山西省臨汾市李堡中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，設(shè)=，=，則=（）A．+ B．﹣ C．+ D．﹣參考答案：C【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】利用平行四邊形法則直接計(jì)算．【解答】解：如圖作平行四邊形ABDC，則有．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中線的向量表示、向量的加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.（5分）從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（） A． “至少有一個(gè)紅球”與“都是黑球” B． “至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球” C． “至少有一個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球” D． “恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”參考答案：D考點(diǎn)： 互斥事件與對(duì)立事件．專題： 概率與統(tǒng)計(jì)．分析： 列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次驗(yàn)證即可解答： 對(duì)于A：事件：“至少有一個(gè)紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，∴A不正確對(duì)于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴B不正確對(duì)于C：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴C不正確對(duì)于D：事件：“恰有一個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是互斥事件，又由從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，得到所有事件為“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”以及“恰有2個(gè)紅球”三種情況，故這兩個(gè)事件是不是對(duì)立事件，∴D正確故選D點(diǎn)評(píng)： 本題考查互斥事件與對(duì)立事件．首先要求理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡(jiǎn)單題3.若集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={1,3,4,7}，B={1,2,4,6,7}，則（

）A．{3,6}

B．{5}

C．{2,3,5,6}

D．{1,2,3,4,5,6,7}參考答案：C4.函數(shù)y=是（

）A．奇函數(shù)

B．偶函數(shù)

C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D．非奇非偶數(shù)參考答案：B5.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A.的一個(gè)周期為 B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.在單調(diào)遞減 D.的一個(gè)零點(diǎn)為參考答案：C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】A．函數(shù)的周期為2kπ，當(dāng)k＝﹣1時(shí)，周期T＝﹣2π，故A正確，B．當(dāng)x時(shí)，cos（x）＝cos（）＝coscos3π＝﹣1為最小值，此時(shí)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，故B正確，C．當(dāng)x＜π時(shí)，x，此時(shí)函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D．當(dāng)x時(shí)，f（π）＝cos（π）＝cos0，則f（x+π）的一個(gè)零點(diǎn)為x，故D正確故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6.要得到的圖象只需將y=3sin2x的圖象

（

）A．向左平移個(gè)單位

B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位

D．向右平移個(gè)單位參考答案：C7.對(duì)于函數(shù)給出下列結(jié)論：①圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；②圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱；③圖象可由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到；④圖像向左平移個(gè)單位，即得到函數(shù)的圖像。其中正確結(jié)論是(

)；

A．①③

B．②④

C．②③④

D．①②③④

參考答案：略8.設(shè)P，Q是兩個(gè)非空集合，定義集合間的一種運(yùn)算“⊙”：P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且如果Q＝{y|y＝4x，x＞0}，則P⊙Q＝()．A．[0,1]∪(4，＋∞)

B．[0,1]∪(2，＋∞)C．[1,4]

D．(4，＋∞)參考答案：C略9.設(shè)全集則下圖中陰影部分表示的集合為(

)A．B．[來(lái)C．{x|x＞0}D．參考答案：A略10.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使的值介于到1之間的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等差數(shù)列{}，滿足，前項(xiàng)和記為，則=；參考答案：145略12.中,角所對(duì)的邊分別為,,,,則_______.參考答案：略13.已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：略14.（5分）比較大?。?/p>

（在空格處填上“＜”或“＞”號(hào)）．參考答案：＜考點(diǎn)： 指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可．解答： 因?yàn)椹?.25＞﹣0.27，又y=（x是減函數(shù)，故＜，故答案為：＜點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大?。?5.已知向量，，且，則x=______．參考答案：－3【分析】根據(jù)的坐標(biāo)表示，即可得出，解出即可．【詳解】，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行向量的坐標(biāo)關(guān)系應(yīng)用。16.設(shè)是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，則

.參考答案：1略17.函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn),在冪函數(shù)圖象上，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知||=2，||=3，||與||的夾角為120°，求（1）（2）﹣（3）（2）（）（4）||參考答案：【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（1）直接由已知結(jié)合數(shù)量積公式得答案；（2）由運(yùn)算得答案；（3）展開(kāi)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，代入數(shù)量積得答案；（4）求出，開(kāi)方后得答案．【解答】解：∵||=2，||=3，||與||的夾角為120°，∴（1）=；（2）﹣=22﹣32=﹣5；（3）（2）（）==2×22+5×（﹣3）﹣3×32=﹣34；（4）||==．19.如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD上的中點(diǎn).（1）求證：EF∥平面ABD；（2）若平面BCD，求證：平面平面ACD.參考答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，在平面中找的平行線，轉(zhuǎn)化為線線平行的證明；（2）根據(jù)面面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為平面.【詳解】（1），分別是，的中點(diǎn)，；又平面，平面，平面.（2），，；平面，；又平面，平面，平面，又平面，平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的證明，難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化為線面垂直,方法：結(jié)合已知條件，選定其中一個(gè)面為垂面，在另外一個(gè)面中找垂線，不行再換另外一個(gè)面.20.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）對(duì)任意的x∈R成立，則稱函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)．（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函數(shù)；（只需寫出結(jié)論）（Ⅱ）說(shuō)明：請(qǐng)?jiān)冢╥）、（ii）問(wèn)中選擇一問(wèn)解答即可，兩問(wèn)都作答的按選擇（i）計(jì)分（i）求證：若函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，且f（x）是偶函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)；（ii）求證：若函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)；（Ⅲ）求證：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax一定是Ω函數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．【分析】（I）①利用Ω對(duì)于即可判斷出函數(shù)f（x）=x不是Ω函數(shù)．②對(duì)于g（x）=sinπx是Ω函數(shù)，令T=﹣1，對(duì)任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，可得存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函數(shù)，可得Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化為：f（x+T）=f（﹣x+T），通過(guò)換元進(jìn)而得出：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．（ii）同（i）可以證明．（III）當(dāng)a＞1時(shí)，假設(shè)函數(shù)f（x）=ax是Ω函數(shù)，則存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），可得Tax+T=ax，化為：TaT=1，即aT=，此方程有非0的實(shí)數(shù)根，即可證明．【解答】解：（I）①對(duì)于函數(shù)f（x）=x是Ω函數(shù)，假設(shè)存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），則T（x+T）=x，取x=0時(shí)，則T=0，與T≠0矛盾，因此假設(shè)不成立，即函數(shù)f（x）=x不是Ω函數(shù)．②對(duì)于g（x）=sinπx是Ω函數(shù)，令T=﹣1，則sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函數(shù)f（x）=sinπx對(duì)任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）證明：∵函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，∴存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化為：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，則x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．（ii）證明：∵函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，∴存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化為：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，則x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．（III）證明：當(dāng)a＞1時(shí)，假設(shè)函數(shù)f（x）=ax是Ω函數(shù)，則存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），∴Tax+T=ax，化為：TaTax=ax，∵ax＞0，∴TaT=1，即aT=，此方程有非0的實(shí)數(shù)根，因此T≠0且存在，∴當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax一定是Ω函數(shù)．21.計(jì)算：（1）；（2）（log32+log92）?（log43+log83）參考答案：【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值．【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可得，（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得．【解答】解：（1）原式=1+π﹣3=π﹣2，（2）原式=（log32+log32）?（log23+log23）=log32?log23=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．22.函數(shù)f（x）=ax2+2ax+1在區(qū)間[﹣3，2]上有最大值4，求實(shí)數(shù)a的值．參考答案：【分析】先從解析式中得到對(duì)稱軸，然后分開(kāi)口向上和向下兩種情況判定函數(shù)值在何時(shí)取最大值，并