第第頁蘇教版選擇性必修第一冊1.5.2點到直線的距離同步教學(xué)課件（共47張PPT）(共47張PPT)

第1章直線與方程

1.5.2點到直線的距離

課標要求

1.探索并掌握點到直線的距離公式和兩條平行直線間的距離公式.

2.會求點到直線的距離與兩平行直線間的距離.

素養(yǎng)要求

通過研究點到直線及兩平行線間的距離公式，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算及邏輯推理素養(yǎng).

問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材

必備知識探究

內(nèi)容

索引

互動合作研析題型

關(guān)鍵能力提升

拓展延伸分層精練

核心素養(yǎng)達成

WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU

問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識探究

1

一、點到直線的距離

1.思考(1)原點O到直線x＋2y－5＝0的距離是多少？

在平面直角坐標系中，已知點P(x0，y0)，直線l：Ax＋

(2)如圖，

By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎樣求出點P到直線l的距離呢？

提示根據(jù)定義，點P到直線l的距離是點P到直線l的垂線段的長，

如圖，過點P作l的垂線l′，垂足為Q，

3.做一做(多選)已知點M(1，4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離為3，則實數(shù)m的值可以為()

AB

二、兩條平行直線間的距離

1.思考已知兩條平行直線l1，l2的方程，如何求l1與l2間的距離？

提示根據(jù)兩條平行直線間距離的含義，在直線l1上任

取一點P(x0，y0)，點P(x0，y0)到直線l2的距離就是直線l1

與直線l2間的距離，這樣求兩條平行直線間的距離就轉(zhuǎn)

化為求點到直線的距離.

2.填空(1)兩平行線間的距離是指夾在兩條平行線間公垂線段的長，可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.

溫馨提醒(1)兩條平行直線間的距離公式適用于兩條直線的方程都是一般式，并且x，y的系數(shù)分別對應(yīng)相等的情況，否則必須先化為對應(yīng)相等才能套用公式.

(2)兩條平行直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.

3.做一做兩平行直線x＋y＋2＝0與x＋y－3＝0間的距離等于()

A

HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG

互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升

2

例1求過點P(1，2)且與點A(2，3)，B(4，－5)的距離相等的直線l的方程.

題型一點到直線的距離

解法一由題意知kAB＝－4，線段AB的中點為C(3，－1)，

所以過點P(1，2)與直線AB平行的直線方程為y－2＝－4(x－1)，

即4x＋y－6＝0.此直線符合題意.

法二顯然所求直線的斜率存在，

設(shè)直線方程為y＝kx＋b，

即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.

(1)求點到直線的距離時，直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式，應(yīng)先化成一般式再用公式；

(2)直線方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)中A＝0或B＝0時，公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標軸垂直)，故也可采用數(shù)形結(jié)合法求點到直線的距離.

思維升華

訓(xùn)練1已知點(a，2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝()

C

例2(1)求兩平行直線l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0間的距離；

題型二兩平行線間的距離

(2)求與兩條平行直線l1：2x－3y＋4＝0與l2：2x－3y－2＝0距離相等的直線l的方程.

即|C－4|＝|C＋2|，

解得C＝1.

故直線l的方程為2x－3y＋1＝0.

思維升華

訓(xùn)練2(1)求與直線l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距離為2的直線方程；

解得C＝32或C＝－20，

故所求直線的方程為5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.

(2)兩平行直線l1，l2分別過P1(1，0)，P2(0，5)，若l1與l2的距離為5，求兩直線方程.

解依題意得，兩直線的斜率都存在，

設(shè)l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，

l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.

因為l1與l2的距離為5，

所以l1和l2的方程分別為y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.

題型三利用距離公式解決最值問題

例3兩條互相平行的直線分別過A(6，2)和B(－3，－1)兩點，如果兩條平行直線間的距離為d，求：

(1)d的取值范圍；

(2)當d取最大值時，兩條直線的方程.

故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，

即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求最值

(1)解決此題的關(guān)鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決.

(2)數(shù)形結(jié)合、運動變化的思想方法在解題中經(jīng)常用到.當圖形中的元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進而可求出這些量的變化范圍.

思維升華

訓(xùn)練3已知直線l1，l2是分別經(jīng)過A(1，1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是____________.

x＋2y－3＝0

解析當兩條平行直線與A，B兩點的連線垂直時，兩條平行直線間的距離最大.

因為A(1，1)，B(0，－1).

課堂小結(jié)

1.牢記2個公式

(1)點到直線的距離公式.

(2)兩平行直線間的距離公式.

2.重點掌握2種規(guī)律方法

(1)點到直線的距離的求解方法.

(2)求兩條平行直線間的距離的方法.

3.注意1個易錯點

本節(jié)課的易錯點是求兩條平行線間距離時易用錯公式.

TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG

拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成

3

1.已知點(a，1)到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值為()

D

2.兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離等于()

C

3.若點P(a，0)到直線3x＋4y－6＝0的距離大于3，則實數(shù)a的取值范圍為()

C

A.(7，＋∞)B.(－∞，－3)

C.(－∞，－3)∪(7，＋∞)D.(－3，7)

即|3a－6|>15.

故3a－6>15或3a－67或a<－3.

AD

解得C＝0或C＝2，

故所求直線方程為2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.

5.點P(2，3)到直線ax＋(a－1)y＋3＝0的距離d最大時，d與a的值依次為()

A.3，－3B.5，2

C.5，1D.7，1

C

解析直線ax＋(a－1)y＋3＝0恒過點A(－3，3).

根據(jù)已知條件可知當直線ax＋(a－1)y＋3＝0與AP垂直時，距離最大，最大值為AP＝5，此時因為kAP＝0，故直線ax＋(a－1)y＋3＝0的斜率不存在，

所以a＝1.故選C.

6.點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，則x2＋y2的最小值是________.

8

解析由x2＋y2的實際意義可知，它表示直線x＋y－4＝0上的點到原點的距離的平方，

它的最小值即為原點到該直線的距離的平方，

7.經(jīng)過點P(－3，4)，且與原點的距離等于3的直線l的方程為

__________________________.

x＝－3或7x＋24y－75＝0

解析(1)當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－3，

原點到直線l：x＝－3的距離等于3，滿足題意；

(2)當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－4＝k(x＋3)，

即kx－y＋3k＋4＝0.

所以直線l的方程為7x＋24y－75＝0.

綜上，直線l的方程為x＝－3或7x＋24y－75＝0.

8.在坐標平面內(nèi)，與點A(1，2)的距離為1，且與點B(3，1)的距離為2的直線共有________條.

2

解析由題意可知，所求直線顯然不與y軸平行，

∴可設(shè)直線方程為y＝kx＋b，

即kx－y＋b＝0.

9.(1)求平行于直線3x＋4y－2＝0，且與它的距離是1的直線方程；

解得m＝3或－7，

所以所求直線方程為3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.

解得c＝9或c＝－3，

所以所求直線方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.

10.直線l經(jīng)過兩直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點，且與直線l1：x＋y－6＝0平行.

即兩直線交點坐標為(1，6).

∵直線l1：x＋y－6＝0的斜率k1＝－1，

∴直線l的斜率k＝－1.

∴直線l的方程為y－6＝－(x－1)，

即x＋y－7＝0.

(2)若點P(a，1)到直線l的距離與直線l1和直線l的距離相等，求實數(shù)a的值.

整理得|a－6|＝1，

解得a＝7或a＝5.

11.已知點A(0，2)，B(2，0)，若點C在函數(shù)y＝x2的圖象上，則使得△ABC的面積為2的點C的個數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

A

即|t2＋t－2|＝2，

即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，

這兩個方程各自有兩個不相等的實數(shù)根，故這樣的點C有4個.

12.若直線l1：2x＋my＋1＝0與直線l2：y＝3x－1平行，則m＝________，此時

直線l1與l2之間的距離為________.

13.已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點，

(1)點A(5，0)到l的距離為3