/16/16/第1課時(shí)條件概率三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由三名同學(xué)無放回地抽?。畣栴}1：三名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率相等嗎？提示：相等．問題2：求第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率．提示：用A表示事件“第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，則P(A)＝eq\f(2,3).問題3：求最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率．提示：用B表示事件“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，則P(B)＝eq\f(1,3).問題4：如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是多少？提示：用C表示事件“在第一名同學(xué)沒有中獎(jiǎng)的前提下，最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”．事件C可以理解為還有兩張獎(jiǎng)券，其中一張能中獎(jiǎng)，則P(C)＝eq\f(1,2).1．條件概率的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)事件A和B，在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率，記為P(A|B)．2．條件概率的計(jì)算公式(1)一般地，若P(B)>0，則事件B已發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率是P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)．(2)利用條件概率，我們有P(AB)＝P(A|B)P(B)．1．由條件概率的定義可知，P(A|B)與P(B|A)是不同的；另外，在事件B發(fā)生的前提下，事件A發(fā)生的可能性大小不一定是P(A)，即P(A|B)與P(A)不一定相等．2．在條件概率的定義中，要強(qiáng)調(diào)P(B)>0.3．P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)可變形為P(AB)＝P(A|B)P(B)，即只要知道其中兩個(gè)值就可以求得第三個(gè)值．[例1]拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，設(shè)事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)當(dāng)藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí)，兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為多少？[思路點(diǎn)撥]根據(jù)古典概型的概率公式及條件概率公式求解．[精解詳析](1)設(shè)x表示拋擲紅色骰子所得到的點(diǎn)數(shù)，用y表示拋擲藍(lán)色骰子所得到的點(diǎn)數(shù)，則試驗(yàn)的基本事件總數(shù)的全集Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}，如圖所示，由古典概型計(jì)算公式可知：P(A)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)，P(AB)＝eq\f(5,36).(2)P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(5,36),\f(1,3))＝eq\f(5,12).[一點(diǎn)通]利用P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)求條件概率的一般步驟：(1)計(jì)算P(B)；(2)計(jì)算P(AB)(A，B同時(shí)發(fā)生的概率)；(3)利用公式P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)計(jì)算．其中(1)(2)可利用古典概型等有關(guān)計(jì)算概率的方法求解．1．袋中有5個(gè)小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是________．解析：記事件A為“第一次取到白球”，事件B為“第二次取到白球”，則事件AB為“兩次都取到白球”，依題意知P(A)＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,4)＝eq\f(3,10)，所以在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是P(B|A)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩，假定生男、生女是等可能的．已知這個(gè)家庭有一個(gè)是女孩，問另一個(gè)小孩是男孩的概率是多少？解：一個(gè)家庭的兩個(gè)小孩只有4種可能：{兩個(gè)都是男孩}，{第一個(gè)是男孩，第二個(gè)是女孩}，{第一個(gè)是女孩，第二個(gè)是男孩}，{兩個(gè)都是女孩}．由題意知這4個(gè)事件是等可能的，A＝“其中一個(gè)女孩”，B＝“其中一個(gè)男孩”，則A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}．∴P(AB)＝eq\f(2,4)，P(A)＝eq\f(3,4).∴P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(2,4),\f(3,4))＝eq\f(2,3).3．現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)語(yǔ)言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目，求(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．解：設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB.(1)從6個(gè)節(jié)目中不放回地依次抽取2個(gè)的事件數(shù)為Aeq\o\al(2,6)＝30，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理第1次抽到舞蹈節(jié)目的事件數(shù)為Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).(2)因?yàn)榈?次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的事件數(shù)為Aeq\o\al(2,4)＝12，于是P(AB)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).[例2]有外形相同的球分裝三個(gè)盒子，每盒10個(gè)．其中，第一個(gè)盒子中有7個(gè)球標(biāo)有字母A，3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中則有紅球8個(gè)，白球2個(gè)．試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一個(gè)球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個(gè)盒子中任取一個(gè)球，若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個(gè)盒子中任取一個(gè)球．如果第二次取出的是紅球，則稱試驗(yàn)為成功．求試驗(yàn)成功的概率．[思路點(diǎn)撥]eq\x(\a\al(設(shè)出基本,事件))→eq\x(\a\al(求相應(yīng)事,件概率))→eq\x(\a\al(求試驗(yàn)成,功的概率))[精解詳析]設(shè)A＝{從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母A的球}，B＝{從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母B的球}，R＝{第二次取出的球是紅球}，W＝{第二次取出的球是白球}，則容易求得P(A)＝eq\f(7,10)，P(B)＝eq\f(3,10)，P(R|A)＝eq\f(1,2)，P(W|A)＝eq\f(1,2)，P(R|B)＝eq\f(4,5)，P(W|B)＝eq\f(1,5).事件“試驗(yàn)成功”表示為RA＋RB，又事件RA與事件RB互斥，故由概率的加法公式，得P(RA＋RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(7,10)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,10)＝0.59.[一點(diǎn)通]為了求得比較復(fù)雜事件的概率．往往可以先把它分解成兩個(gè)(或若干個(gè))互斥的較簡(jiǎn)單事件之和，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率．4．高二某班共有60名學(xué)生，其中女生有20名，三好學(xué)生占eq\f(1,6)，而且三好學(xué)生中女生占一半．現(xiàn)在從該班同學(xué)中任選一名參加某一座談會(huì)．則在已知沒有選上女生的條件下，選上的是三好學(xué)生的概率為________．解析：設(shè)事件A表示“任選一名同學(xué)是男生”；事件B為“任取一名同學(xué)為三好學(xué)生”，則所求概率為P(B|A)．依題意得P(A)＝eq\f(40,60)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(5,60)＝eq\f(1,12).故P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,12),\f(2,3))＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)5．在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)地抽出6道題，若考生至少能答對(duì)其中的4道題即可通過；若至少能答對(duì)其中5道題就獲得優(yōu)秀，已知某考生能答對(duì)其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過，求他獲得優(yōu)秀成績(jī)的概率．解：設(shè)事件A為“該考生6道題全答對(duì)”，事件B為“該考生答對(duì)了其中5道題，另一道答錯(cuò)”，事件C為“該考生答對(duì)了其中4道題，而另2道題答錯(cuò)”，事件D為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生考試中獲得優(yōu)秀”，則A，B，C兩兩互斥，且D＝A＋B＋C，E＝A＋B.由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(6,10),Ceq\o\al(6,20))＋eq\f(Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(1,10),Ceq\o\al(6,20))＋eq\f(Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,10),Ceq\o\al(6,20))，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)．eq\f(P（A）,P（D）)＋eq\f(P（B）,P（D）)＝eq\f(\f(210,Ceq\o\al(6,20)),\f(12180,Ceq\o\al(6,20)))＋eq\f(\f(2520,Ceq\o\al(6,20)),\f(12180,Ceq\o\al(6,20)))＝eq\f(13,58).故所求的概率為eq\f(13,58).1．P(A|B)表示事件A在“事件B已發(fā)生”這個(gè)附加條件下的概率，與沒有這個(gè)附加條件的概率是不同的．也就是說，條件概率是在原隨機(jī)試驗(yàn)的條件上再加上一定的條件，求另一事件在此“新條件”下發(fā)生的概率．2．若事件A，C互斥，則P[(A＋C)|B]＝P(A|B)＋P(C|B)．課下能力提升(十二)一、填空題1．已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(3,5)，則P(A|B)＝________．解析：P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率為________．解析：設(shè)事件A為“第一次取到不合格品”，事件B為“第二次取到不合格品”，則P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,100))，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(5×4,100×99),\f(5,100))＝eq\f(4,99).答案：eq\f(4,99)3．把一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，已知在第一次拋出的是偶數(shù)點(diǎn)的情況下，第二次拋出的也是偶數(shù)點(diǎn)的概率為________．解析：“第一次拋出偶數(shù)點(diǎn)”記為事件A，“第二次拋出偶數(shù)點(diǎn)”記為事件B，則P(A)＝eq\f(3×6,6×6)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4).所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4．甲、乙、丙三人到三個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A＝“三個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，B＝“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則概率P(A|B)等于________．解析：由題意知，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·22,3×3×3)＝eq\f(4,9)，P(AB)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3),3×3×3)＝eq\f(2,9).∴P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(\f(2,9),\f(4,9))＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)5．設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，則它能活到25歲的概率是________．解析：設(shè)動(dòng)物活到20歲的事件為A，活到25歲的事件為B，則P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，由AB＝B，所以P(AB)＝P(B)．所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(P（B）,P（A）)＝eq\f(0.4,0.8)＝0.5.答案：0.5二、解答題6．某個(gè)班級(jí)有學(xué)生40人，其中有共青團(tuán)員15人，全班分成四個(gè)小組，第一小組有學(xué)生10人，其中共青團(tuán)員4人，如果要在班里任選一人當(dāng)學(xué)生代表，那么這個(gè)代表恰好在第一小組里的概率是多少？現(xiàn)在要在班級(jí)任選一個(gè)共青團(tuán)員當(dāng)團(tuán)員代表，問這個(gè)代表恰好在第一小組的概率是多少？解：設(shè)A＝{在班里任選一個(gè)學(xué)生，該學(xué)生屬于第一小組}，B＝{在班里任選一個(gè)學(xué)生，該學(xué)生是共青團(tuán)員}，P(A)＝eq\f(10,40)＝eq\f(1,4)，即這個(gè)代表恰好在第一小組里的概率是eq\f(1,4).P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(\f(4,40),\f(15,40))＝eq\f(4,15)，即這個(gè)團(tuán)員代表恰好在第一小組的概率為eq\f(4,15).7．任意向x軸上(0，1)這一區(qū)間內(nèi)投擲一個(gè)點(diǎn)，問(1)該點(diǎn)落在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)的概率是多少；(2)在(1)的條件下，求該點(diǎn)落在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))內(nèi)的概率．解：由題意可知，任意向(0，1)這一區(qū)間內(nèi)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在(0，1)內(nèi)哪個(gè)位置是等可能的．令A(yù)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(1,2)))，由幾何概型的計(jì)算公式可知．(1)P(A)＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2).(2)令B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<x<1))，則AB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<x<\f(1,2)))，故在A的條件下B發(fā)生的概率為P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).8．某班從6名班干部(其中男生4人，女生2人)中選3人參加學(xué)校的義務(wù)勞動(dòng)，在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率．解：記“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B.P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，P(BA)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(B|A)＝eq\f(P（BA）,P（A）)＝eq\f(2,5)，即在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為eq\f(2,5).第2課時(shí)事件的獨(dú)立性有這樣一項(xiàng)活動(dòng)：甲箱里裝有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙箱里裝有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從這兩個(gè)箱子里分別摸出1個(gè)球，記事件A＝“從甲箱里摸出白球”，B＝“從乙箱里摸出白球”．問題1：事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎？提示：不影響．問題2：試求P(A)，P(B)．提示：P(A)＝eq\f(3,5)，P(B)＝eq\f(1,2).問題3：P(A|B)與P(A)相等嗎？提示：相等．問題4：P(AB)為何值？提示：∵P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝P(A)，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10).事件的獨(dú)立性概念一般地，若事件A，B滿足P(A|B)＝P(A)，則稱事件A，B獨(dú)立性質(zhì)(1)若A，B獨(dú)立，且P(A)>0，則B，A也獨(dú)立，即A與B相互獨(dú)立(2)約定任何事件與必然事件獨(dú)立，任何事件與不可能事件獨(dú)立，則兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立的充要條件是P(AB)＝P(A)P(B)概率計(jì)算公式若事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率之積，即P(AB)＝P(A)P(B).推廣：若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)…P(An)結(jié)論如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與B，A與B，A與B也都相互獨(dú)立.1．事件A與B相互獨(dú)立就是事件A(或B)是否發(fā)生不影響事件B(或A)發(fā)生的概率．2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)，這就是說，兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積．[例1]容器中盛有5個(gè)白球和3個(gè)黃球．(1)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”這兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立？為什么？(2)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“把取出的1個(gè)白球放回容器，再?gòu)娜萜髦腥我馊〕?個(gè)，取出的是黃球”這兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立？為什么？[思路點(diǎn)撥]從相互獨(dú)立事件的定義入手判斷．[精解詳析](1)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”的概率為eq\f(5,8)，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的仍是白球”的概率為eq\f(4,7)；若前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為eq\f(5,7).可見，前一事件是否發(fā)生，對(duì)后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨(dú)立事件．(2)由于把取出的白球放回容器，故對(duì)“從中任意取出1個(gè)，取出的是黃球”的概率沒有影響，所以二者是相互獨(dú)立事件．[一點(diǎn)通]解決此類問題常用的兩種方法：(1)定量計(jì)算法：利用相互獨(dú)立事件的定義(即P(AB)＝P(A)P(B))可以準(zhǔn)確地判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立．(2)定性判斷法：看一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生是否有影響．沒有影響就是相互獨(dú)立事件；有影響就不是相互獨(dú)立事件．1．同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，A＝{第一顆骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}，B＝{第二顆骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}，判斷事件A，B是否相互獨(dú)立．解：同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則A＝{第一顆骰子出現(xiàn)1，3，5點(diǎn)}，共有3種結(jié)果．B＝{第二顆骰子出現(xiàn)2，4，6點(diǎn)}，共有3種結(jié)果．AB＝{第一顆骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，第二顆骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}，共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)＝9種結(jié)果．由于每種結(jié)果的出現(xiàn)均是等可能的，由古典概型的有關(guān)知識(shí)可知P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,6))＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).∴P(AB)＝P(A)·P(B)，即事件A、事件B相互獨(dú)立．2．分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)A是事件“第1枚為正面”，B是事件“第2枚為正面”，C是事件“2枚結(jié)果相同”，問：A，B，C中哪兩個(gè)相互獨(dú)立？解：P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(BC)＝0.25，P(AC)＝0.25，可以驗(yàn)證：P(AB)＝P(A)P(B)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(AC)＝P(A)P(C)．∴事件A與B相互獨(dú)立，事件B與C相互獨(dú)立，事件A與C相互獨(dú)立．[例2]制造一種零件，甲機(jī)床的正品率為0.90，乙機(jī)床的正品率為0.80，分別從它們制造的產(chǎn)品中任意抽取一件．(1)兩件都是正品的概率；(2)兩件都是次品的概率；(3)恰有一件正品的概率．[思路點(diǎn)撥]兩件都是正品(次品)的概率，就是正品(次品)的概率相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件．[精解詳析]記“從甲機(jī)床抽到正品”為事件A，“從乙機(jī)床抽到正品”為事件B，“抽取的兩件產(chǎn)品中恰有一件正品”為事件C，由題意知A，B是相互獨(dú)立事件．(1)P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.90×0.80＝0.72；(2)P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.10×0.20＝0.02；(3)P(C)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)＝0.90×0.20＋0.10×0.80＝0.26.[一點(diǎn)通]解決此類問題要明確互斥事件和相互獨(dú)立事件的意義．若A，B相互獨(dú)立，是A與B，A與B，A與B也是相互獨(dú)立的．3．甲射擊命中目標(biāo)的概率為eq\f(3,4)，乙射擊命中目標(biāo)的概率為eq\f(2,3)，當(dāng)兩人同時(shí)射擊同一目標(biāo)時(shí)，該目標(biāo)被擊中的概率為________．解析：P＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(11,12).答案：eq\f(11,12)4．在一次班委干部的選任中，甲、乙、丙三名同學(xué)被選上的概率分別為P(甲)＝0.8，P(乙)＝0.6，P(丙)＝0.5，且知三人在選舉中互不影響，則三人都被選上的概率為________，三人中至少有一人被選上的概率為________．解析：三人都被選上的概率為P1＝P(甲)·P(乙)·P(丙)＝0.8×0.6×0.5＝0.24.三人中至少有一人被選中的概率為P2＝1－(1－P(甲))·(1－P(乙))·(1－P(丙))＝1－0.2×0.4×0.5＝1－0.04＝0.96.答案：0.240.965．一個(gè)袋子中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，每次從中任取2個(gè)球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2個(gè)球都是白球，第2次取出的2個(gè)球都是紅球的概率；(2)第1次取出的2個(gè)球1個(gè)是白球、1個(gè)是紅球，第2次取出的2個(gè)球都是白球的概率．解：記：“第1次取出的2個(gè)球都是白球”的事件為A，“第2次取出的2個(gè)球都是紅球”的事件為B，“第1次取出的2個(gè)球1個(gè)是白球、1個(gè)是紅球”的事件為C，很明顯，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互獨(dú)立事件．(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))·eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)·eq\f(1,10)＝eq\f(3,100).故第1次取出的2個(gè)球都是白球，第2次取出的2個(gè)球都是紅球的概率是eq\f(3,100).(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))·eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)·eq\f(3,10)＝eq\f(9,50).故第1次取出的2個(gè)球1個(gè)是白球、1個(gè)是紅球，第2次取出的2個(gè)球都是白球的概率是eq\f(9,50).[例3]某單位有三輛汽車參加某種事故保險(xiǎn)，單位年初向保險(xiǎn)公司繳納每輛900元的保險(xiǎn)金，對(duì)在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的每輛汽車，單位可獲9000元的賠償(假設(shè)每輛車最多只賠償一次)．設(shè)這三輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為eq\f(1,9)，eq\f(1,10)，eq\f(1,11)，且各車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立，求一年內(nèi)該單位在此保險(xiǎn)中：(1)獲賠的概率；(2)獲賠金額X的概率分布．[思路點(diǎn)撥](1)利用對(duì)應(yīng)條件去求獲賠的概率；(2)分析X的所有取值，寫出概率分布．[精解詳析]設(shè)Ak表示第k輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故，k＝1，2，3，由題意知A1，A2，A3獨(dú)立，且P(A1)＝eq\f(1,9)，P(A2)＝eq\f(1,10)，P(A3)＝eq\f(1,11).∴P(A1)＝eq\f(8,9)，P(eq\o(A,\s\up6(－))2)＝eq\f(9,10)，P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＝eq\f(10,11)，(1)該單位一年內(nèi)獲賠的概率為1－P(eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2eq\o(A,\s\up6(－))3)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＝1－eq\f(8,9)×eq\f(9,10)×eq\f(10,11)＝eq\f(3,11).(2)X的所有可能值為0，9000，18000，27000.P(X＝0)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2eq\o(A,\s\up6(－))3)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＝eq\f(8,9)×eq\f(9,10)×eq\f(10,11)＝eq\f(8,11)，P(X＝9000)＝P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2A3)＝P(A1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(A2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(A3)＝eq\f(1,9)×eq\f(9,10)×eq\f(10,11)＋eq\f(8,9)×eq\f(1,10)×eq\f(10,11)＋eq\f(8,9)×eq\f(9,10)×eq\f(1,11)＝eq\f(242,990)＝eq\f(11,45)，P(X＝18000)＝P(A1A2eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2A3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(A1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(A3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(A2)P(A3)＝eq\f(1,9)×eq\f(1,10)×eq\f(10,11)＋eq\f(1,9)×eq\f(9,10)×eq\f(1,11)＋eq\f(8,9)×eq\f(1,10)×eq\f(1,11)＝eq\f(27,990)＝eq\f(3,110).P(X＝27000)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝eq\f(1,9)×eq\f(1,10)×eq\f(1,11)＝eq\f(1,990).綜上知，X的概率分布為X090001800027000Peq\f(8,11)eq\f(11,45)eq\f(3,110)eq\f(1,990)[一點(diǎn)通]解決此類問題要明確事件中關(guān)鍵詞的意義，將事件合理分析：已知兩個(gè)事件A，B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，則A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A＋B；A，B都發(fā)生的事件為AB；A，B都不發(fā)生的事件為A－B－；A，B恰有一個(gè)發(fā)生的事件為AB－＋A－B；A，B中至多有一個(gè)發(fā)生的事件為AB－＋A－B＋A－B－.6．2014年3月30日，深圳迎來今年首場(chǎng)強(qiáng)降雨．天氣預(yù)報(bào)提示在未來24小時(shí)，深圳A，B兩地區(qū)有強(qiáng)降雨的概率分別為eq\f(5,6)，eq\f(2,5).則A，B兩地在未來24小時(shí)至少有一處有強(qiáng)降雨的概率為________．(假設(shè)A，B兩地距離較遠(yuǎn)，是否降雨相互獨(dú)立)解析：轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件求解：P＝1－eq\f(1,6)×eq\f(3,5)＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).答案：eq\f(9,10)7．某校田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動(dòng)員，根據(jù)平時(shí)的訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)，甲、乙、丙三人100m跑(互不影響)的成績(jī)?cè)?3s內(nèi)(稱為合格)的概率分別是eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3).如果對(duì)這三名短跑運(yùn)動(dòng)員的100m跑成績(jī)進(jìn)行一次檢測(cè)；(1)三人都合格的概率與三人都不合格的概率分別是多少？(2)出現(xiàn)恰有幾人合格的概率最大？解：設(shè)“甲、乙、丙三人100m跑合格”分別為事件A，B，C，顯然A，B，C相互獨(dú)立，P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3)，所以P(A)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，P(B)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，P(C)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).設(shè)恰有k人合格的概率為Pk(k＝0，1，2，3)．(1)三人都合格的概率為P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).三人都不合格的概率為P0＝P(A－B－C－)＝P(A－)P(B－)P(C－)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,10).所以三人都合格的概率與三人都不合格的概率都是eq\f(1,10).(2)因?yàn)锳BC－，AB－C，A－BC兩兩互斥，所以恰有兩人合格的概率為P2＝P(ABC－＋AB－C＋A－BC)＝P(ABC－)＋P(AB－C)＋P(A－BC)＝P(A)P(B)P(C－)＋P(A)P(B－)P(C)＋P(A－)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60).恰有一人合格的概率為P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq\f(1,10)－eq\f(23,60)－eq\f(1,10)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12).由(1)(2)知P0，P1，P2，P3中P1最大，所以出現(xiàn)恰有一人合格的概率最大．相互獨(dú)立事件常與互斥事件、對(duì)立事件綜合考查，解決此類問題的一般步驟：(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示；(2)理清事件之間的關(guān)系(互斥、對(duì)立、相互獨(dú)立)，列出關(guān)系式；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算；(4)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．課下能力提升(十三)一、填空題1．壇子中放有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中進(jìn)行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1和A2是________事件．解析：由題意知，A1是否發(fā)生，對(duì)A2發(fā)生的概率沒有影響，所以A1和A2是相互獨(dú)立事件．答案：相互獨(dú)立2．有一批書共100本，其中文科書40本，理科書60本，按裝潢可分精裝、平裝兩種，精裝書70本，某人從這100本書中任取一書，恰是文科書，放回后再任取1本，恰是精裝書，這一事件的概率是________．解析：設(shè)“任取一書是文科書”的事件為A，“任取一書是精裝書”的事件為B，則A，B是相互獨(dú)立的事件，所求概率為P(AB)．據(jù)題意可知P(A)＝eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(70,100)＝eq\f(7,10)，故P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(2,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(7,25).答案：eq\f(7,25)3．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為________．解析：?jiǎn)栴}等價(jià)為兩類：第一類，第一局甲贏，其概率P1＝eq\f(1,2)；第二類，需比賽2局，第一局甲負(fù)，第二局甲贏，其概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故甲隊(duì)獲得冠軍的概率為P1＋P2＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)4．甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一個(gè)被錄取的概率為________．解析：P＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.答案：0.885．一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于n2，則算過關(guān)，那么，連過前兩關(guān)的概率是________．解析：設(shè)過第一關(guān)為事件A，當(dāng)拋擲一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2，3，4，5，6點(diǎn)中之一時(shí)，通過第一關(guān)，所以P(A)＝eq\f(5,6).設(shè)過第二關(guān)為事件B，記兩次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為(x，y)，共有36種情況，第二關(guān)不能過有如下6種情況(1，1)，(1，2)