數(shù)理方程 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出_第1頁
數(shù)理方程 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出_第2頁
數(shù)理方程 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出_第3頁
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數(shù)理方程熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出第1頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月記與Laplace算子相關(guān)的另一算子(梯度算子(grad))或(Laplace算子)則有顯然梯度算子第2頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月其中,k是導(dǎo)熱系數(shù),u(x,y,z)

是導(dǎo)熱體中的溫度,付里葉熱傳導(dǎo)定律:在dt時段內(nèi),通過面積元dS流入體積元的熱量

dQ與沿面積元外法線方向的溫度變化率

成正比,也與

dS和dt成正比通過曲面進入導(dǎo)熱體的總熱量:三維熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)第3頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月通過曲面進入導(dǎo)熱體的總熱量:溫度升高所需熱量:Q1=Q2第4頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月三維熱傳導(dǎo)方程:ut=a2[uxx+uyy+uzz]Q1=Q2記

a2=k/(c)

第5頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月初始條件:u(x,y,z,0)=

(x,y,z)ut=a2[uxx+uyy+uzz]=ΔuII.第二類邊界條件:III.第三類邊界條件:I.第一類邊界條件:(已知邊界溫度)(邊界上有熱流進入)(邊界上有熱交換)熱傳導(dǎo)問題三類邊界條件第6頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月一維熱傳導(dǎo)方程:ut=a2uxx熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題(第一類邊界條件)例如第7頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月L長的細桿邊界上有熱流進、出u(x,t)LO1.在

x=L

處有熱流

q

流出ux|x=L=–q/k2.在

x=L

處有熱流

q

流入ux|x=L=q/k3.在

x=0處有熱流

q

流出ux|x=L=q/k4.在

x=0處有熱流

q

流入ux|x=L=–q/k

這里為沿?zé)崃鞣较虻姆较驅(qū)?shù)邊界上有熱交換第8頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月拉普拉斯方程與拉普拉斯算子二維熱傳導(dǎo)方程:ut=a2[uxx+uyy]三維熱傳導(dǎo)方程:ut=a2[uxx+uyy+uzz]熱傳導(dǎo)問題中,如果物體內(nèi)部沒有熱源,物體外圍溫度不隨時間變化,則經(jīng)過相當長時間以后,物體內(nèi)部的溫度將不再改變,趨于穩(wěn)定狀態(tài)。ut=0uxx+uyy+uzz=0(Laplace方程)或第9頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月正方形區(qū)域上第一邊值問題

準確解:O1x1y第10頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題2.6（P.26）

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