第六講

解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

在§3.6我們證明了在D內(nèi)的解析函數(shù),其導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)。本節(jié)利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系。內(nèi)容簡(jiǎn)介§3.7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定義定理證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則即u及v在D內(nèi)滿(mǎn)足拉普拉斯(Laplace)方程:定義上面定理說(shuō)明：由解析的概念得：現(xiàn)在研究反過(guò)來(lái)的問(wèn)題：如定理

公式不用強(qiáng)記！可如下推出：類(lèi)似地，然后兩端積分得，

調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際問(wèn)題中都有重要應(yīng)用。本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系。例1解曲線積分法xy0(x,y)x其中c為任意實(shí)的常數(shù)故

又解湊全微分法其中c為任意實(shí)的常數(shù)又解偏積分法其中c為任意實(shí)的常數(shù)又解不定積分法其中c為任意實(shí)的常數(shù)一般,若已知實(shí)部u,則若已知虛部v,則其中c為任意實(shí)的常數(shù)其中c為任意實(shí)的常數(shù)

1.復(fù)數(shù)列的極限

2.級(jí)數(shù)的概念第四章級(jí)數(shù)CH4§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.復(fù)數(shù)列的極限定義又設(shè)復(fù)常數(shù)：定理1證明2.級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的前面n項(xiàng)的和---級(jí)數(shù)的部分和不收斂---無(wú)窮級(jí)數(shù)定義設(shè)復(fù)數(shù)列：

例1解定理2證明

由定理2，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題可歸之為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題。性質(zhì)定理3證明

?定義由定理3的證明過(guò)程，及不等式定理4解例2例3解練習(xí)：用收斂必要條件做

1.冪級(jí)數(shù)的概念

2.收斂定理

3.收斂圓與收斂半徑

4.收斂半徑的求法

5.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)§4.2冪級(jí)數(shù)1.冪級(jí)數(shù)的概念定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：---稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的最前面n項(xiàng)的和---級(jí)數(shù)的部分和

若級(jí)數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)---級(jí)數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級(jí)數(shù)(1)中稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)2.收斂定理同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理：定理1(阿貝爾(Able)定理）證明(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對(duì)所有正實(shí)數(shù)都收斂，級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時(shí)，級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。顯然，<否則，級(jí)數(shù)(3)將在處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，逐漸變大，在c內(nèi)部都是紅色,逐漸變小，在c外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會(huì)交錯(cuò)。故播放

(i)冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問(wèn)題要具體分析。定義這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周CR叫做冪級(jí)數(shù)的收斂圓；這個(gè)圓的半徑R叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。(ii)冪級(jí)數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.4.收斂半徑的求法定理2(比值法)證明定理3(根值法)定理3(根值法)定理2(比值法)例1解

綜上例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解(1)該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散p≤1P>1該級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。

綜上該級(jí)數(shù)發(fā)散。該級(jí)數(shù)收斂，故該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的.5.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

代數(shù)運(yùn)算

---冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算---冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算---冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的代換運(yùn)算在函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)中很有用.例3解代換解代換展開(kāi)還原寫(xiě)在最后成功的基礎(chǔ)在于好的學(xué)習(xí)習(xí)慣Thefoundationofsuccessliesingoodhabits47結(jié)束語(yǔ)當(dāng)你盡了自己的最大努力時(shí)，失敗也是偉大的，所以不要放棄，堅(jiān)持就是正確的。WhenYouDoYourB