四川省廣元市蒼溪中學2022年高三數學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.《九章算術》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數學家劉徽在其《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形．該矩形長為，寬為內接正方形的邊長d．由劉徽構造的圖形還可以得到許多重要的結論，如圖3．設D為斜邊BC的中點，作直角三角形ABC的內接正方形對角線AE，過點A作于點F，則下列推理正確的是（

）①由圖1和圖2面積相等得；②由可得；③由可得；④由可得．A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①③參考答案：A【分析】根據圖形進行計算．【詳解】①由面積相等得，，正確；②圖3中，由三角形面積得，又，由得，所以，正確；③，由得，所以，正確；④由由得，所以，正確．四個推理都正確．故選：A．【點睛】本題考查推理，通過構造幾何圖形推導出基本不等式及其推論．本題考查數學文化，激發(fā)學生的學習積極性．2.若橢圓＋＝1的離心率e＝，則m的值為A．1

B.或

C.

D．3或參考答案：D3.已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則f（π）=（） A． B．0 C．﹣2 D．1參考答案：D【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數的圖象． 【專題】數形結合；數形結合法；三角函數的圖像與性質． 【分析】由圖象可得A，由周期公式可得ω，代入點計算可得φ值，進而可得函數的解析式，代值計算可得． 【解答】解：由圖象可得A=2，周期T==2[﹣（﹣）]，解得ω=2， 代入點（﹣，0）可得0=2sin（﹣+φ），結合|φ|＜可得φ=， ∴f（x）=2sin（2x+），∴f（π）=2sin（2π+）=2sin=1 故選：D． 【點評】本題考查三角函數的圖象和解析式，屬基礎題． 4.函數為減函數的單調區(qū)間為

A．

B．

C．

D．參考答案：C5.對于函數，下列命題正確的是

A．函數f（x）的圖象恒過點（1，1）

B．∈R，使得

C．函數f（x）在R上單調遞增

D．函數f（x）在R上單調遞減參考答案：A6.是在上的奇函數，當時，，則當時=（

）A

B

C

D

參考答案：D略7.已知復數z滿足(為虛數單位)，則z的虛部為（

）A．i

B．－1

C．1

D．－i參考答案：C由得，∴，∴復數z的虛部為1．故選C．

8.設是等差數列的前項和，若，則A.

B.

C.

D.參考答案：A9.定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的向量，，令a⊙b=，下面說法錯誤的是（

）A．若a與b共線，則a⊙b＝0B．a⊙b=b⊙aC．對任意的R，有（a）⊙b=（a⊙b）D．（a⊙b）+（a·b）=參考答案：B10.已知f(x)在R上是奇函數，f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0，2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝(

)．A．－2

B．2

C．－98D．98參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列的首項，且，則數列的前10項的和為

．參考答案：1023

12.已知非空集合，則實數的取值范圍是

.參考答案：因集合A非空，故關于x的二次方程有實數根，a大于等于0，所以取值為13.已知不等式組則z=的最大值為．參考答案：3【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，結合的幾何意義求出z的最大值即可．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：的幾何意義表示平面區(qū)域內的點與點A（﹣1，1）的直線的斜率，結合圖象直線過AB時，斜率最大，此時z==3，故答案為：3．14.函數的定義域為

.

參考答案：(,1)15.已知是夾角為的兩個單位向量，若，則k的值為_____________.參考答案：略16.平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′﹣BCD頂點在同一個球面上，則該球的表面積_____.參考答案：【分析】根據BD⊥CD，BA⊥AC，BC的中點就是球心，求出球的半徑，即可得到球的表面積.【詳解】因為平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面ABD，∴CD⊥BA，又BA⊥AD，∴BA⊥面ADC，所以BA⊥AC，所以△BCD和△ABC都是直角三角形，由題意，四面體A﹣BCD頂點在同一個球面上，所以BC的中點就是球心，所以BC，球的半徑為：所以球的表面積為：3π.故答案為：.【點睛】本題主要考查面面垂直的性質定理和球的外接問題，還考查空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.17.設則的值等于__

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐中底面，底面是直角梯形，為側棱上一點．該四棱錐的俯視圖與側（左）視圖如圖所示．（I）證明：平面；（II）證明：平面；（III）求四棱錐的體積．參考答案：19.設f（x）=|x﹣1|+|x+1|． （1）求f（x）≤x+2的解集； 參考答案：【考點】函數恒成立問題；絕對值不等式的解法． 【分析】（1）運用絕對值的含義，對x討論，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉絕對值，得到不等式組，解出它們，再求并集即可得到解集； （2）運用絕對值不等式的性質，可得不等式右邊的最大值為3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去絕對值的方法，即可解得x的范圍． 【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得： 或或， 即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈?， 解得0≤x≤2， 所以f（x）≤x+2的解集為[0，2]；

（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3， 當且僅當（1+）（2﹣）≤0時，取等號． 由不等式f（x）≥對任意實數a≠0恒成立， 可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或， 解得x≤﹣或x≥， 故實數x的取值范圍是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）． 【點評】本題考查絕對值不等式的解法，同時考查不等式恒成立問題的求法，運用分類討論的思想方法和絕對值不等式的性質是解題的關鍵． 20.（10分）選修4﹣1：幾何證明選講如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，過點P的割線交圓于B、C兩點，弦CD∥AP，AD、BC相交于點E，F為CE上一點，且DE2=EF?EC．（1）求證：CE?EB=EF?EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的長．參考答案：【考點】：與圓有關的比例線段．【專題】：選作題．【分析】：（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行線的性質可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用對頂角的性質即可證明△EDF∽△EPA．于是得到EA?ED=EF?EP．利用相交弦定理可得EA?ED=CE?EB，進而證明結論；（II）利用（I）的結論可得BP=，再利用切割線定理可得PA2=PB?PC，即可得出PA．（I）證明：∵DE2=EF?EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF∽△EPA．∴，∴EA?ED=EF?EP．又∵EA?ED=CE?EB，∴CE?EB=EF?EP；（II）∵DE2=EF?EC，DE=3，EF=2．∴32=2EC，∴．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由（I）可知：CE?EB=EF?EP，∴，解得EP=，∴BP=EP﹣EB=．∵PA是⊙O的切線，∴PA2=PB?PC，∴，解得．【點評】：熟練掌握相似三角形的判定和性質定理、平行線的性質、對頂角的性質、相交弦定理、切割線定理是解題的關鍵．21.（本小題滿分12分）為了解惠州市的交通狀況，現對其6條道路進行評估，得分分別為：5,6,7,8,9,10。規(guī)定評估的平均得分與全市的總體交通狀況等級如下表：評估的平均得分（0,6）[6,8）[8,10]全市的總體交通狀況等級不合格合格優(yōu)秀

（Ⅰ）求本次評估的平均得分，并參照上表估計該市的總體交通狀況等級；（Ⅱ）用簡單隨機抽樣方法從這6條道路中抽取2條，它們的得分組成一個樣本，求該樣本的平均數與總體的平均數之差的絕對值不超過0.5的概率．參考答案：（I）6條道路的平均得分為

…………3分∴該市的總體交通狀況等級為合格.

…………5分（Ⅱ）設A表示事件“樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.5”.…………7分從6條道路中抽取2條的得分組成的所有基本事件為：(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共15