第二章平面匯交力系與平面力偶系1§2–1平面匯交力系合成與平衡的幾何法§2–2平面匯交力系合成與平衡的解析法§2–3平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算§2–4平面力偶第二章平面匯交力系與平面力偶系2靜力學(xué)§2-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法一、合成的幾何法1.兩個(gè)共點(diǎn)力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理： 由力的平行四邊形法則作，也可用力的三角形來作。3靜力學(xué)2.任意個(gè)共點(diǎn)力的合成為力多邊形位置圖力矢圖注：①在力多邊形中，各力矢首尾相接，環(huán)繞同一方向，而合力矢是反向封閉力多邊形；②根據(jù)矢量相加的交換律，任意變換各分力矢的作圖次序，可得形狀不同的力多邊形，但所得的合力矢FR卻是一樣的，即合力矢FR與各分力矢的作圖順序無關(guān)。合力FR可以表達(dá)為4靜力學(xué)結(jié)論：平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的作用線通過力系的匯交點(diǎn)，合力矢等于原力系中所有各力的矢量和，可由力多邊形的封閉邊來表示。推廣到平面匯交力系包含n個(gè)力情況，則有5靜力學(xué)二、平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的充要條件是：如力系中各力的作用線都沿同一直線，則此力系稱為共線力系，它是平面匯交力系的特殊情況，它的力多邊形在同一直線上。若沿直線的某一指向?yàn)檎?，相反為?fù)，則力系合力的大小與方向決定于各分力的代數(shù)和，即在上面幾何法求力系的合力中，合力為零意味著力多邊形自行封閉。所以平面匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：力多邊形自行封閉求解平面匯交力系平衡時(shí)，可以用上面方法利用比例尺進(jìn)行幾何作圖，量取得未知力還可以利用三角關(guān)系計(jì)算求未知力。6靜力學(xué)例2-1支架的橫梁AB與斜桿DC彼此以鉸鏈C相聯(lián)接，并各以鉸鏈A，D連接于鉛直墻上。如圖所示。已知AC=CB；桿DC與水平線成450角；載荷F=10KN，作用于B處。設(shè)梁和桿的重量忽略不計(jì)，求鉸鏈A的約束力和桿DC所受的力。7靜力學(xué)[例]已知壓路機(jī)碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉過h=8cm的障礙物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子對(duì)障礙物的壓力。又由幾何關(guān)系：①選碾子為研究對(duì)象②取分離體畫受力圖解： ∵當(dāng)碾子剛離地面時(shí)NA=0,這時(shí)拉力F和自重及支反力NB構(gòu)成一平衡力系。由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故8靜力學(xué)幾何法解題步驟：1．選取研究對(duì)象。根據(jù)題意，選取適當(dāng)?shù)钠胶馕矬w作為研究對(duì)象，并畫出簡(jiǎn)圖。

2．分析受力，畫受力圖。在研究對(duì)象上，畫出它所受的全部已知力和未知力(包括約束力)。若某個(gè)約束力的作用線不能根據(jù)約束特性直接確定(如鉸鏈)，而物體又只受三個(gè)力作用，且有兩力作用線交于一點(diǎn)，則可根據(jù)三力平衡必須匯交的條件確定該力的作用線。

3．作力多邊形或力三角形。選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，作出該力系的封閉力多邊形或封閉力三角形。必須注意，作圖時(shí)總是從已知力開始。根據(jù)矢序規(guī)則和封閉特點(diǎn)，就可以確定未知力的指向。

4．求出未知量。用比例尺和量角器在圖上量出未知量，或者用三角公式計(jì)算出來。由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對(duì)障礙物的壓力等于23.1kN。F=11.5kN,NB=23.1kN所以9靜力學(xué)幾何法解題不足：①精度不夠，誤差大②作圖要求精度高；③不能表達(dá)各個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系。下面我們研究平面匯交力系合成與平衡的另一種方法：解析法。

10靜力學(xué)§2-2平面匯交力系合成與平衡的解析法一、力在坐標(biāo)軸上的投影力在坐標(biāo)軸上的投影定義為力矢量與該坐標(biāo)軸單位矢量的標(biāo)量積力的大小方向余弦力FR在平面直角坐標(biāo)系中的解析式為11靜力學(xué)注意：投影和分力是兩種不同的量不能混淆。投影是代數(shù)量，對(duì)物體不產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)效應(yīng)，由力FR可確定其投影，但由其投影只能確定力F的大小和方向，不能確定其作用位置。分力是力沿該方向的分作用，是矢量，能對(duì)物體產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)效應(yīng)，由分力能完全確定力的大小、方向和作用位置。只有在直角坐標(biāo)系中，力在軸上的投影的絕對(duì)值才與力沿該軸的分力的大小相等，而投影的正負(fù)號(hào)可表示該分力的指向。但是在斜坐標(biāo)系中投影與分力的大小是不相等的，如圖所示。12靜力學(xué)二、合力投影定理根據(jù)合矢量投影定理：合矢量在某一軸投影等于各分矢量在同一軸投影的代數(shù)和，得平面匯交力系合力的投影，即合力矢的大小和方向余弦其中是合力分別與x、y軸正向的夾角13靜力學(xué)例2-2已知：F1=200N，F(xiàn)2=300N，F(xiàn)3=100N，F(xiàn)4=250N，求圖中所示平面匯交力系的合力。合力的方向也可用其與x軸所夾的銳角q來表示∴注：應(yīng)用上式時(shí)，必須根據(jù)Fx和Fy的正負(fù)號(hào)確定合力FR的指向。14靜力學(xué)三、平面匯交力系合成與平衡的解析法從前述可知：平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力為零。即 為平衡的充要條件，也叫平衡方程欲使上式成立，必須同時(shí)滿足為方便書寫，下表i可以略去。15靜力學(xué)[例2-3]如圖所示，重力P=20KN，用鋼絲繩掛在鉸車D及滑輪B上。A，B，C處為光滑鉸鏈連接。鋼絲繩、桿和滑輪的自重不計(jì)，并忽略摩擦和滑輪的大小，試求平衡時(shí)桿AB和BC所受的力。(1)取研究對(duì)象。(2)畫受力圖。(3)列平衡方程。(4)求解方程。16靜力學(xué)解：①研究AB桿②畫出受力圖③列平衡方程④解平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：；[例]已知P=2kN求SCD,RA17靜力學(xué)[例]已知如圖P、Q，求平衡時(shí)=？地面的反力ND=？解：研究球受力如圖，選投影軸列方程為由②得由①得①②18[例]圖示吊車架，已知P，求各桿受力大小。靜力分析解：1、研究對(duì)象：整體或鉸鏈AA60°2、幾何法：60°SAC=P/sin600SAB=P×ctg60019靜力分析3、解析法：A60°∑X=0SACcos600－SAB=0∑Y=0SACsin600－P

=0解得：SAC=P/sin600SAB=SACcos600=P×ctg600xy20靜力學(xué)1、一般地，對(duì)于只受三個(gè)力作用的物體，且角度特殊時(shí)用幾何法（解力三角形）比較簡(jiǎn)便。解題技巧及說明：3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個(gè)方程中只有一個(gè)未知數(shù)。2、一般對(duì)于受多個(gè)力作用的物體，且角度不特殊或特殊，都用解析法。21靜力學(xué)5、解析法解題時(shí)，力的方向可以任意設(shè)，如果求出負(fù)值，說明力方向與假設(shè)相反。對(duì)于二力構(gòu)件，一般先設(shè)為拉力，如果求出負(fù)值，說明物體受壓力。4、對(duì)力的方向判定不準(zhǔn)的，一般用解析法。22靜力學(xué)力對(duì)物體可以產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)--取決于力的大小、方向 轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)--取決于力矩的大小、方向§2-3平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算do23靜力學(xué)-+一、力對(duì)點(diǎn)的矩①是代數(shù)量。當(dāng)F=0或d=0時(shí)，=0。③

⑤=±2⊿AOB=±Fd,2倍⊿形面積。說明：②F↑,d↑轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)明顯。④單位Nm或kNm。24靜力學(xué)如以表示由點(diǎn)O到A的矢徑(如圖)，由矢量積定義,的大小就是三角形OAB

面積的兩倍。由此可見，此矢積的模就等于力對(duì)點(diǎn)O的矩的大小，其指向與力矩的轉(zhuǎn)向符合右手法則。即平面中力對(duì)點(diǎn)的矩也可以用矢量表示。二、合力矩定理定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于所有各分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和 即：25靜力學(xué)[證]為平面匯交力系的合力，即：為矩心O到匯交點(diǎn)A的矢徑，對(duì)上式兩端作矢積，有以由于每個(gè)力都有與點(diǎn)O共面，上式各矢積平行，因此上式矢量和可按代數(shù)和計(jì)算。而各矢量積的大小就是力對(duì)點(diǎn)O之矩，于是證得合力矩定理，即26靜力學(xué)yxOxyAB力矩與合力矩的解析表達(dá)式當(dāng)平面匯交力系平衡時(shí),合力為零;由上式可知，各力對(duì)任一點(diǎn)O之矩的代數(shù)和皆為零。即上式說明:可用力矩方程代替投影方程求解平面匯交力系的平衡問題。27靜力學(xué)[例2-4]如圖所示圓柱直齒輪，受到嚙合力F的作用。設(shè)F=1400N。壓力角，齒輪的節(jié)圓（嚙合圓）的半徑

r=60mm，試計(jì)算力F對(duì)于軸心O的力矩。解:計(jì)算力

F對(duì)點(diǎn)O的矩，可直接按力矩的定義求得,即

也可以根據(jù)合力矩定理，將力

F分解為圓周力和徑向力，(圖(b)),由于徑向力通過矩心O，則

28靜力學(xué)水平梁AB受三角形分布的載荷作用，如圖所示。載荷的最大值為q,梁長(zhǎng)l。求合力的大小及合力作用線的位置。

在坐標(biāo)x處取長(zhǎng)為

dx的微段，其集度為：而在此微段上的荷載為：⒈求合力的大小解：荷載分布在一狹長(zhǎng)范圍內(nèi)，如沿構(gòu)件的軸線分布，則稱為分布荷載。該問題是一集度按線性變化的線分布荷載求合力問題。29因此，合力Q的大小為：⒉求合力作用線的位置解得：靜力學(xué)計(jì)算結(jié)果說明:合力大小等于三角形線分布載荷的面積，合力作用線通過該三角形的幾何中心。此結(jié)果要做為公式記住，遇到這樣的分布載荷時(shí)直接使用即可。

30靜力學(xué)一、力偶與力偶矩力偶：由兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系。記作（F，F(xiàn)′）§2-4

平面力偶系的合成與平衡31⑴性質(zhì)1力偶既沒有合力，本身又不平衡，是一個(gè)基本力學(xué)量。力偶的性質(zhì)力偶無合力，不能與一個(gè)單個(gè)的力平衡；力偶只能與力偶平衡。力偶只能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)效果取決于力偶矩。FF'd力偶的作用面力偶臂靜力學(xué)32靜力學(xué)FF'dOxAB平面力偶對(duì)物體的作用效應(yīng)，由以下兩個(gè)因素決定：（1）力偶矩的大?。唬?）力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向。因此力偶矩可視為代數(shù)量，即—+⑵性質(zhì)2力偶矩的大小為力偶中的兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)某點(diǎn)的矩的代數(shù)和，其絕對(duì)值等于力與力偶臂的乘積即Fd，與矩心位置無關(guān)。記作，簡(jiǎn)記為M

33結(jié)論：FF'dABC①

M是代數(shù)量，有+、--；②M的值

M=±2⊿ABC

的面積；③單位：N?m二、同平面內(nèi)力偶的等效定理定理：作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要它們的力偶矩的大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則該兩個(gè)力偶彼此等效。靜力學(xué)34靜力學(xué)證明:如圖所示，設(shè)在同平面內(nèi)有兩個(gè)偶

和

作用，它們的力偶矩相等，且力的作用線分別交于點(diǎn)A和B，現(xiàn)證明這兩個(gè)力偶是等效的。

證明：將力F0和力F′0分別沿它們的作用線移到點(diǎn)A和B，然后分別沿連線AB和力偶（F，F(xiàn)′）的兩力作用線方向分解，得到F1,F2,F′1,F′2四個(gè)力與原力偶（F0，F(xiàn)0′）等效。由于兩力平行四邊形全等，于是力F1和F′1構(gòu)成一對(duì)平衡力，可以除去；力F2和F′2構(gòu)成一個(gè)新力偶（F2，F(xiàn)′2），與原力偶（F0，F(xiàn)′0

）等效。連接CB、DB，計(jì)算力偶矩，有35靜力學(xué)可見，力偶（F，F(xiàn)′）與力偶（F2，F(xiàn)′2）等效，所以力偶（F0，F(xiàn)′0）與力偶（F，F(xiàn)′）等效。由假設(shè)即36②只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和相應(yīng)力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變它對(duì)剛體的作用。由上述證明可得下列兩個(gè)推論：①任一力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)，而不影響它對(duì)剛體的作用。因此，力偶對(duì)剛體的作用與力偶在其作用面內(nèi)的位置無關(guān)。力偶的符號(hào)表示：靜力學(xué)由此可見，力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩是平面力偶作用的唯一量度。今后常用圖示的符號(hào)表示力偶。M為力偶矩。37