對數(shù)函數(shù)第3課時

不同函數(shù)增長的差異課標定位素養(yǎng)闡釋1.了解一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的差異.2.能夠運用不同函數(shù)增長的差異解決實際問題.3.感受數(shù)學抽象以及數(shù)學直觀的作用,提高數(shù)學建模能力.自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑思想方法隨

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自主預習·新知導學一、一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)增長的差異【問題思考】1.在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=2x,y=2x的圖象,觀察圖象思考下列問題:(1)這兩個函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內的單調性是怎樣的?提示:都是單調遞增的.(2)當x趨于無窮大時,在這兩個函數(shù)中,哪一個函數(shù)的增長速度快?哪一個慢?提示:函數(shù)y=2x增長速度快,函數(shù)y=2x增長速度慢.2.填空:一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長速度不同,即使k的值遠大于a的值,y=ax(a>1)的增長速度最終會大大超過

y=kx(k>0)的增長速度.二、一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)增長的差異【問題思考】1.在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=2x,y=log2x的圖象,觀察圖象思考下列問題:(1)這兩個函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內的單調性是怎樣的?提示:都是單調遞增的.(2)當x趨于無窮大時,在這兩個函數(shù)中,哪一個函數(shù)的增長速度快?哪一個慢?提示:函數(shù)y=2x增長速度快,函數(shù)y=log2x增長速度慢.2.填空:一般地,雖然對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)在區(qū)間(0,+∞)內都單調遞增,但它們的增長速度不同.隨著x的增大,一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長速度,而對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度越來越慢.不論a的值比k的值大多少,在一定范圍內,logax可能會大于kx,但由于logax的增長慢于kx的增長,因此總存在一個x0,當x>x0時,恒有l(wèi)ogax<kx.解析:指數(shù)函數(shù)的增長速度最快,故選C.答案:C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.(1)函數(shù)y=x2比y=2x增長的速度更快些.(×)(2)當a>1,k>0時,在區(qū)間(0,+∞)內,對任意的x,總有l(wèi)ogax<kx<ax成立.(×)(3)函數(shù)

減小的速度越來越慢.(√)(4)在指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)中,底數(shù)a越大,其增長速度越快.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

不同函數(shù)的增長特點及其應用【例1】

下列函數(shù)中,增長速度最快的是(

)A.y=2019x B.y=2019xC.y=log2019x D.y=2018x解析:在一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)中增長速度最快的是指數(shù)函數(shù),又因為2

019>2

018,所以y=2

019x比y=2

018x的增長速度更快,因此選B.答案:B反思感悟常見函數(shù)模型的增長特點(1)線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升,其增長速度不變;(2)指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快,形象地稱為“指數(shù)爆炸”;(3)對數(shù)函數(shù)模型y=logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩;(4)冪函數(shù)模型y=xn(n>0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間.探究二

函數(shù)模型的選擇【例2】

某大型超市為了滿足顧客對商品的購物需求,對超市的商品種類做了一定的調整,結果調整初期的利潤增長迅速,隨著時間的推移,增長速度越來越慢.如果建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該超市調整后利潤y與售出商品的數(shù)量x的關系,那么可選用(

)A.一次函數(shù) B.二次函數(shù)C.指數(shù)型函數(shù) D.對數(shù)型函數(shù)解析:在四個函數(shù)中,選項A的增長速度不變,選項B,C的增長速度越來越快,其中選項C的增長速度比選項B的增長速度更快,選項D的增長速度越來越慢,故只有選項D能正確反映y與x的關系.答案:D反思感悟根據(jù)實際問題提供的兩個變量的數(shù)量關系可構建和選擇正確的函數(shù)模型.同時,要注意利用函數(shù)圖象的直觀性來確定適合題意的函數(shù)模型.【變式訓練1】

四個變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表:關于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是

.

解析:以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化.從表格中可以看出,四個變量y1,y2,y3,y4均是從2開始變化,且都是越來越大,但是增長速度不同,其中變量y2的增長速度最快,可知變量y2關于x呈指數(shù)函數(shù)變化.答案:y2探究三

函數(shù)不同增長特點在實際問題中的應用【例3】

某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,最近幾年以來,該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長.記2015年為第1年,且前4年中,第x年與年產(chǎn)量f(x)(單位:萬件)之間的關系如下表所示:(1)找出你認為最適合的函數(shù)模型,并說明理由,然后選取表中你認為最適合的數(shù)據(jù)并求出相應的解析式;(2)因遭受某國對該產(chǎn)品進行反傾銷的影響,2020年的年產(chǎn)量比預計減少30%,試根據(jù)所建立的函數(shù)模型,確定2020年的年產(chǎn)量.反思感悟1.此類問題求解的關鍵是利用待定系數(shù)法求出相關的函數(shù)模型,也就是借助數(shù)據(jù)信息,得到相關方程,進而求出待定參數(shù).2.函數(shù)模型的選擇與數(shù)據(jù)的擬合是數(shù)學建模中最核心的內容,解題的關鍵在于通過對已知數(shù)據(jù)的分析,得出重要信息,根據(jù)解題積累的經(jīng)驗,從已有的各類型函數(shù)中選擇模擬,進行數(shù)據(jù)的擬合.【變式訓練2】

某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP在0.5千美元~8千美元的地區(qū)銷售該公司A飲料的情況調查時發(fā)現(xiàn):該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷售量最多,然后向兩邊遞減.(1)給出以下幾個模擬函數(shù):①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,單位:千美元,y表示年人均A飲料的銷售量,單位:L).用哪個模擬函數(shù)來描述人均A飲料銷售量與地區(qū)的人均GDP關系更合適?說明理由.(2)若人均GDP為1千美元時,年人均A飲料的銷售量為2L,人均GDP為4千美元時,年人均A飲料的銷售量為5L,把(1)中你所選的模擬函數(shù)求出來,并求出年人均A飲料的銷售量最多是多少?解:(1)用①來模擬比較合適.因為該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷售量最多,然后向兩邊遞減.而②,③,④表示的函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù),所以②,③,④都不合適,故用①來模擬比較合適.思想方法數(shù)形結合在函數(shù)增長差異中的應用【典例】

已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖所示,設這兩個函數(shù)的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應的函數(shù);(2)比較f(6),g(6),f(2019),g(2019)的大小.審題視角:(1)觀察曲線的增長特點,對照指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特點確定曲線對應的函數(shù);(2)結合題中函數(shù)的圖象,確定6,2019與x1,x2的大小關系,根據(jù)函數(shù)的增長特點比較這四個函數(shù)值的大小.解:(1)從題中圖象可以看出,當x越來越大時,曲線C2對應的函數(shù)比曲線C1對應的函數(shù)增長得更快,因此C1對應的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應的函數(shù)為f(x)=2x.(2)因為f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,因此x1<6<x2,2019>x2.從題中圖象上可以看出,當x1<x<x2時,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6);當x>x2時,f(x)>g(x),所以f(2019)>g(2019).又g(2019)>g(6),故f(2019)>g(2019)>g(6)>f(6).方法點睛1.函數(shù)值的大小關系以及函數(shù)的增長特點都可以通過函數(shù)的圖象直觀地顯現(xiàn)出來,因此通過數(shù)形結合可以直觀地解決函數(shù)值的大小比較問題.2.函數(shù)在它們圖象交點處的函數(shù)值相等,在兩個交點之間,圖象的高低表示了函數(shù)值的大小.隨

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習1.下列函數(shù)中,隨x的增長而增長,最快的是(

)A.y=2x B.y=lnxC.y=x2 D.y=ex解析:因為y=ex和y=2x同為指數(shù)函數(shù),且e>2,所以y=ex的增長速度最快.答案:D2.下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù),由此判斷它最可能的函數(shù)模型是(

)A.一次函數(shù) B.二次函數(shù)C.指數(shù)函數(shù) D.對數(shù)函數(shù)解析:自變量每增加1,函數(shù)值增加2,函數(shù)值的增量是不變的,故為一次函數(shù)模型.答案:A3.能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值區(qū)間是(

)A.(0,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(4,+∞)解析:畫出y1=log2x,y2=x2,y3=2x的圖象(圖略),由圖象可知當x>4時,log2x<x2<2x,故選D.答案:D4.某企業(yè)為了實現(xiàn)60萬元的利潤目標,準備制定一個獎勵方案:在利潤達到5萬元時,按利潤進行獎勵,且資金y(單位:萬元)隨利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但資金總數(shù)不超過3萬元,同時獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個獎勵模型:y=0.2x,