第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)應(yīng)用(二)4.5.2用二分法求方程的近似解必備知識(shí)·探新知關(guān)鍵能力·攻重難課堂檢測(cè)·固雙基素養(yǎng)作業(yè)·提技能必備知識(shí)·探新知 二分法的概念對(duì)于在區(qū)間[a，b]上____________且_____________________的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．思考1：是否所有的函數(shù)都可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)？提示：不是，只有滿足函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)，且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)時(shí)，才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)．連續(xù)不斷基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1f(a)·f(b)<0 用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟(1)確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證_____________________，給定精確度ε；(2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；(3)計(jì)算f(c)：若f(c)＝_____，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；若f(a)·f(c)______0，則令b＝c[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c)]；若f(c)·f(b)______0，則令a＝c[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b)]．f(a)·f(b)＜0知識(shí)點(diǎn)20＜＜(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|______ε，則得到零點(diǎn)的近似值為a(或b)；否則重復(fù)(2)～(4)．思考2：零點(diǎn)的近似解只能是區(qū)間的端點(diǎn)a或b嗎？提示：不是，區(qū)間的端點(diǎn)可以，區(qū)間的中點(diǎn)也可以，實(shí)際上區(qū)間上的任意一個(gè)值都可以．＜1．以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是()C基礎(chǔ)自測(cè)[解析]

由二分法的定義，可知只有當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)f(b)<0，即函數(shù)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，才能將區(qū)間[a，b]一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值．對(duì)各選項(xiàng)分析可知，選項(xiàng)A，B，D都符合，而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)樵诹泓c(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值不異號(hào)，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值．2．下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)近似值的是()A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx[解析]

對(duì)于選項(xiàng)C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函數(shù)f(x)＝|x|存在零點(diǎn)，但當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函數(shù)值非負(fù)，即函數(shù)f(x)＝|x|有零點(diǎn)，但零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值不異號(hào)，所以不能用二分法求零點(diǎn)的近似值．CA4．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的變號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3[解析]

函數(shù)f(x)的圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，穿過(guò)x軸，則必存在變號(hào)零點(diǎn)，根據(jù)圖象可知，函數(shù)f(x)有3個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故選D．D5．方程3x＋m＝0的根在(－1,0)內(nèi)，則m的取值范圍為_(kāi)___________.(0,3)關(guān)鍵能力·攻重難題型一對(duì)二分法概念的理解 (1)下面關(guān)于二分法的敘述，正確的是()A．用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值B．用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位C．二分法無(wú)規(guī)律可循D．只有在求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)才用二分法B題型探究例1(2)觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點(diǎn)的是()[分析]

(1)怎樣用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)？(2)函數(shù)具有零點(diǎn)與該函數(shù)的圖象有何關(guān)系？A[解析]

(1)只有函數(shù)的圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷且在該零點(diǎn)左右的函數(shù)值異號(hào)，才可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值，故A錯(cuò)；二分法有規(guī)律可循，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)或計(jì)算器來(lái)進(jìn)行，故C錯(cuò)；求方程的近似解也可以用二分法，故D錯(cuò)．(2)由圖象可得，A中零點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的函數(shù)值符號(hào)不同，故可用二分法求零點(diǎn)．[歸納提升]

運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)需具備的兩個(gè)條件：(1)函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷；(2)在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)對(duì)于二分法求得的近似解，精確度ε說(shuō)法正確的是()A．ε越大，零點(diǎn)的精確度越高 B．ε越大，零點(diǎn)的精確度越低C．重復(fù)計(jì)算次數(shù)就是ε D．重復(fù)計(jì)算次數(shù)與ε無(wú)關(guān)(2)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是()BB[分析]

解答本題可結(jié)合二分法的概念，判斷是否具備使用二分法的條件．[解析]

(1)由精確度ε定義知，ε越大，零點(diǎn)的精確度越低．(2)利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)．在B中，不滿足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零點(diǎn)，由于A、C、D中零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故可采用二分法求零點(diǎn)． 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解(精確度為0.1)．[分析]

把方程的近似解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)的近似值．[解析]

令f(x)＝2x3＋3x－3，經(jīng)計(jì)算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)．即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)內(nèi)有解．取(0,1)的中點(diǎn)0.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)<0，又f(1)>0，題型二用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值(方程近似解)問(wèn)題例2所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)內(nèi)有解．如此繼續(xù)下去，得到方程的正實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，如表：由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一個(gè)精確度為0.1的正實(shí)數(shù)近似解可取為0.6875.[歸納提升]

(1)需依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m，n](一般采用估計(jì)值的方法完成)．(2)取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c，計(jì)算f(c)，確定有解區(qū)間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區(qū)間的“長(zhǎng)度”，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值．2．二分法求函數(shù)零點(diǎn)步驟的記憶口訣定區(qū)間，找中點(diǎn)；中值計(jì)算兩邊看，同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間．重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來(lái)把關(guān)口．A(2)用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：據(jù)此數(shù)據(jù)，可得f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)的近似值(精確度0.01)為_(kāi)____________.1.5625f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.55625)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060 現(xiàn)有12個(gè)小球，從外觀上看完全相同，除了1個(gè)小球質(zhì)量不合標(biāo)準(zhǔn)外，其余的小球質(zhì)量均相同且合標(biāo)準(zhǔn)，用同一架天平(無(wú)砝碼)，限稱(chēng)三次，把這個(gè)“壞球”找出來(lái)，并說(shuō)明此球是偏輕還是偏重．如何稱(chēng)？[解析]

先在天平左右各放4個(gè)球．有兩種情況：(1)若平，則“壞球”在剩下的4個(gè)球中．取剩下的4個(gè)球中的3個(gè)球放在天平的一端，取3個(gè)好球放在天平的另一端．題型三二分法思想的實(shí)際應(yīng)用例3①若仍平，則“壞球”為4個(gè)球中未取到的那個(gè)球，將此球與1個(gè)好球放上天平比一比，即知“壞球”是輕還是重；②若不平，則“壞球”在天平一端的3個(gè)球之中，且知是輕還是重．任取其中2個(gè)球，天平兩端各放1個(gè)，無(wú)論平還是不平，均可確定“壞球”．(2)若不平，則“壞球”在天平上的8個(gè)球中，不妨設(shè)天平右端較重．從右端4個(gè)球中取出3個(gè)球，置于一容器內(nèi)，然后從左端4個(gè)球中取3個(gè)球移到右端，再?gòu)耐饷婧们蛑腥?個(gè)補(bǔ)到左端，看天平，有三種可能．①若平，則“壞球”是容器內(nèi)3個(gè)球之一且偏重；②若左端重，“壞球”已從左端換到右端，因此，“壞球”在從左端移到右端的3個(gè)球中，并且偏輕；③若右端重，據(jù)此知“壞球”未變動(dòng)位置，而未被移動(dòng)過(guò)的球只有兩個(gè)(左右各一)，“壞球”是其中之一(暫不知是輕還是重)．雖然對(duì)于以上三種情況的任一種，再用天平稱(chēng)一次，即可找出“壞球”，且知其是輕還是重．[歸納提升]

二分法的思想除了可以用來(lái)處理生活中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，還可以處理一些不對(duì)稱(chēng)問(wèn)題．要注意二分法的思想與實(shí)際問(wèn)題之間的聯(lián)系及二分法的思想的應(yīng)用．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?某娛樂(lè)節(jié)目有一個(gè)給選手在限定時(shí)間內(nèi)猜一物品的售價(jià)的環(huán)節(jié)，某次猜一品牌手機(jī)的價(jià)格，手機(jī)價(jià)格在500～1000元，選手開(kāi)始報(bào)價(jià)1000元，主持人回答高了；緊接著報(bào)900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元