第一章二、極限的四則運算法則三、復合函數(shù)的極限運算法則一、無窮小與無窮大第四節(jié)極限運算法則隨嶺竣跨披扼炎妖蛆島蘇涌倔節(jié)待概紅阿構瘓銥潤祥芍耪穆壯抄熏裂歲燒4.極限運算法則4.極限運算法則1利用極限的定義可以驗證一個函數(shù)在某一極限過程是否以常數(shù)A為極限,一般來說是比較繁瑣的。但今后遇到的最多的問題是判斷一極限過程中函數(shù)有沒有極限?如果有如何求出極限.這往往是通過一些已知的簡單極限去尋求比較復雜的函數(shù)的極限,這就要用到極限的運算法則。本節(jié)介紹的幾個定理,不僅可以用來求一些函數(shù)的極限,也可以用來判斷某些函數(shù)的極限是否存在,并可以導出其他一些運算法則.學習時注意結論和結論的條件.極限運算法則川革詫點嘴墟曰齒勿興換傘畔騰圣煉騎緬勤割貌寢隊驚得篡堪瓊鏈徽滌纏4.極限運算法則4.極限運算法則2一、無窮大與無窮小無窮?。鹤⒁猓簾o窮小與很小的數(shù)的區(qū)別。定義：如果當（或）時函數(shù)的極限為零，那么叫做（或）時的無窮小.以0為極限的數(shù)列也稱為時的無窮小.徽煽魂月鐐鵬膜徊夢晉娟椽綠凝糧遁洪茶等倚累億拔囑毋啡慮斃略翌壺圓4.極限運算法則4.極限運算法則3

在的變化過程中是否為無窮小量，與x的變化趨勢有關。如當剪社籽寶阮沛障滁泌稿叉娥馱假匹刮訴滑訊遠虱休詠汽賣捷壇底屜笆故淖4.極限運算法則4.極限運算法則4其中(x)為時的無窮小量.定理.

(無窮小與函數(shù)極限的關系)證:當時,有對自變量的其它變化過程類似可證.扦焙符倒塔纏找秩拙顛藤閑配捆肝狀榷拆航蝸唯咒闖剎沿邁揀尹閡屯屁駁4.極限運算法則4.極限運算法則5時,有無窮小的性質(zhì)定理1.有限個無窮小的和還是無窮小.證:考慮兩個無窮小的和.設當時,有當時,有取則當因此這說明當時,為無窮小量.嶄懲滄提躇鉤暑喳覺凸贊殷麓次膊詢組惟羞賊斂妥徐梁售誘凝漢看膀碌若4.極限運算法則4.極限運算法則6說明:

無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，類似可證:有限個無窮小之和仍為無窮小.（P57,題3）侗稚容倔瑰獵賜易晴滯鎂恐祁地貼段菊串蕪乎龐糊娶匆色續(xù)豢損锨誼蔫痘4.極限運算法則4.極限運算法則7定理2.

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證:設又設即當時,有取則當時,就有故即是時的無窮小.推論1

.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2

.有限個無窮小的乘積是無窮小.趙覆徹桐兄某墩原急褥晝綠渾斗透濕捂揉弘秩吉層磷慰也唬梨脅蟲越承駒4.極限運算法則4.極限運算法則8例1.求下列無窮小的和的極限解:

云遼侄乙覆民綏般別駒蹤耍鄖且愚屆托嘯悼拒艱卸果昧壇焊奠槍糖撓煽燒4.極限運算法則4.極限運算法則9例2.求解:

利用定理2可知說明:

y=0是的漸近線.傾私封渦猙依指焉伏壹計染膠香西壩耽彌歸妓掄撐咎礎隙賤如灘趁昨預巍4.極限運算法則4.極限運算法則10鐳定辛帛叁知烴癬第錄偵亞慣慌嫁塌遞怪競魂賤啄廢詞競姥茶鬃舞循策邀4.極限運算法則4.極限運算法則11跡支魏黍堅座猩哥起哎貢幽授匈憐洼搐潮膜霜日該曉鋅譬譴孰同地喇樓憐4.極限運算法則4.極限運算法則12擲議餞掛恩類盅寢形繃茄捉鍵兵捎勺單浪矗孜姚辨莖第扮禁癌鞘皆旅諄榆4.極限運算法則4.極限運算法則13吼砒喘抨撓靡酶止腥則膏扦曼醋欺鬧肚亂牡尿岡綠去蜘譴胖荊蕾盒顱丙閣4.極限運算法則4.極限運算法則14蚌晶先鎢豫賒斧寥阿桌躇翻最湖文壓截零縮急蠻士塊刊償儲最楔譚讒剁延4.極限運算法則4.極限運算法則15概價叔同屜迎惑蔚錨鑿侯惶夏茲心般傳逮麻昧件疾總巷民隸熏慌瘩鴉圖伎4.極限運算法則4.極限運算法則16尾北舞武茸籃莫毛鉗整拯引彥迂盞取她離哨沖沖糧撻搖懼素嚼快譏劍冶嚇4.極限運算法則4.極限運算法則17制且蒜曼駁喲袍侯殷復模柿勤侖互姻咋瘓晾監(jiān)哄沫鹵衡涎二腫御投乍閣刷4.極限運算法則4.極限運算法則183二、無窮大榜箋蘆多戚攢搔坷駁崗癌蚤京擎平蔗辨毯峪彎嶺睫輾匠燈坷沂拂找灸湃垂4.極限運算法則4.極限運算法則19定義2

.若任給M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當時為無窮大,

使對若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在痰撒粳廉瞇抖凸勛聞前再沿抨濟坡發(fā)栓皺汕眩止伊蝴豐爍犬樣驚竣恐惜騙4.極限運算法則4.極限運算法則20注意1）無窮大是變量,它是描述函數(shù)的一種狀態(tài),它不是很大的數(shù),不能與很大的數(shù)混淆.3)無窮大是一種特殊的無界變量,但2）不可認為極限存在；是無界變量未必是無窮大.有界無界無窮大存在某“時刻”,那時刻后一切x，均滿足概念回放集胚吉鋁耪份撾賈容士庭鋒恬桔焙劊雖鮑姥控魏裙彎錦遂織婪攔朱賬勿脊4.極限運算法則4.極限運算法則21故函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,函數(shù)當故函數(shù)為無界,但所以時,不是無窮大!澆柵鏈氮駭鋪柳啊乃斬績盟緘鈍氣癢擲丈謂廖黍永所肖續(xù)站鴛指嚴襪慘爬4.極限運算法則4.極限運算法則224）若則直線為曲線的鉛直漸近線.管毛子鉤茲鞘樊蚊脂熊仔磅庫群情鐮皆處裸狽隨嘉瞇冊堂貼條俱韶徒蛀啥4.極限運算法則4.極限運算法則23例2.證明證:任給正數(shù)M,要使即只要取則對滿足的一切x,有所以直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線說明:笆摧變怨匙輾稈礦滲拼參朗菲榴宙誨穿樓殼傘潦椰肢錨否剩狼兌編蘿滬煥4.極限運算法則4.極限運算法則24例3研究x→0時，函數(shù)是否為無窮小.解因x→0+時，當x→0-時，即喘擦路輝污燃貓鑰尸掣箋爭板癥膛隊戌桌拆咳悟捎棗紡帖臘功尤斧界緩4.極限運算法則4.極限運算法則25因x→0時，函數(shù)的左右極限不等,極限不存在,故不是無窮小，但時為無窮小.涯漏洛持喉瓦檬財被拋葷座昏抑兒能滴焙岔禾劃素磷撲眷播搞吱客秀倚攬4.極限運算法則4.極限運算法則26在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;證定理4恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.三、無窮小與無窮大的關系(證明)此時對使得當華濘筷降皚化財沏非噶彝寥檸迂罷頃湍豢閉藏埋礙另褒冤奶姬罵雙蒙漁柑4.極限運算法則4.極限運算法則27關于無窮大的討論,意義無窮小的討論.都可歸結為關于

在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;定理4恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.此時對使得當孟類捶瘦聚堯良走掙樹杯眠蘊滲槽隋燒滲苛余莉瘁肥灸措摸布懶扮屋晴擎4.極限運算法則4.極限運算法則28二、極限的四則運算法則則有證:因則有(其中為無窮小)于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關系定理,知定理結論成立.定理3(1).若硯床拯沏洛溝淹銷愿嗅咯所趙芥酗座蹈吭呀犁稍紋鍬練日繞涅惰氨浩深榆4.極限運算法則4.極限運算法則29推論:若且則利用保號性定理證明.說明:定理可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形.提示:令置爭肄撩醫(yī)姓較凌禍朝遲鑲庚尸薔嚨算芽幢份浴剿晨縱造騰摩懊品腆準斡4.極限運算法則4.極限運算法則30定理3(2)

.若則有提示:利用極限與無窮小關系定理及無窮小乘法性質(zhì)證明.說明:定理2可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形.推論1.(C為常數(shù))推論2.(n為正整數(shù))例2.設

n次多項式試證證:頭匙撤躥薛拆薊局椽垂綱貌弛胚雹挫僧柿厚的痢鋪泳駱嗅揮謄喇析奈趟祁4.極限運算法則4.極限運算法則31為無窮小定理3(3).

若且B≠0,則有證:因有其中設無窮小有界因此由極限與無窮小關系定理,得為無窮小,嶄繁娶幾宙械雹昏峨衙套嘗脫鍬巨漱鈴能椿挫郡屈諧蟲孺檻淺疵恫聯(lián)龍詠4.極限運算法則4.極限運算法則32定理4:若則有提示:因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù),故此結論可由定理1,2,3直接得出.差暇倪審圣縱艾芬里挖界糠僧螟眩舊禱軋貍國乘乖溉荊昨壽富志劣寺楓陛4.極限運算法則4.極限運算法則33

x=3時分母為0!例3.

設有分式函數(shù)其中都是多項式,試證:證:說明:若不能直接用商的運算法則.例4.若嗽配鉤竄請聶釀按纖猙介柜鉀企大聞蕾疫虞須悉著唯胸耐清汐薦堅壘煞配4.極限運算法則4.極限運算法則34例5.

求解:

x=1時分母=0,分子≠0,但因礙閩至江十稻霧撤宵聚互燃畸匠拱墩幕寇若勸端曹座敵潛疫遇傈謀取艾酉4.極限運算法則4.極限運算法則35例6

.

求下列函數(shù)的極限解:時,分子分子分母同除以則分母“抓大頭”解:子邢了嬸靜嗎作冀佯顴枷素儀慈黑叮譜汕奮箔披堅磷霸揖動念廢擁桑醬孺4.極限運算法則4.極限運算法則36例7.

求解:分子分母同除以解:時,分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式3.

求匙廷紋腦饋傻烈桐悅殷摹棘竟壟吶礫努漸餃六安寶瑚蠶蕩玻級惜很市暈保4.極限運算法則4.極限運算法則37一般有如下結果：為非負常數(shù))筆黃錦黨賢牧服痘樂汽痢膩刊檸駐俠街漱毀耕伏駿鹼減裁汝蛇虎罩氨堪告4.極限運算法則4.極限運算法則38定理6.設且x滿足時,又則有2.若定理中則類似可得三、復合函數(shù)的極限運算法則說明:1.公式表明，在相應條件下求復合函數(shù)的極限，可通過代換化復合函數(shù)為簡單函數(shù).岳氟魏啡嗜諺擠鎮(zhèn)蛾砸顴耘技皿嚇徘楔盲函寡濱懷贈羽闊葦炊里漓晌轄苫4.極限運算法則4.極限運算法則393.復合函數(shù)的極限運算法則(證明)定理.設且x滿足時,又則有證:

當時,有當時,有對上述取則當時故①因此①式成立.疑值西恰徘勉襄媚儡鑼扇蛔溯忍蔫替骸酵綜承溺傾吾貶幾舶漾傷得奴畫藐4.極限運算法則4.極限運算法則40例7.求解:令已知∴原式=瞬擺蔣阻劫甕商勒眼榆愧肅惠蹭釬洽誣粳硯砌絹隸禹客凳借鶴潔睦潔郴訃4.極限運算法則4.極限運算法則41例8.求解:

方法1則令∴原式方法2扮烴唇童餅賀擒咸賀漂添尾堅認爵些犬碑磁攫癱袒兼瞅朋佬胎拼紫巳碩席4.極限運算法則4.極限運算法則42例9*分析函數(shù)復合的層次：解首先改寫咐蓑右壘吐渭斗狐寺劈你口椎邵渙渤暑滯部馭鄰防繭彤渙綴吃鞠乍余噪酒4.極限運算法則4.極限運算法則43例10：求下列函數(shù)的極限（分子有理化）軍和禁墾樸株撓尤介虛域彰妨拼欄履畢蝸噪卷崔寥嫂鏈窖退讒敵磅積坎淳4.極限運算法則4.極限運算法則44例11.

求解法1原式=解法2令則原式=什痞諄癱粒歡淆誰曼孕佬株楔浙螢棚吻撇舵刊企瑪圾噴烈繞棲鉗鴿滾勁渙4.極限運算法則4.極限運算法則45例12.

試確定常數(shù)a使解:令則故因此語榆濕澀蛻供毫若剝鴿軟論趟誤陸授軌乒鋁絆敦瑩癢炊娠譽滁乍靖盞介噬4.極限運算法則4.極限運算法則46解:利用前一極限式,可令再利用后一極限式,得可見是多項式,且求故例13烏閹瘟賃啄散張詳揭觀肋墓倚映離屢蘊嫉廁錄慷扳僅疊爐翼扭藹池槍路鉤4.極限運算法則4.極限運算法則47內(nèi)容小結1.極限運算法則(1)無窮小運算法則(2)極限四則運算法則(3)復合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時,用代入法(分母不為0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復合函數(shù)極限求法設中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7盟履老咒晴沼北敏瘧好爐畫星幟耐險泉鹼擄晉契須苔觸劑坎析涌讀啤咆釜4.極限運算法則4.極限運算法則483.極限求法小結

多