年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編之十三二次函數(shù)選擇題10．（2023安徽）（4分）如圖，和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，它們的邊，在同一條直線上，點(diǎn)，重合．現(xiàn)將在直線向右移動(dòng)，直至點(diǎn)與重合時(shí)停止移動(dòng)．在此過(guò)程中，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的距離為，兩個(gè)三角形重疊部分的面積為，則隨變化的函數(shù)圖象大致為A． B． C． D．【解答】解：如圖1所示：當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于．和均為等邊三角形，為等邊三角形．，．當(dāng)時(shí)，，且拋物線的開(kāi)口向上．如圖2所示：時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于．，函數(shù)圖象為拋物線的一部分，且拋物線開(kāi)口向上．故選：．10.（2023福建）已知，是拋物線上的點(diǎn)，下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C10．（2023陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y軸向下平移3個(gè)單位．則平移后得到的拋物線的頂點(diǎn)一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x﹣）2+m﹣，∴該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，m﹣），∴將其沿y軸向下平移3個(gè)單位后得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，m﹣﹣3），∵m＞1，∴m﹣1＞0，∴＞0，∵m﹣﹣3＝＝＝﹣﹣1＜0，∴點(diǎn)（，m﹣﹣3）在第四象限；故選：D．6．（2023哈爾濱）（3分）將拋物線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線為A． B． C． D．【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將拋物線向上平移3個(gè)單位所得拋物線的解析式為：；由“左加右減”的原則可知，將拋物線向右平移5個(gè)單位所得拋物線的解析式為：；故選：．8．(2023杭州)（3分）設(shè)函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是實(shí)數(shù)，a≠0），當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝8時(shí)，y＝8，（）A．若h＝4，則a＜0 B．若h＝5，則a＞0 C．若h＝6，則a＜0 D．若h＝7，則a＞0解：當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝8時(shí)，y＝8；代入函數(shù)式得：1=a(1??)∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，當(dāng)h＝4，則a＝1，故A錯(cuò)誤；當(dāng)h＝5，則a＝﹣1，故B錯(cuò)誤；當(dāng)h＝6，則a=?13，故當(dāng)h＝7，則a=?15，故選：C．10．(2023杭州)（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正實(shí)數(shù)，且滿足b2＝ac．設(shè)函數(shù)y1，y2，y3的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，則M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，則M3＝0 C．若M1＝0，M2＝2，則M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，則M3＝0解：選項(xiàng)B正確．理由：∵M(jìn)1＝1，M2＝0，∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，∵a，b，c是正實(shí)數(shù)，∴a＝2，∵b2＝ac，∴c=12b在二次函數(shù)y3＝x2+cx+4中，則有△＝c2﹣16=14b2﹣16=14∴M3＝0，∴選項(xiàng)B正確，故選：B．12．(2023天津)已知拋物線（，，是常數(shù)，）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其對(duì)稱軸是直線．有下列結(jié)論：①②關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；③．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．答案:C15.（2023河北）如圖，現(xiàn)要在拋物線上找點(diǎn)，針對(duì)的不同取值，所找點(diǎn)的個(gè)數(shù)，三人的說(shuō)法如下，甲：若，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；乙：若，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；丙：若，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．下列判斷正確的是（）A.乙錯(cuò)，丙對(duì) B.甲和乙都錯(cuò)C.乙對(duì)，丙錯(cuò) D.甲錯(cuò)，丙對(duì)【答案】C【詳解】當(dāng)b=5時(shí)，令x（4-x）=5，整理得：x2-4x＋5=0，△=(-4)2-4×5=-6<0，因此點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為0，甲的說(shuō)法正確；

當(dāng)b=4時(shí)，令x（4-x）=4，整理得：x2-4x+4=0，△=(-4)2-4×4=0，因此點(diǎn)P有1個(gè)，乙的說(shuō)法正確；

當(dāng)b=3時(shí)，令x（4-x）=3，整理得：x2-4x+3=0，△=(-4)2-4×3=4>0，因此點(diǎn)P有2個(gè)，丙的說(shuō)法不正確；

故選：C．6.（2023江西）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，連接，將向右上方平移，得到，且點(diǎn)，落在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)落在拋物線上，則直線的表達(dá)式為（）A．B．C．D．【解析】將拋物線配方可得，∴對(duì)稱軸為直線，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，∴B（3,0）與軸交點(diǎn)，∴OA=3，OB=4根據(jù)平移的規(guī)律可得且，∴，代入拋物線可得，直線AB的解析式為，根據(jù)∥可得直線的解析式為，再將代入可得，∴直線的解析式為，故選B11（2023四川綿陽(yáng)）三孔橋橫截面的三個(gè)孔都是呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同。當(dāng)水面剛好淹沒(méi)小孔時(shí)，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當(dāng)水位下降，大孔水面寬度為14米時(shí)，單個(gè)小孔的水面寬度為4米。若大孔水面寬度為20米，則單個(gè)小孔的水面寬度為（）.米B.米C.米D.7米【解析】答案：B.解：以大孔的對(duì)稱軸為軸，以剛好淹沒(méi)時(shí)水面高度為軸建立平面直角坐標(biāo)系。如圖：則A(5,0),G(0,1.5),所以大孔所在拋物線的解析式可求得為：，設(shè)小孔所在拋物線為。當(dāng)大孔大孔水面寬度為14米時(shí)，如圖C點(diǎn)的橫坐標(biāo)是7，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（7，），此時(shí)F、H點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：。代入中，得到：，由此時(shí)水面寬度為4米，得：，解得,(舍去）.∴。當(dāng)大孔水面寬度為20米時(shí)，即H點(diǎn)坐標(biāo)為：（10，）。所以有：。此時(shí)有：。此時(shí)小孔水面寬度為：。故選B.10.（2023貴陽(yáng)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn)，關(guān)于的方程有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是3．則關(guān)于的方程有兩個(gè)整數(shù)根，這兩個(gè)整數(shù)根是（）A.或0 B.或2 C.或3 D.或4【答案】B【詳解】二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根是﹣3和1，可以看成二次函數(shù)y的圖象沿著y軸平移m個(gè)單位,得到一個(gè)根3，由1到3移動(dòng)2個(gè)單位，可得另一個(gè)根為﹣5.由于0＜n＜m，可知方程的兩根范圍在﹣5~﹣3和1~3，由此判斷B符合該范圍．故選B．10．（2023貴州黔西南）（4分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交y軸于點(diǎn)A，交過(guò)點(diǎn)A且平行于x軸的直線于另一點(diǎn)B，交x軸于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D右邊），對(duì)稱軸為直線x=52，連接AC，AD，BC．若點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段A．點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，4） B．AB＝AD C．a(chǎn)=?16 D．OC?解：∵拋物線y＝ax2+bx+4交y軸于點(diǎn)A，∴A（0，4），∵對(duì)稱軸為直線x=52，AB∥∴B（5，4）．故A無(wú)誤；如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則BE＝4，AB＝5，∵AB∥x軸，∴∠BAC＝∠ACO，∵點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段OC上，∴∠ACO＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝5，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，∴C（8，0），∵對(duì)稱軸為直線x=52，∴∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，∴AD＝5，∴AB＝AD，故B無(wú)誤；設(shè)y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），將A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），∴a=?16，故∵OC＝8，OD＝3，∴OC?OD＝24，故D錯(cuò)誤．綜上，錯(cuò)誤的只有D．故選：D．8.（2023山東青島）已知在同一直角坐標(biāo)系中二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象可能是（）A. B. C. D.解：由二次函數(shù)圖象可知：a﹤0，對(duì)稱軸﹥0，∴a﹤0，b﹥0，由反比例函數(shù)圖象知：c﹥0，∴﹤0，一次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)符合一次函數(shù)的圖象特征．故選：B·12.（2023長(zhǎng)沙）“聞起來(lái)臭，吃起來(lái)香”的臭豆腐是長(zhǎng)沙特色小吃，臭豆腐雖小，但制作流程卻比較復(fù)雜，其中在進(jìn)行加工煎炸臭豆腐時(shí)，我們把焦脆而不糊的豆腐塊數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，“可食用率”p與加工煎炸的時(shí)間t（單位：分鐘）近似滿足函數(shù)關(guān)系式：（a，b，c為常數(shù)），如圖紀(jì)錄了三次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳時(shí)間為()A.3.50分鐘 B.4.05分鐘 C.3.75分鐘 D.4.25分鐘解：將(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:②－①和③－②得⑤－④得,解得a=﹣0.2．將a=﹣02．代入④可得b=1.5．對(duì)稱軸=．故選C．10．（2023齊齊哈爾）（（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)（4，0），其對(duì)稱軸為直線x＝1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：拋物線開(kāi)口向上，因此a＞0，與y軸交于負(fù)半軸，因此c＜0，故ac＜0，所以①正確；拋物線對(duì)稱軸為x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（4，0），則另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正確；x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，所以③正確；拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①③④，故選：C．8．（2023新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)）（5分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b和反比例函數(shù)y=cA．B．C．D．解：因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝ax2﹣bx+c的圖象開(kāi)口向上，得出a＞0，與y軸交點(diǎn)在y軸的正半軸，得出c＞0，利用對(duì)稱軸x=?b2a＞所以一次函數(shù)y＝ax+b經(jīng)過(guò)一、三、四象限，反比例函數(shù)y=c故選：D．9．（2023四川南充）（4分）如圖，正方形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)依次為（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若拋物線y＝ax2的圖象與正方形有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．19≤a≤3 B．19≤a≤1 C．13≤a【解答】解：當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)（1，3）時(shí)，a＝3，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)（3，1）時(shí)，a=1觀察圖象可知19≤故選：A．10．（2023四川南充）（4分）關(guān)于二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三個(gè)結(jié)論：①對(duì)任意實(shí)數(shù)m，都有x1＝2+m與x2＝2﹣m對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等；②若3≤x≤4，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，則?43＜a≤﹣1或1≤a＜43；③若拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A，B，且AB≤6，則A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣5的對(duì)稱軸為直線x=?4a∴x1＝2+m與x2＝2﹣m關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，∴對(duì)任意實(shí)數(shù)m，都有x1＝2+m與x2＝2﹣m對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等；故①正確；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣3a﹣5，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣5，若a＞0時(shí)，當(dāng)3≤x≤4時(shí)，﹣3a﹣5＜y≤﹣5，∵當(dāng)3≤x≤4時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，∴1≤a＜4若a＜0時(shí)，當(dāng)3≤x≤4時(shí)，﹣5≤y＜﹣3a﹣5，∵當(dāng)3≤x≤4時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，∴?43故②正確；若a＞0，拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A，B，且AB≤6，∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，∴16a2∴a≥1，若a＜0，拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A，B，且AB≤6，∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，∴16a∴a＜?5綜上所述：當(dāng)a＜?54或a≥1時(shí)，拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A，B，且故選：D．10．（2023遼寧撫順）（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→C的路徑運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作PF⊥BC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，四邊形CEPF的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝4，∠A＝45°，∵CD⊥AB于點(diǎn)D，∴AD＝BD＝2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四邊形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，∴AP＝x，則AE＝PE＝x?sin45°＝x，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣x，∵四邊形CEPF的面積為y，∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0＜x＜2時(shí)，y＝PE?CE＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+2，∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，拋物線開(kāi)口向下；當(dāng)點(diǎn)P沿D→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，即2≤x＜4時(shí)，∵CD是∠ACB的平分線，∴PE＝PF，∴四邊形CEPF是正方形，∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，y＝（4﹣x）2＝（x﹣4）2．∴當(dāng)2≤x＜4時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，綜上所述：能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是：A．故選：A．6．（2023內(nèi)蒙古呼和浩特）（3分）已知二次函數(shù)y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，當(dāng)x取互為相反數(shù)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總相等，則關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的兩根之積為（）A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣解：∵二次函數(shù)，y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1當(dāng)x取互為相反數(shù)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總相等，可知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝0，即y軸，則，解得：a＝﹣2，∴關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0為﹣4x2+1＝0，∴兩根之積為，故選：D．7．（2023內(nèi)蒙古呼和浩特）（3分）關(guān)于二次函數(shù)y＝x2﹣6x+a+27，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．若將圖象向上平移10個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位后過(guò)點(diǎn)（4，5），則a＝﹣5 B．當(dāng)x＝12時(shí)，y有最小值a﹣9 C．x＝2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值比最小值大7 D．當(dāng)a＜0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)解：A、將二次函數(shù)向上平移10個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位后，表達(dá)式為：，若過(guò)點(diǎn)（4，5），則，解得：a＝﹣5，故選項(xiàng)正確；B、∵，開(kāi)口向上，∴當(dāng)x＝12時(shí)，y有最小值a﹣9，故選項(xiàng)正確；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝a+16，最小值為a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值比最小值大25，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、△＝，當(dāng)a＜0時(shí)，9﹣a＞0，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故選項(xiàng)正確，故選：C．20．（2023黑龍江牡丹江）（3分）如圖，拋物線與軸正半軸交于，兩點(diǎn)，與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)．若點(diǎn)，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是①；②；③，與，是拋物線上兩點(diǎn)，若，則；④若拋物線的對(duì)稱軸是直線，為任意實(shí)數(shù)，則；⑤若，則．A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：如圖，拋物線開(kāi)口向下，與軸交于負(fù)半軸，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，，，，，，故①正確；如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸，對(duì)稱軸在直線右側(cè)，即，，又，，故②正確；，與，是拋物線上兩點(diǎn)，，可得：拋物線在上，隨的增大而增大，在上，隨的增大而減小，不一定成立，故③錯(cuò)誤；若拋物線對(duì)稱軸為直線，則，即，則，，故④正確；，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0或小于等于1，當(dāng)時(shí)，代入，，當(dāng)時(shí)，，，則，整理得：，則，又，，，故⑤正確，故正確的有4個(gè)．故選：．8．（2023四川遂寧）（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，下列結(jié)論不正確的是（）A．b2＞4ac B．a(chǎn)bc＞0 C．a(chǎn)﹣c＜0 D．a(chǎn)m2+bm≥a﹣b（m為任意實(shí)數(shù)）解：由圖象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，?b∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A選項(xiàng)不合題意，∴abc＞0，故B選項(xiàng)不合題意，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C選項(xiàng)符合題意，當(dāng)x＝m時(shí)，y＝am2+bm+c，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y有最小值為a﹣b+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，∴am2+bm≥a﹣b，故D選項(xiàng)不合題意，故選：C．12．(2023山東棗莊)（3分）如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸為直線．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確的結(jié)論有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：拋物線開(kāi)口向下，，對(duì)稱軸為，因此，與軸交于正半軸，因此，于是有：，因此①正確；由，得，因此③不正確，拋物線與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此，②正確，由對(duì)稱軸，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，對(duì)稱性可知另一個(gè)交點(diǎn)為，因此，故④正確，綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，故選：．8．（2023湖南岳陽(yáng)）（3分）（2023?岳陽(yáng)）對(duì)于一個(gè)函數(shù)，自變量x取c時(shí)，函數(shù)值y等于0，則稱c為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)．若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根x3，x4（x3＜x4），則下列關(guān)系式一定正確的是（）A．0＜x1x3＜1 B．x1x3＞【解答】解：由題意關(guān)于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根x3，x4（x3＜x4），就是關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）與直線y＝﹣2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)的圖象草圖如下：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=??10∴x3＜x1＜﹣5，由圖象可知：0＜x故選：A．12．（3分）（2023?玉林）把二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換，所得圖象的解析式為y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，則m的最大值是（）A．﹣4 B．0 C．2 D．6【解答】解：∵把二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換，所得圖象的解析式為y＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴原二次函數(shù)的頂點(diǎn)為（1，﹣4a），∴原二次函數(shù)為y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∵（m﹣1）a+b+c≤0，∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，∵a＞0，∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，∴m的最大值為6，故選：D．7．（3分）（2023?常德）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由圖象知，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴b2﹣4ac＞0，故①正確，由圖象知，拋物線的對(duì)稱軸直線為x＝2，∴?b2a=2，∴4a+b由圖象知，拋物線開(kāi)口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，∴c＞0，∴abc＜0，故②正確，由圖象知，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④錯(cuò)誤，即正確的結(jié)論有3個(gè)，故選：B．12．（2023貴州遵義）（4分）拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝﹣2．拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（﹣4，0）和點(diǎn)（﹣3，0）之間，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝2有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；④b2+2b＞4ac．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?b∴4a﹣b＝0，所以①正確；∵與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（﹣3，0）和（﹣4，0）之間，∴由拋物線的對(duì)稱性知，另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）和（0，0）之間，∴x＝﹣1時(shí)y＞0，且b＝4a，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，∴c＞3a，所以②錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且頂點(diǎn)為（﹣2，3），∴拋物線與直線y＝2有兩個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝2有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，所以③正確；∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3），∴4ac?b24a=3，∴b2+12∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，∵a＜0，∴b＝4a＜0，∴b2+2b＞4ac，所以④正確；故選：C．9．（2023山西）（3分）豎直上拋物體離地面的高度h（m）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間的關(guān)系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物體拋出時(shí)離地面的高度，v0（m/s）是物體拋出時(shí)的速度．某人將一個(gè)小球從距地面1.5m的高處以20m/s的速度豎直向上拋出，小球達(dá)到的離地面的最大高度為（）A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m解：由題意可得，h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，故當(dāng)t＝2時(shí)，h取得最大值，此時(shí)h＝21.5，選：C．10．（2023四川自貢）（4分）函數(shù)y=kx與y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝kx﹣A．B． C．D．解：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象位于一、三象限知k＞0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象確知a＜0，b＜0，∴函數(shù)y＝kx﹣b的大致圖象經(jīng)過(guò)一、二、三象限，故選：D．11．（2023山東濱州）（3分）對(duì)稱軸為直線的拋物線、、為常數(shù)，且如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①，②，③，④，⑤為任意實(shí)數(shù)），⑥當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：①由圖象可知：，，，，，故①錯(cuò)誤；②拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，，故②正確；③當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，，，故④正確；⑤當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，所以，故，即，故⑤正確，⑥當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故⑥錯(cuò)誤，故選：．11．（2023四川眉山）（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a為常數(shù)）的圖象與x軸有交點(diǎn)，且當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥﹣2 B．a(chǎn)＜3 C．﹣2≤a＜3 D．﹣2≤a≤3解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a為常數(shù)）的圖象與x軸有交點(diǎn)，∴△＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0解得：a≥﹣2；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝a，拋物線開(kāi)口向上，且當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而減小，∴a≤3，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣2≤a≤3．故選：D．9．（2023山東泰安）（4分）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+b（a≠0）與一次函數(shù)y＝ax+b的圖象可能是（）A． B． C．D．選：C．9．（2023浙江寧波）（4分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．則下列選項(xiàng)中正確的是（）A．a(chǎn)bc＜0 B．4ac﹣b2＞0 C．c﹣a＞0 D．當(dāng)x＝﹣n2﹣2（n為實(shí)數(shù)）時(shí)，y≥c【解答】解：由圖象開(kāi)口向上，可知a＞0，與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可知c＞0，又對(duì)稱軸方程為x＝﹣1，所以?b2a＜∴abc＞0，故A錯(cuò)誤∵；∴一次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B錯(cuò)誤；∵?b∴b＝2a，∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C錯(cuò)誤；當(dāng)x＝﹣n2﹣2（n為實(shí)數(shù)）時(shí)，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正確，故選：D．9．（2023浙江溫州）（4分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是拋物線y＝﹣3x2﹣12x+m上的點(diǎn)，則（）A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2解：拋物線的對(duì)稱軸為直線x=??12∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2時(shí)，函數(shù)值最大，又∵﹣3到﹣2的距離比1到﹣2的距離小，∴y3＜y1＜y2．故選：B．10．（4分）（2023?株洲）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在該二次函數(shù)的圖象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，則（）A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．y1、y2的大小無(wú)法確定【解答】解：∵a﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．又∵ab＜0，∴b＜0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，x1＜0．∵點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在該二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象上，∴y1=ax∴y1﹣y2＝2bx1＞0．∴y1＞y2．故選：B．填空題16．（2023哈爾濱）（3分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【解答】解：拋物線是頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．故答案為：．16．（2023南京）（2分）下列關(guān)于二次函數(shù)為常數(shù)）的結(jié)論：①該函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象形狀相同；②該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；④該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．【解答】解：①二次函數(shù)為常數(shù)）與函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)相同，該函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象形狀相同，故結(jié)論①正確；②在函數(shù)中，令，則，該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故結(jié)論②正確；③，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故結(jié)論③錯(cuò)誤；④拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．故結(jié)論④正確，故答案為①②④．17.（2023無(wú)錫）二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線的對(duì)稱軸上，若是以為直角邊的直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．解：對(duì)，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，3），拋物線的對(duì)稱軸是直線：，當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥y軸于點(diǎn)F，則，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∠MFB=∠BOA=90°，∴△BFM∽△AOB，∴，即，解得：BF=3，∴OF=6，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，6）；當(dāng)∠BAM=90°時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)A作EH⊥x軸，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥EH于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥EH于點(diǎn)E，則，同上面的方法可得△BAE∽△AMH，∴，即，解得：AH=9，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，﹣9）；綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)是或．15.（2023無(wú)錫）請(qǐng)寫出一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，使其圖象的對(duì)稱軸為軸：__________．解：設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c，∵圖象的對(duì)稱軸為y軸，∴對(duì)稱軸為x==0，∴b=0，∴滿足條件的函數(shù)可以是：.（答案不唯一）故答案是：y=x2（答案不唯一）12.（2023山東青島）拋物線（為常數(shù)）與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________．解：∵?=4(k-1)2+8k=4k2+4>0，∴拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)．故答案為：2．15.（2023湖北武漢）拋物線（，，為常數(shù)，）經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①一元二次方程的根為，；②若點(diǎn)，在該拋物線上，則；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總有；④對(duì)于的每一個(gè)確定值，若一元二次方程（為常數(shù)，）的根為整數(shù)，則的值只有兩個(gè)．其中正確的結(jié)論是________（填寫序號(hào)）．解：拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)一元二次方程的根為，，則結(jié)論①正確拋物線的對(duì)稱軸為時(shí)的函數(shù)值與時(shí)的函數(shù)值相等，即為當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小又，則結(jié)論②錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)，則拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且將拋物線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的二次函數(shù)解析式為由二次函數(shù)圖象特征可知，的圖象位于x軸的下方，頂點(diǎn)恰好在x軸上即恒成立則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總有，即，結(jié)論③正確將拋物線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的二次函數(shù)解析式為函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程為，即因此，若一元二次方程的根為整數(shù)，則其根只能是或或?qū)?yīng)的的值只有三個(gè)，則結(jié)論④錯(cuò)誤綜上，結(jié)論正確的是①③故答案為：①③．12．（2023上海）（4分）如果將拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是y＝x2+3．【解答】解：拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位得到y(tǒng)＝x2+3．故答案為：y＝x2+3．10．（2023寧夏）（3分）若二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+k的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是k＞﹣1．6．（2023黑龍江牡丹江）（3分）將拋物線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是．【解答】解：將拋物線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，表達(dá)式為：，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入得：，則，故答案為：．22．（2023黑龍江牡丹江）（6分）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為．已知，．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，連接，的垂直平分線交直線于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．注：拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過(guò)，代入得：，解得：，拋物線表達(dá)式為：，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）直線為拋物線對(duì)稱軸，，，，，垂直平分，，，，，，即，解得：，，故答案為：．13．（2023江蘇連云港）（3分）加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率與加工時(shí)間（單位：滿足函數(shù)表達(dá)式，則最佳加工時(shí)間為3.75．【解答】解：根據(jù)題意：，當(dāng)時(shí)，取得最大值，則最佳加工時(shí)間為．故答案為：3.75．17．（3分）（2023?荊門）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為直線x＝1，給出下列結(jié)論：①abc＜0；②若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），則△ABC的面積可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線上兩點(diǎn)（x1＜x2），若x1+x2＞2，則y1＜y2；④若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，﹣1），則方程ax2+bx+c+1＝0的兩根為﹣l，3．其中正確結(jié)論的序號(hào)為①④．【解答】解：①拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正確，符合題意；②△ABC的面積=12AB?yC=12×AB×2＝2，解得：AB＝2，則點(diǎn)A③函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝1，若x1+x2＞2，則12（x1+x2）＞1，則點(diǎn)N離函數(shù)對(duì)稱軸遠(yuǎn)，故y1＞y2，故②④拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，﹣1），則y′＝ax2+bx+c+1過(guò)點(diǎn)（3，0），根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸該拋物線也過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的兩根為﹣l，3，故④正確，符合題意；故答案為：①④．18．（3分）（2023?煙臺(tái)）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根為1，另一個(gè)根為?1其中正確結(jié)論的序號(hào)是②③④．解：①由二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上可得a＞0，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，b＜0，∴ab＜0，故①錯(cuò)誤；②由圖象可知拋物線與x軸的交點(diǎn)為（1，0），與y軸的交點(diǎn)為（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴a+b﹣1＝0，故②正確；③∵a+b﹣1＝0，∴a﹣1＝﹣b，∵b＜0，∴a﹣1＞0，∴a＞1，故③正確；④∵拋物線與與y軸的交點(diǎn)為（0，﹣1），∴拋物線為y＝ax2+bx﹣1，∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為（1，0），∴ax2+bx﹣1＝0的一個(gè)根為1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，另一個(gè)根為?1a，故故答案為②③④．17．（2023山東泰安）（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46下列結(jié)論：①a＞0；②當(dāng)x＝﹣2時(shí)，函數(shù)最小值為﹣6；③若點(diǎn)（﹣8，y1），點(diǎn)（8，y2）在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）解：將（﹣4，0）（0，﹣4）（2，6）代入y＝ax2+bx+c得，16a?4b+c=0c=?44a+2b+c=6，解得，∴拋物線的關(guān)系式為y＝x2+3x﹣4，a＝1＞0，因此①正確；對(duì)稱軸為x=?32，即當(dāng)x=?3把（﹣8，y1）（8，y2）代入關(guān)系式得，y1＝64﹣24﹣4＝36，y2＝64+24﹣4＝84，因此③正確；方程ax2+bx+c＝﹣5，也就是x2+3x﹣4＝﹣5，即方x2+3x+1＝0，由b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0可得x2+3x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此④正確；正確的結(jié)論有：①③④，解答題24.（2023北京）小云在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到一個(gè)函數(shù).下面是小云對(duì)其探究的過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，即，當(dāng)時(shí)，隨的增大而，且；對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而，且；結(jié)合上述分析，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而.（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，與的幾組對(duì)應(yīng)值如下表：012301綜合上表，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大.在平面直角坐標(biāo)系中，畫出當(dāng)時(shí)的函數(shù)的圖象.（3）過(guò)點(diǎn)（0，m）（）作平行于軸的直線，結(jié)合（1）（2）的分析，解決問(wèn)題：若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則的最大值是.【解析】（1）減小，減小，減?。?）根據(jù)表格描點(diǎn)，連成平滑的曲線即可（3）當(dāng)時(shí)，，∴的最大值為26.（2023北京）在平面直角坐標(biāo)系中，為拋物線上任意兩點(diǎn)，其中.（1）若拋物線的對(duì)稱軸為，當(dāng)為何值時(shí)，（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為.若對(duì)于，都有，求的取值范圍.【解析】（1）拋物線必過(guò)（0，c），∵，∴點(diǎn)M，N關(guān)于對(duì)稱，又∵，∴（2）情況1：當(dāng)恒成立情況2：當(dāng)恒不成立情況3：當(dāng)要，必有∴∴22．（2023安徽）（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，拋物線恰好經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)中的兩點(diǎn)．（1）判斷點(diǎn)是否在直線上，并說(shuō)明理由；（2）求，的值；（3）平移拋物線，使其頂點(diǎn)仍在直線上，求平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值．【解答】解：（1）點(diǎn)是在直線上，理由如下：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得，直線為，把代入得，點(diǎn)在直線上；（2）直線與拋物線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，拋物線只能經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，把，代入得，解得，；（3）由（2）知，拋物線為，設(shè)平移后的拋物線為，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，頂點(diǎn)仍在直線上，，，拋物線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為．28．（2023成都）（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值；（3）如圖2，連接，，過(guò)點(diǎn)作直線，點(diǎn)，分別為直線和拋物線上的點(diǎn)．試探究：在第一象限是否存在這樣的點(diǎn)，，使．若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為．將代入得：，解得，拋物線的解析式為，即．（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，，，，設(shè)，則，．．當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是．（3）符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．，直線的解析式為，設(shè)，①當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得，解得（舍去）或．．②當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)時(shí)，由①的方法同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，．此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．25．（2023廣州）（本小題滿分14分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G:過(guò)點(diǎn)A（1，），B（x1，3），C（x2，3），頂點(diǎn)D不在第一象限，線段BC上有一點(diǎn)E，設(shè)△OBE的面積為S1，△OCE的面積為，．（1）用含a的式子表示b；（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若直線DE與拋物線G的另一個(gè)交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，求在1＜x＜6時(shí)的取值范圍（用含a的式子表示）．【詳解過(guò)程】（1）∵過(guò)點(diǎn)A（1，），∴∴?！摺鄴佄锞€的對(duì)稱軸為＝＝3.∵B（x1，3），C（x2，3）∴點(diǎn)B、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，BC=6∴設(shè)BC交y軸于點(diǎn)M,則OM=3。∴====∵∴=+∴BE=CE+1∵BE+CE=6，即∴BE=,CE=當(dāng)B在C左側(cè)時(shí)，如圖，有：,即則有E點(diǎn)坐標(biāo)是（，3）.當(dāng)B在C右側(cè)時(shí)，同理可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)是是（，3）綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，3）或（，3）.∵∴F的橫坐標(biāo)為∴E點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，3）.∴設(shè)二次函數(shù)解析式為：。D（3，），E（，3），F(xiàn)，）∵設(shè)直線DE為，又因F在直線DE上∴解得：∴二次函數(shù)的解析式為：。當(dāng)1＜x＜6時(shí)，0＝即：。綜上所述：當(dāng)1＜x＜6時(shí)，的取值范圍是：。E點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，3）.∴設(shè)二次函數(shù)解析式為：。D（3，），E（，3），F(xiàn)，）∵設(shè)直線DE為，又因F在直線DE上∴解得：∴二次函數(shù)的解析式為：。當(dāng)1＜x＜6時(shí)，0＝即：。綜上所述：當(dāng)1＜x＜6時(shí)，的取值范圍是：。E點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，3）.∴設(shè)二次函數(shù)解析式為：。D（3，），E（，3），F(xiàn)，）∵設(shè)直線DE為，又因F在直線DE上∴解得：∴二次函數(shù)的解析式為：。當(dāng)1＜x＜6時(shí)，0＝即：。綜上所述：當(dāng)1＜x＜6時(shí)，的取值范圍是：。25.（2023福建）已知直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象過(guò)兩點(diǎn)，交軸于另一點(diǎn)，，且對(duì)于該二次函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，總有．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若直線，求證：當(dāng)時(shí)，；（3）為線段上不與端點(diǎn)重合的點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且交直線于點(diǎn)，求與面積之和的最小值．【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）的最小值為．解：（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以，又因?yàn)椋曰?，若拋物線過(guò)，則當(dāng)時(shí)，隨的增大而減少，不符合題意，舍去．若拋物線過(guò)，則當(dāng)時(shí)，必有隨的增大而增大，符合題意．故可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，依題意，二次函數(shù)的圖象過(guò)，兩點(diǎn)，所以，解得所求二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）當(dāng)時(shí)，直線與直線不重合，假設(shè)和不平行，則和必相交，設(shè)交點(diǎn)為，由得，解得，與已知矛盾，所以與不相交，所以．（3）如圖，因?yàn)橹本€過(guò)，所以，又因?yàn)橹本€，所以，即，所以，，所以，所以，設(shè)，則，，所以，所以所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、三角形面積等基礎(chǔ)知識(shí)，注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想及分類與整合思想的運(yùn)用．24．（2023陜西）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，12）和（﹣2，﹣3），與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，C，它的對(duì)稱軸為直線l．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）P是該拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線，垂足為D，E是l上的點(diǎn)．要使以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，求滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)E的坐標(biāo)．【分析】（1）將點(diǎn)（3，12）和（﹣2，﹣3）代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）由題意得：PD＝DE＝3時(shí)，以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，分點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)、點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)兩種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）將點(diǎn)（3，12）和（﹣2，﹣3）代入拋物線表達(dá)式得，解得，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+2x﹣3；（2）拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣1，令y＝0，則x＝﹣3或1，令x＝0，則y＝﹣3，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（1，0）；點(diǎn)C（0，﹣3），故OA＝OC＝3，∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴當(dāng)PD＝DE＝3時(shí)，以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，設(shè)點(diǎn)P（m，n），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，故n＝22+2×2﹣5＝5，故點(diǎn)P（2，5），故點(diǎn)E（﹣1，2）或（﹣1，8）；當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可得，點(diǎn)P（﹣4，5），此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)同上，綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5）或（﹣4，5）；點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，2）或（﹣1，8）．22．(2023杭州)（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是實(shí)數(shù)，a≠0）．（1）若函數(shù)y1的對(duì)稱軸為直線x＝3，且函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a，b），求函數(shù)y1的表達(dá)式．（2）若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（r，0），其中r≠0，求證：函數(shù)y2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1r（3）設(shè)函數(shù)y1和函數(shù)y2的最小值分別為m和n，若m+n＝0，求m，n的值．【解答】解：（1）由題意，得到?b2=∵函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)（a，﹣6），∴a2﹣6a+a＝﹣6，解得a＝2或3，∴函數(shù)y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．（2）∵函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（r，0），其中r≠0，∴r2+br+a＝0，∴1+b即a（1r）2+b?1∴1r是方程ax2+bx即函數(shù)y2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1r（3）由題意a＞0，∴m=4a?b24∵m+n＝0，∴4a?b∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，∵a+1＞0，∴4a﹣b2＝0，∴m＝n＝0．25．(2023天津)已知點(diǎn)是拋物線（，，為常數(shù)，，）與軸的一個(gè)交點(diǎn)．（I）當(dāng)，時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（II）若拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線平行于軸，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，．①當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上（不與點(diǎn)重合），且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②取的中點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，的最小值是？解：（1）當(dāng)，時(shí)，拋物線的解析式為．拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．解得．拋物線的解析式為．，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（II）①拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，，，，．拋物線的解析式為．根據(jù)題意，得點(diǎn)，點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)由點(diǎn)，得點(diǎn)．在中，，，．，．解得．此時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)，有．點(diǎn)在軸上，在中，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．②由是的中點(diǎn)，得根據(jù)題意，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓上．由點(diǎn)，點(diǎn)，得，在中，．當(dāng)，即時(shí)，滿足條件的點(diǎn)落在線段上，的最小值為，解得；當(dāng)，即時(shí)，滿足條件的點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上，的最小值為，解得當(dāng)?shù)闹禐榛驎r(shí)，的最小值是21（2023河南）.如圖，拋物線與軸正半軸，軸正半軸分別交于點(diǎn)，且點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；點(diǎn)為拋物線上兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，且到對(duì)稱軸的距離分別為個(gè)單位長(zhǎng)度和個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)為拋物線上點(diǎn)之間(含點(diǎn))的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1），G（1,4）；（2）﹣21≤≤4.【解析】【分析】（1）根據(jù)用c表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，把A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得到一個(gè)關(guān)于c的一元二次方程，解出c的值，從而求出函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)G的坐標(biāo)．（2）根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)圖像對(duì)稱軸，根據(jù)點(diǎn)M,N到對(duì)稱軸的距離，判斷出M,N的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步得出M,N的縱坐標(biāo)，求出M,N點(diǎn)的坐標(biāo)后可確定的取值范圍．【詳解】解：（1）∵拋物線與軸正半軸分別交于點(diǎn)B，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∴﹣c2+2c+c=0，解得c1=0（舍去），c2=3，∴拋物線的解析式為∵=﹣（x－1）2+4，∴拋物線頂點(diǎn)G坐標(biāo)為（1,4）．（2）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∵點(diǎn)M,N到對(duì)稱軸的距離分別為3個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣2或4，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為﹣4或6，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣5，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為﹣21，又∵點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，∴當(dāng)M坐標(biāo)為（﹣2，﹣5）時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，﹣21），則﹣21≤≤4當(dāng)當(dāng)M坐標(biāo)為（4，﹣5）時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，﹣21），則﹣21≤≤﹣5，∴的取值范圍為﹣21≤≤4．22.（2023江西）已知拋物線（，，是常數(shù)，）的自變量與函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值如下表：…-2-1012……0-3-3…（1）根據(jù)以上信息，可知拋物線開(kāi)口向，對(duì)稱軸為；（2）求拋物線的表達(dá)式及的值；（3）請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出所求的拋物線，設(shè)點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，的中點(diǎn)為，描出相應(yīng)的點(diǎn)，再把相應(yīng)的點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)，猜想該曲線是哪種曲線？（4）設(shè)直線（）與拋物線及（3）中的點(diǎn)所在曲線都有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)從左到右依次為，，，，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出線段，，，之間的數(shù)量關(guān)系.【解析】（1）上；直線（2）由表格可知拋物線過(guò)點(diǎn)（0，-3）.∴將點(diǎn)（-1,0），（2，-3）代入，得解得，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（3）如圖所示，點(diǎn)所在曲線是拋物線.（4）24(2023蘇州）.如圖，二次函數(shù)的圖像與軸正半軸交于點(diǎn)，平行于軸的直線與該拋物線交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)左側(cè)），與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)．（1）求的值；（2）設(shè)、是軸上的點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)左側(cè)），四邊形為平行四邊形．過(guò)點(diǎn)、分別作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)、．若，求、的值．【答案】（1）；（2）或【詳解】解：（1）∵直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，即，∴．（2）由（1）得：拋物線的解析式為，把代入拋物線的解析式，得，解得或3，∴、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，又∵，，，∴，∴，∴或，由，解得由解得∴、的值為或．26.（2023樂(lè)山）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，連結(jié)，且，如圖所示．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交線段于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連結(jié)、，求的面積的最大值；②連結(jié)，求的最小值．【答案】（1）；（2）①；②．解：（1）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為：，∵是拋物線的對(duì)稱軸，∴，又∵，∴，即，代入拋物線的解析式，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為或；（2）①設(shè)直線的解析式為，∴解得即直線的解析式為，設(shè)E坐標(biāo)為，則F點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴的面積∴，∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，且最大值為；②如圖，連接，根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知，，∴，過(guò)點(diǎn)作于，則在中，，∴，再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∴線段的長(zhǎng)就是的最小值，∵，又∵，∴，即，∴的最小值為．25．（2023南京）（8分）小明和小麗先后從地出發(fā)沿同一直道去地．設(shè)小麗出發(fā)第時(shí)，小麗、小明離地的距離分別為、．與之間的函數(shù)表達(dá)式是，與之間的函數(shù)表達(dá)式是．（1）小麗出發(fā)時(shí)，小明離地的距離為250．（2）小麗出發(fā)至小明到達(dá)地這段時(shí)間內(nèi)，兩人何時(shí)相距最近？最近距離是多少？【解答】解：（1），，當(dāng)時(shí)，，，小麗出發(fā)時(shí)，小明離地的距離為，故答案為：250；（2）設(shè)小麗出發(fā)第時(shí)，兩人相距，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，答：小麗出發(fā)第時(shí)，兩人相距最近，最近距離是．24.（2023四川綿陽(yáng)）（本題滿分12分）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)A(0,1)和C，頂點(diǎn)為D，直線AC與拋物線的對(duì)稱軸BD的交點(diǎn)B(,0).平行于軸的直線EF與拋物線交于點(diǎn)E，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，四邊形BDEF為平行四邊形。求點(diǎn)F的坐標(biāo)及拋物線的解析式。若點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB面積最大值。在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)Q，同時(shí)在拋物線上取一點(diǎn)R，使以AC為一邊且以A、C、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)Q和點(diǎn)R的坐標(biāo)。備用圖備用圖【解析】解：（1）設(shè)直線AC為，∵A(0,1),B(,0)在直線AC上，∴,解得：?！嘀本€AC的解析式為：?！唿c(diǎn)F在直線AC上，且點(diǎn)F的橫坐標(biāo)是?！帱c(diǎn)F的縱坐標(biāo)為：＝?！帱c(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）。設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∵四邊形BDEF為平行四邊形，所以DB=EF∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）設(shè)拋物線為，將A（0，1），（，）代入解析式中，得：，即(2)題解答圖∴拋物線的解析式為：即：。(2)題解答圖（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。因?yàn)椤鱌AB面積最大，則過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，則與二次函數(shù)的交點(diǎn)是唯一的公共點(diǎn)?！咧本€AC的解析式為：，設(shè)的解析式為：。∴聯(lián)立二次函數(shù)與直線的解析式為：∴。當(dāng)時(shí)，方程有唯一解。即，解得：b=.∴直線的解析式為：。點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）。設(shè)與軸交于點(diǎn)H，則H的坐標(biāo)為（0，）。過(guò)H作HM⊥AC于M∴AH=-1=?！摺螲AM=∠OAC=60°?！嘣赗T△HAM中，HM=AHsin60°=×=.∵AB=2.∴==.24題（3）解答圖1綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，），△PAB面積最大值是。24題（3）解答圖1（3）∵直線AC的解析式為：?！嗦?lián)立AC的解析式和二次函數(shù)的解析式得：，解得：，。∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，），AC=.過(guò)C作CM⊥對(duì)稱軸，過(guò)R作RN⊥對(duì)稱軸,所以有：∠BCM=∠QRN=30°。CM=,BM=.24題（3）解答圖2設(shè)R點(diǎn)坐標(biāo)為：（，），所以RN=,24題（3）解答圖2在RT△RQN中，cos30°=,即：，解得：，∴R點(diǎn)的坐標(biāo)是：(,),(,)此時(shí)對(duì)應(yīng)Q點(diǎn)坐標(biāo)是：（，）,(,)24.（2023貴陽(yáng)）2023年體育中考，增設(shè)了考生進(jìn)入考點(diǎn)需進(jìn)行體溫檢測(cè)的要求．防疫部門為了解學(xué)生錯(cuò)峰進(jìn)入考點(diǎn)進(jìn)行體溫檢測(cè)的情況，調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)（人）與時(shí)間（分鐘）的變化情況，數(shù)據(jù)如下表：（表中9-15表示）時(shí)間（分鐘）01234567899~15人數(shù)（人）0170320450560650720770800810810（1）根據(jù)這15分鐘內(nèi)考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)與時(shí)間的變化規(guī)律，利用初中所學(xué)函數(shù)知識(shí)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果考生一進(jìn)考點(diǎn)就開(kāi)始測(cè)量體溫，體溫檢測(cè)點(diǎn)有2個(gè)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)每分鐘檢測(cè)20人，考生排隊(duì)測(cè)量體溫，求排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有多少人？全部考生都完成體溫檢測(cè)需要多少時(shí)間？（3）在（2）的條件下，如果要在12分鐘內(nèi)讓全部考生完成體溫檢測(cè)，從一開(kāi)始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測(cè)點(diǎn)？【答案】（1）；（2）隊(duì)人數(shù)最多時(shí)是490人，全部考生都完成體溫檢測(cè)需要20.25分鐘；（3）至少增加2個(gè)檢測(cè)點(diǎn)【解析】【分析】（1）先根據(jù)表中數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)猜想：①當(dāng)時(shí)，是的二次函數(shù)．根據(jù)提示設(shè)出拋物線的解析式，再?gòu)谋碇羞x擇兩組對(duì)應(yīng)數(shù)值，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再檢驗(yàn)其它數(shù)據(jù)是否滿足解析式，從而可得答案；（2）設(shè)第分鐘時(shí)的排隊(duì)人數(shù)是，列出與第分鐘的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求排隊(duì)的最多人數(shù)，利用檢測(cè)點(diǎn)的檢測(cè)人數(shù)列方程求解檢測(cè)時(shí)間；（3）設(shè)從一開(kāi)始就應(yīng)該增加個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，根據(jù)題意列出不等式，利用不等式在正整數(shù)解可得答案．【詳解】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)可知：①當(dāng)時(shí)，是的二次函數(shù)．∵當(dāng)時(shí)，，∴二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)為．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．將它們分別代入關(guān)系式得解得．∴二次函數(shù)的關(guān)系式為．將表格內(nèi)的其他各組對(duì)應(yīng)值代入此關(guān)系式，均滿足．②當(dāng)時(shí)，．∴與的關(guān)系式為．（2）設(shè)第分鐘時(shí)的排隊(duì)人數(shù)是，根據(jù)題意，得①當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，．②當(dāng)時(shí)，，隨的增大而減小，∴．∴排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)是490人．要全部考生都完成體溫檢測(cè)，根據(jù)題意，得，解得．∴排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)是490人，全部考生都完成體溫檢測(cè)需要20.25分鐘．（3）設(shè)從一開(kāi)始就應(yīng)該增加個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，根據(jù)題意，得，解得．∵是整數(shù)，∴的最小整數(shù)是2．∴一開(kāi)始就應(yīng)該至少增加2個(gè)檢測(cè)點(diǎn)．26．（2023貴州黔西南）（16分）已知拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）交x軸于點(diǎn)A（6，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖（1），點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸，y軸的平行線，交直線AC于點(diǎn)D，E，當(dāng)PD+PE取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖（2），點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)直線AC垂直平分△AMN的邊MN時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【分析】（1）將點(diǎn)A，B坐標(biāo)代入拋物線解析式中，解方程組即可得出結(jié)論；（2）先求出OA＝OC＝6，進(jìn)而得出∠OAC＝45°，進(jìn)而判斷出PD＝PE，即可得出當(dāng)PE的長(zhǎng)度最大時(shí)，PE+PD取最大值，設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，表示出點(diǎn)P坐標(biāo)，建立PE＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出NF∥x軸，進(jìn)而求出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，即可建立方程求解得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0），B（﹣1，0），∴a?b+6=036a+6b+6=0∴a=?1b=5∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x?52）2∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x+6，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（52，49（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x+6，∴C（0，6），∴OC＝6，∵A（6，0），∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°，∵PD平行于x軸，PE平行于y軸，∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，∴∠PED＝45°，∴∠PDE＝∠PED，∴PD＝PE，∴PD+PE＝2PE，∴當(dāng)PE的長(zhǎng)度最大時(shí)，PE+PD取最大值，∵A（6，0），C（0，6），∴直線AC的解析式為y＝﹣x+6，設(shè)E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），則P（t，﹣t2+5t+6），∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，當(dāng)t＝3時(shí)，PE最大，此時(shí)，﹣t2+5t+6＝12，∴P（3，12）；（3）如圖（2），設(shè)直線AC與拋物線的對(duì)稱軸l的交點(diǎn)為F，連接NF，∵點(diǎn)F在線段MN的垂直平分線AC上，∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，∵l∥y軸，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，∴NF∥x軸，由（2）知，直線AC的解析式為y＝﹣x+6，當(dāng)x=52時(shí)，y∴F（52，7∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為72設(shè)N的坐標(biāo)為（m，﹣m2+5m+6），∴﹣m2+5m+6=72，解得，m=5+35∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5+352，72）或（5?24（2023湖北黃岡）.網(wǎng)絡(luò)銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式為了減少農(nóng)產(chǎn)品的庫(kù)存，我市市長(zhǎng)親自在某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上進(jìn)行直播銷售大別山牌板栗．為提高大家購(gòu)買的積極性，直播時(shí)，板栗公司每天拿出2000元現(xiàn)金，作為紅包發(fā)給購(gòu)買者．已知該板栗的成本價(jià)格為6元，每日銷售量與銷售單價(jià)x（元）滿足關(guān)系式：．經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)不低于成本價(jià)格且不高于30元．當(dāng)每日銷售量不低于時(shí)，每千克成本將降低1元設(shè)板栗公司銷售該板栗的日獲利為W（元）．（1）請(qǐng)求出日獲利W與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，銷售這種板栗日獲利最大？最大利潤(rùn)為多少元？（3）當(dāng)元時(shí)，網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)將向板栗公可收取a元的相關(guān)費(fèi)用，若此時(shí)日獲利的最大值為42100元，求a的值．【答案】（1）；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，解：（1）當(dāng)，即，．∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．（2）當(dāng)時(shí)，．∵對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，元．當(dāng)時(shí)，．∵對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，元．∴綜合得，當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，日獲利最大，且最大為46400元．（3），，則．令，則．解得：．在平面直角坐標(biāo)系中畫出w與x的數(shù)示意圖．觀察示意圖可知：．又，．．對(duì)稱軸為，對(duì)稱軸．∴當(dāng)時(shí)，元．，．又，．22.（2023湖北武漢）某公司分別在，兩城生產(chǎn)同種產(chǎn)品，共100件．城生產(chǎn)品的總成本（萬(wàn)元）與產(chǎn)品數(shù)量（件）之間具有函數(shù)關(guān)系，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．城生產(chǎn)產(chǎn)品的每件成本為70萬(wàn)元．（1）求，的值；（2）當(dāng)，兩城生產(chǎn)這批產(chǎn)品的總成本的和最少時(shí)，求，兩城各生產(chǎn)多少件？（3）從城把該產(chǎn)品運(yùn)往，兩地的費(fèi)用分別為萬(wàn)元/件和3萬(wàn)元/件；從城把該產(chǎn)品運(yùn)往，兩地的費(fèi)用分別為1萬(wàn)元/件和2萬(wàn)元/件，地需要90件，地需要10件，在（2）的條件下，直接寫出，兩城總運(yùn)費(fèi)的和的最小值（用含有的式子表示）．【答案】（1），；（2）A城生產(chǎn)20件，B城生產(chǎn)80件；（3）當(dāng)時(shí)，，兩城總運(yùn)費(fèi)的和的最小值為萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，，兩城總運(yùn)費(fèi)的和的最小值為萬(wàn)元．（1）由題意得：當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為0時(shí)，總成本也為0，即時(shí)，則，解得故，；（2）由（1）得：設(shè)，兩城生產(chǎn)這批產(chǎn)品的總成本的和為則整理得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為6600萬(wàn)元此時(shí)答：A城生產(chǎn)20件，B城生產(chǎn)80件；（3）設(shè)從A城運(yùn)往C地的產(chǎn)品數(shù)量為件，，兩城總運(yùn)費(fèi)的和為，則從A城運(yùn)往D地的產(chǎn)品數(shù)量為件，從B城運(yùn)往C地的產(chǎn)品數(shù)量為件，從B城運(yùn)往D地的產(chǎn)品數(shù)量為件由題意得：，解得整理得：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)分以下兩種情況：①當(dāng)時(shí)，在內(nèi)，隨的增大而減小則時(shí)，取得最小值，最小值為②當(dāng)時(shí)，在內(nèi)，隨的增大而增大則時(shí)，取得最小值，最小值為答：當(dāng)時(shí)，，兩城總運(yùn)費(fèi)的和的最小值為萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，，兩城總運(yùn)費(fèi)的和的最小值為萬(wàn)元．25（2023湖北黃岡）.已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）若過(guò)點(diǎn)C的直線交線段AB于點(diǎn)E，且，求直線CE的解析式（3）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)D、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）已知點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)F，使的值最小此時(shí)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)K，使的值最小，若存在，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（4）存在，點(diǎn)K的坐標(biāo)為解：（1）方法1：設(shè)拋物線的解析式為將點(diǎn)代入解析式中，則有．∴拋物線的解析式為．方法二：∵經(jīng)過(guò)三點(diǎn)拋物線的解析式為，將代入解析式中，則有，解得：，∴拋物線的解析式為．（2），．．．．的坐標(biāo)為．又點(diǎn)坐標(biāo)為．直線的解析式為．（3）．∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．①當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，由DQ∥CP，DQ=CP得：，即．．令，則．．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，由CQ∥DP，CQ=DP得：，即．令，則．．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．∴綜合得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4）∵點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱∴連接與直線交點(diǎn)即為F點(diǎn)．∵點(diǎn)H的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴直線BH的解析式為：．令，則．當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為時(shí)，的值最?。?1分設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)，使得的值最小．則由勾股定理可得：．又∵點(diǎn)K在拋物線上，代入上式中，．如圖，過(guò)點(diǎn)K作直線SK，使軸，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．∴點(diǎn)S的坐標(biāo)為．則．（兩處絕對(duì)值化簡(jiǎn)或者不化簡(jiǎn)者正確．）．當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上，且該直線干行于y軸，的值最?。帧唿c(diǎn)G的坐標(biāo)為，，將其代入拋物線解析式中可得：．∴當(dāng)點(diǎn)K的坐標(biāo)為時(shí)，最小．26.（2023無(wú)錫）有一塊矩形地塊，米，米，為美觀，擬種植不同的花卉，如圖所示，將矩形分割成四個(gè)等腰梯形及一個(gè)矩形，其中梯形的高相等，均為米．現(xiàn)決定在等腰梯形和中種植甲種花卉；在等腰梯形和中種植乙種花卉；在矩形中種植丙種花卉．甲、乙、丙三種花卉的種植成本分別為20元/米、60元/米、40元/米，設(shè)三種花卉的種植總成本為元．（1）當(dāng)時(shí)，求種植總成本；（2）求種植總成本與的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；（3）若甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過(guò)120米，求三種花卉的最低種植總成本．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，故；（2），，參考（1），由題意得：；（3），同理，甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過(guò)120米，，解得：，故，而隨的增大而減小，故當(dāng)時(shí)，的最小值為21600，即三種花卉的最低種植總成本為21600元．28.（2023無(wú)錫）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)，，點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖像上，設(shè)過(guò)點(diǎn)（其中）且平行于軸的直線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，以線段、為鄰邊作矩形．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8．①用含的代數(shù)式表示的坐標(biāo)；②點(diǎn)能否落在該二次函數(shù)的圖像上？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)恰好落在該二次函數(shù)的圖像上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)滿足條件的所有直線的函數(shù)表達(dá)式．解：（1）①點(diǎn)在的圖象上，橫坐標(biāo)為8，，直線的解析式為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，；②假設(shè)能在拋物線上，，直線的解析式為，點(diǎn)在直線上，縱坐標(biāo)為，，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，把點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到．（2）①當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，設(shè)，所以直線解析式為，∴，，直線的解析式為，可得，，，，代入拋物線的解析式得到，，解得，直線的解析式為．②當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，即為①中點(diǎn)位置，∴直線解析式為；綜上所述，直線的解析式為或．24.（2023長(zhǎng)沙）我們不妨約定：若某函數(shù)圖像上至少存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則把該函數(shù)稱之為“H函數(shù)”，其圖像上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)叫做一對(duì)“H點(diǎn)”，根據(jù)該約定，完成下列各題（1）在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“H函數(shù)”的，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號(hào)中打“√”，不是“H函數(shù)”的打“×”①（）②（）③（）（2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x“H函數(shù)”的一對(duì)“H點(diǎn)”，且該函數(shù)的對(duì)稱軸始終位于直線的右側(cè)，求的值域或取值范圍；（3）若關(guān)于x的“H函數(shù)”（a，b，c是常數(shù)）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①，②，求該H函數(shù)截x軸得到的線段長(zhǎng)度的取值范圍．【答案】（1）√；√；×；（2）-1＜a＜0，b=4，0＜c＜0；（3）2＜＜2．解：（1）①是“H函數(shù)”②是“H函數(shù)”③不是“H函數(shù)”；故答案為：√；√；×；（2）∵A,B是“H點(diǎn)”∴A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴m=4,n=1∴A(1,4），B（-1，-4）代入得解得又∵該函數(shù)的對(duì)稱軸始終位于直線的右側(cè)，∴-＞2∴-＞2∴-1＜a＜0∵a+c=0∴0＜c＜0，綜上，-1＜a＜0，b=4，0＜c＜0；（3）∵是“H函數(shù)”∴設(shè)H點(diǎn)為（p,q）和（-p,-q）,代入得解得ap2+3c=0,2bp=q∵p2＞0∴a,c異號(hào)，∴ac＜0∵a+b+c=0∴b=-a-c，∵∴∴∴c2＜4a2∴＜4∴-2＜＜2∴-2＜＜0設(shè)t=，則-2＜t＜0設(shè)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為（x1,0）（x2,0）∴x1,x2是方程=0的兩根∴====2=又∵-2＜t＜0∴2＜＜2．22.（2023山東青島）某公司生產(chǎn)型活動(dòng)板房成本是每個(gè)425元．圖①表示型活動(dòng)板房的一面墻，它由長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，寬，拋物線的最高點(diǎn)到的距離為．（1）按如圖①所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用表示，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）現(xiàn)將型活動(dòng)板房改造為型活動(dòng)板房．如圖②，在拋物線與之間的區(qū)域內(nèi)加裝一扇長(zhǎng)方形窗戶，點(diǎn)，在上，點(diǎn)，在拋物線上，窗戶的成本為50元．已知，求每個(gè)型活動(dòng)板房的成本是多少？（每個(gè)型活動(dòng)板房的成本＝每個(gè)型活動(dòng)板房的成本+一扇窗戶的成本）（3）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，以單價(jià)650元銷售（2）中的型活動(dòng)板房，每月能售出100個(gè)，而單價(jià)每降低10元，每月能多售出20個(gè)．公司每月最多能生產(chǎn)160個(gè)型活動(dòng)板房．不考慮其他因素，公司將銷售單價(jià)（元）定為多少時(shí)，每月銷售型活動(dòng)板房所獲利潤(rùn)（元）最大？最大利潤(rùn)是多少？解：（1）由題可知D（2,0），E（0,1）代入到得解得∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）由題意可知N點(diǎn)與M點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，把x=1代入，得y=∴N（1，）∴MN=m，∴S四邊形FGMN=GM×MN=2×=，則一扇窗戶的價(jià)格為×50=75元因此每個(gè)B型活動(dòng)板的成本為425+75=500元；（3）根據(jù)題意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20000,∵一個(gè)月最多生產(chǎn)160個(gè)，∴100+20×≤160解得n≥620∵-2＜0∴n≥620時(shí)，w隨n的增大而減小∴當(dāng)n=620時(shí)，w最大=19200元．24．（2023齊齊哈爾）（（14分）綜合與探究在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點(diǎn)C（2，6），如圖（1）求拋物線的解析式；（2）直線AB的函數(shù)解析式為y＝x+4，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），cos∠ABO＝22連接OC，若過(guò)點(diǎn)O的直線交線段AC于點(diǎn)P，將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（0，4）；（3）在y軸上找一點(diǎn)Q，使得△AMQ的周長(zhǎng)最?。唧w作法如圖②，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接MA'交y軸于點(diǎn)Q，連接AM、AQ，此時(shí)△AMQ的周長(zhǎng)最?。?qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（4）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、O、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：12×16?4b+c=01故直線AB的表達(dá)式為：y=12x2+2（2）點(diǎn)A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故點(diǎn)B（0，4），由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得，直線AB的表達(dá)式為：y＝x+4；則∠ABO＝45°，故cos∠ABO=2對(duì)于y=12x2+2x，函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝﹣2，故點(diǎn)OP將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則AP=13AC或2則yPyC=13故點(diǎn)P（﹣2，2）或（0，4）；故答案為：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；22（3）△AMQ的周長(zhǎng)＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，點(diǎn)A′（4，0），設(shè)直線A′M的表達(dá)式為：y＝kx+b，則4k+b=0?2k+b=?2，解得k=故直線A′M的表達(dá)式為：y=13x令x＝0，則y=?43，故點(diǎn)Q（0，（4）存在，理由：設(shè)點(diǎn)N（m，n），而點(diǎn)A、C、O的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），①當(dāng)AC是邊時(shí)，點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)C，同樣點(diǎn)O（N）右平移6個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)N（O），即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，故點(diǎn)N（6，6）或（﹣6，﹣6）；②當(dāng)AC是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，解得：m＝﹣2，n＝6，故點(diǎn)N（﹣2，6）；綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．24.（2023湖北武漢）將拋物線向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，再將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線．（1）直接寫出拋物線，的解析式；（2）如圖（1），點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)上，點(diǎn)在對(duì)稱軸上，是以為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖（2），直線（，為常數(shù)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)；直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．求證：直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2-4x-2；拋物線的解析式為：y=x2-6；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3）或（4，-2）；（3）直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象上下平移：函數(shù)值上加下減；左右平移：自變量左加右減寫出函數(shù)解析式并化簡(jiǎn)即可；（2）先判斷出點(diǎn)A、B、O、D四點(diǎn)共圓，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，從而證出是等腰直角三角形．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代數(shù)式表示出來(lái)，利用DC=AC列方程求解即可，注意有兩種情況；（3）根據(jù)直線（，為常數(shù)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，得到關(guān)于x的一元二