），G在CB的延長線上，邊AC的垂直平分線DE與∠ABG的角平分線交于點M，與AB交于點D，與AC相交于E，MN⊥AB于N.已知AB=13，BC=9，MN=3，則△BMN的面積是.【答案】3【知識點】三角形全等及其性質；線段垂直平分線的性質【解析】【解答】解：如圖，連接AM，CM，做MK⊥CG，垂足為K，∵ME為AC的垂直平分線，∴AM=MC，∵BM平分∠ABG，MN⊥AB，MK⊥CG，∴∠MBK=∠MBN，∠MKB=∠MNB=90°，又∵MB=MB，∴△MBK≌△MBN，∴MN=MK，BK=BN，∴Rt△AMN≌Rt△CMK，∴AN=CK，∴AN=CK=BC+BK=BC+BN，∴BN=AN-BC=AB-BN-BC，∴2BN=AB-BC=13-9=4，