用頻率估計(jì)概率

用列舉法可以求一些事件的概率。實(shí)際上，我們還可以利用多次重復(fù)試驗(yàn)，通過統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果估計(jì)概率。事件發(fā)生的可能性有多大？問題：憑直覺你認(rèn)為：正面朝上與反面朝上的可能性是多少？我們從拋擲硬幣這個(gè)簡(jiǎn)單問題說起.直覺告訴我們這兩個(gè)事件發(fā)生的可能性各占一半.這種猜想是否正確，我們用試驗(yàn)來進(jìn)行驗(yàn)證：

把全班同學(xué)分成10組，每組同學(xué)擲一枚硬幣50次，整理同學(xué)們獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并記錄在表中.第一組的數(shù)據(jù)填在第一列，第一、二組的數(shù)據(jù)之和填在第二列，…，10個(gè)組的數(shù)據(jù)之和填在第10列.“正面向上”的頻率“正面向上”的頻數(shù)m50045040035030025020015010050拋擲次數(shù)nnm試驗(yàn)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，在圖中標(biāo)注出對(duì)應(yīng)的點(diǎn).投擲次數(shù)n

O0.5150100150200300400450250350500“正面向上”的頻率nm請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)想一想：“正面向上”的頻率有什么規(guī)律？使用幫助歷史上，有些人曾做過成千上萬次拋擲硬幣的試驗(yàn)，他們的試驗(yàn)結(jié)果見下表試驗(yàn)者拋擲次數(shù)（n）“正面向上”次數(shù)（m）“正面向上”的頻率（）棣莫弗204810610.518布豐404020480.5069費(fèi)勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005隨著拋擲次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率的變化趨勢(shì)有何規(guī)律？觀察可以發(fā)現(xiàn)，在重復(fù)拋擲一枚硬幣時(shí)，“正面向上”的頻率在0.5的左右擺動(dòng).

可以發(fā)現(xiàn)，在重復(fù)拋擲一枚硬幣時(shí)，“正面向上”的頻率在0.5的附近擺動(dòng).隨著拋擲次數(shù)的增加，頻率呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性：在0.5的附近擺動(dòng)的幅度會(huì)越來越小.這時(shí)我們稱“正面向上”的頻率穩(wěn)定于0.5.它與前面用列舉法得到的“正面向上”的概率是同一個(gè)數(shù)值。

在拋擲一枚硬幣時(shí)，結(jié)果不是“正面向上”就是“反面向上”，因此，從上面的試驗(yàn)中也能得到相應(yīng)“反面向上”的頻率.當(dāng)“正面向上”的頻率逐漸穩(wěn)定于0.5時(shí)，“反面向上”的頻率呈現(xiàn)什么規(guī)律？容易看出，“反面向上”的頻率也相應(yīng)地穩(wěn)定與0.5，它與前面用列舉法得到的“反面向上”的概率是同一個(gè)數(shù)值.

實(shí)際上，從長(zhǎng)期的實(shí)踐中，人們觀察到，對(duì)一般的隨機(jī)事件，在做大量的重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率，總在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性．因此，我們可以通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計(jì)它的概率．上面我們用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)刻畫了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.

一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）＝p.概率描述了事件發(fā)生可能性的大小

事件一般用大寫英文字母A，B，C…表示用頻率估計(jì)概率，雖然不像列舉法能確切地計(jì)算出隨機(jī)事件的概率，但由于不受“各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等”的條件限制，使得可求概率的隨機(jī)事件的范圍擴(kuò)大．例如，拋擲一枚圖釘或一枚質(zhì)地不均勻的骰子，不能用列舉法求“針尖朝上”或“出現(xiàn)６點(diǎn)”概率，但可以通過大量重復(fù)試驗(yàn)估計(jì)出它們的率．

從上面可知，概率是通過大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定性得到的一個(gè)0～1的常數(shù)，它反映了事件發(fā)生的可能性的大小.需要注意，概率是針對(duì)大量試驗(yàn)而言的，大量試驗(yàn)反映的規(guī)律并非在每次試驗(yàn)中一定存在.

擲硬幣時(shí)“正面向上”的概率是，這是從大量試驗(yàn)中產(chǎn)生的.某人連擲硬幣50次，結(jié)果只有10次正面向上，這種情況正常.因?yàn)楦怕适遣⒉槐ＷC擲2n次硬幣，一定有n次左右為正面向上，只是當(dāng)n越來越大時(shí)，正面向上的頻率會(huì)越來越接近.某人連擲硬幣50次，結(jié)果只有10次正面向上，這種情況正常嗎？

這件事并不奇怪，因?yàn)轭A(yù)報(bào)的降水概率是根據(jù)大量統(tǒng)計(jì)記錄得出的，是符合大多數(shù)同等條件的實(shí)際情況的，某些例外情況是可能發(fā)生的.

某氣象臺(tái)報(bào)告2006年4月1日有大雨，可這天并沒下雨，所以天氣預(yù)報(bào)不可信？1.下表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果.

投籃次數(shù)（n）50100150200250300500投中次數(shù)（m）286078104123152251投中頻率（）（1）計(jì)算表中的投中頻率（精確到0.01）；0.560.60.520.520.490.510.50練習(xí)（2）這名球員投籃一次，投中的概率約是多少（精確到0.1）？這名球員投中的頻率逐漸穩(wěn)定在0.5,因此估計(jì)這名球員投籃的概率約是0.52.用前面擲硬幣的試驗(yàn)方法，全班同學(xué)