遼寧省大連市瓦房店第十六高級中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是

A、簡單隨機抽樣 B、按性別分層抽樣 C、按學(xué)段分層抽樣 D、系統(tǒng)抽樣參考答案：C2.已知全集U＝R，則正確表示集合M＝{－1,1,0}和N＝{x|x2＋x＝0}關(guān)系的韋恩(Venn)圖是（

）參考答案：B3.下列選項中，表示同一集合的是（）A．A={0，1}，B={（0，1）} B．A={2，3}，B={3，2}C．A={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，B={1} D．A=?，B={x|x≤0}參考答案：B【考點】集合的相等．【分析】A={0，1}是兩個元素0，1組成的集合，B表示點集，可判斷A；由集合中的元素具有無序性，知集合A與B表示的是同一集合，可判斷B；A={0，1}是兩個元素0，1組成的集合，B是一個元素1組成的集合，可判斷C；A=?，B={0}，B不是空集，可判斷D，E．【解答】解：在A中，∵A={0，1}是兩個元素0，1組成的集合，B={（0，1）}是一個點（0，1）組成的點集，∴集合A與B表示的不是同一集合；在B中，∵集合中的元素具有無序性，A={2，3}，B={3，2}，∴集合A與B表示的是同一集合；在C中，∵A={x|﹣1＜x≤1，x∈N}={0，1}，B={1}，∴集合A與B表示的不是同一集合；在D中，∵A=?，B=={0}，B不是空集，∴集合A與B表示的不是同一集合；故選B．【點評】本題考查集合的概念和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意集合相等的概念的靈活運用，是中檔題．4.若用秦九韶算法求多項式f(x)＝4x5－x2＋2當(dāng)x＝3時的值，則需要做乘法運算和加減法運算的次數(shù)分別為()

A．4,2

B．5,3

C．5,2

D．6,2參考答案：C略5.在半徑為的圓中，圓心角為的角所對的圓弧長為（

）

30參考答案：C6.已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，那么當(dāng)時，的表達式為（

） A．

B．

C．

D．參考答案：D7.正四面體（四個面都為正三角形）ABCD中，異面直線AB與CD所成的角為（）A．90° B．60° C．45° D．30°參考答案：A【考點】異面直線及其所成的角．【分析】由正四面體的幾何特征，我們可得所有棱長均相等，取CD的中點E，連接AE，BE，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，我們易得AE⊥CD，BE⊥CD，由線面垂直的判定定理我們可得CD⊥平面ABE，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可判斷出異面直線AB與CD所成角．【解答】解：如下圖所示，AD=AC，BC=BD，取CD的中點E，連接AE，BE，則AE⊥CD，BE⊥CD，又由AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE，又∵AB?ABE，∴AB⊥CD，∴AB與CD所成的角為90°，故選：A．8.已知是定義在(0,3)上的函數(shù)，的圖像如圖所示，那么不等式的解集是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】將不等式變?yōu)榛?，解不等式組求得結(jié)果.【詳解】由得：或∴或∴或，即本題正確選項：【點睛】本題考查不等式的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)明確余弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的符號.9.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則最大角的余弦值為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】設(shè)，由余弦定理可求出.【詳解】設(shè),所以最大的角為,故選D.【點睛】本題主要考查了余弦定理，大邊對大角，屬于中檔題.10.下列說法正確的是(

)A．冪函數(shù)的圖像恒過點 B．指數(shù)函數(shù)的圖像恒過點C．對數(shù)函數(shù)的圖像恒在軸右側(cè) D．冪函數(shù)的圖像恒在軸上方參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD=________m.參考答案：試題分析:由題設(shè)可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因為,所以,應(yīng)填.考點：正弦定理及運用．12.以間的整數(shù)為分子，以m為分母組成分?jǐn)?shù)集合，其所有元素和為；以間的整數(shù)為分子，以為分母組成不屬于集合的分?jǐn)?shù)集合，其所有元素和為；……，依次類推以間的整數(shù)為分子，以為分母組成不屬于的分?jǐn)?shù)集合，其所有元素和為；則________.參考答案：【分析】先得出的規(guī)律，再根據(jù)等差數(shù)列的和求解?！驹斀狻坑深}意得：【點睛】非常見數(shù)列的求和的突破在于規(guī)律，由特殊到一般是找規(guī)律的常用方法。13.某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)來表示.已知6月份的平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份的平均氣溫為______℃.參考答案：20.5【分析】根據(jù)題意列出方程組，求出，求出年中12個月的平均氣溫與月份的三角函數(shù)關(guān)系，將代入求出10月份的平均氣溫值．【詳解】據(jù)題意得，解得，所以令得.故答案為：20.5【點睛】本題考查通過待定系數(shù)法求出三角函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式求函數(shù)值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．14.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則=

參考答案：15.已知函數(shù)f（x）=，則不等式的解集是．參考答案：{x0＜x＜}【考點】其他不等式的解法．【分析】由h（x）=x2+4x在[0，+∞）單調(diào)遞增，h（x）min=h（0）=0，g（x）=﹣x2+4x在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，g（x）max=g（0）=0可知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則由可得＞2x，解不等式可求．【解答】解：f（x）=，∵h（x）=x2+4x在[0，+∞）單調(diào)遞增，h（x）min=h（0）=0g（x）=﹣x2+4x在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，g（x）max=g（0）=0由分段函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增∵，∴＞2x，∴0＜x＜，故答案為{x|0＜x＜}．16.已知f（x）=是R上的增函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（2，3]【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】利用一次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)值的大小，求解即可． 【解答】解：f（x）=是R上的增函數(shù)， 可得：，解得a∈（2，3] 故答案為：（2，3]． 【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及分段函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．17.（5分）某工廠12年來某產(chǎn)品總產(chǎn)量S與時間t（年）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列四種說法：（1）前三年總產(chǎn)量增長的速度越來越快；（2）前三年總產(chǎn)量增長的速度越來越慢；（3）第3年后至第8年這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)了；（4）第8年后至第12年間總產(chǎn)量勻速增加．其中正確的說法是

．參考答案：（2）（3）（4）考點： 函數(shù)的圖象與圖象變化．專題： 應(yīng)用題．分析： 從左向右看圖象，利用如下結(jié)論：如果圖象是凸起上升的，表明相應(yīng)的量增長速度越來越慢；如果圖象是凹陷上升的，表明相應(yīng)的量增長速度越來越快；如果圖象是直線上升的，表明相應(yīng)的量增長速度保持不變；如果圖象是水平直線，表明相應(yīng)的量保持不變，即不增長也不降低；如果圖象是凸起下降的，表明相應(yīng)的量降低速度越來越快；如果圖象是凹陷下降的，表明相應(yīng)的量降低速度越來越慢；如果圖象是直線下降的，表明相應(yīng)的量降低速度保持不變．解答： 由函數(shù)圖象可知在區(qū)間上，圖象圖象凸起上升的，表明年產(chǎn)量增長速度越來越慢；故（1）對（2）錯，在區(qū)間（3，8]上，圖象是水平直線，表明總產(chǎn)量保持不變，即年產(chǎn)量為0．在區(qū)間（8，12]上，圖象是直線上升的，表明第8年后至第12年間總產(chǎn)量勻速增加；∴（2）（3）（4）正確故答案為：（2）（3）（4）點評： 由圖象分析相應(yīng)的量的變化趨勢，關(guān)鍵是要總結(jié)相應(yīng)的量發(fā)生變化時對應(yīng)圖象的形狀，分析過程中所列示的7種情況，要熟練掌握，以達到靈活應(yīng)用的目的．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知連續(xù)不斷函數(shù)f（x）=cosx﹣x，x∈（0，），g（x）=sinx+x﹣，x∈（0，），h（x）=xsinx+x﹣，x∈（0，）（1）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，）上有且只有一個零點；（2）現(xiàn)已知函數(shù)g（x），h（x）在（0，）上單調(diào)遞增，且都只有一個零點（不必證明），記三個函數(shù)f（x），g（x），h（x）的零點分別為x1，x2，x3．求證：①x1+x2=；②判斷x2與x3的大小，并證明你的結(jié)論．參考答案：考點： 函數(shù)零點的判定定理；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）由零點存在性定理知f（x）在區(qū)間（0，）上有零點，運用單調(diào)性定義證明；f（x）在（0，）上是單調(diào)遞減函數(shù)．（2）將其變形為：cos（﹣x2）﹣（﹣x2）=0，即f（﹣x2）=0，在（0，）上有唯一零點，從而有﹣x2=x1，x1+x2=，Ⅰ）因為x2是g（x）的零點，所以有sinx2+x2=0，Ⅱ）判斷x2＜x3，運用零點存在性定理和定義判斷證明即可．解答： （1）先證明f（x）在區(qū)間（0，）上有零點：由于f（0）=1＞0，f（）=﹣，由零點存在性定理知f（x）在區(qū)間（0，）上有零點，再證明f（x）在（0，）上是單調(diào)遞減函數(shù)：設(shè)0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（cosxx﹣x1）﹣（cosx2﹣x2）=（cosx1﹣cosx2）﹣（x1﹣x2）由于y=cosx在（0，）上遞減，所以cosx1﹣cosx2＞0又﹣（x1﹣x2）＞0從而f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，）上是單調(diào)遞減函數(shù)．故函數(shù)f（x）在（0，）有且只有一個零點，（2）Ⅰ）因為x2是g（x）的零點，所以有sinx2+x2=0，將其變形為：cos（﹣x2）﹣（﹣x2）=0，即f（﹣x2）=0，從而有f（﹣x2）=f（x1）=0，又因為﹣x2，x1∈（0，），且由（1）的結(jié)論f（x）在（0，）上有唯一零點，從而有﹣x2=x1，x1+x2=，Ⅱ）判斷x2＜x3，證明如下：由于h（0）=＜0，h（1）=sin1=1﹣＞sin=+1，由零點存在性定理和已知得0＜x3＜1，從而有

0=x3sinx3+x3＜sinx3+x3=g（x3），g（x2）=0所以有g(shù)（x2）＜g（x3），又由已知g（x）在（0，）上單調(diào)遞增，所以x2＜x3．點評： 本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，零點問題，分類轉(zhuǎn)化，不等式問題，綜合性較強，難度較大，屬于難題．19.（12分）已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的值域為.（1）求；（2）若且，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）由題意知：，，

…4分∴；

………6分

（2）由題意：，故，…10分解得，

所以實數(shù)的取值集合為.

…………2分

20.設(shè)函數(shù)．（I）求f(f())的值；（II）若f（a）＞f（﹣a），求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）根據(jù)分段函數(shù)的解析，代值計算即可，（Ⅱ）對a進行分類討論，即可求出a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）f（﹣）=log0.5（）=2，f（2）=log22=1，∴=1，（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，f（x）=log2x，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）=log0.5（﹣x），函數(shù)也為增函數(shù)，∵f（a）＞f（﹣a），當(dāng)a＞0時，則log2a＞log0.5a=log2，即a＞，解得a＞1，當(dāng)a＜0時，則log0.5（﹣a）=log2（﹣a）即log2＞log2（﹣a），即﹣＞﹣a，解得﹣1＜a＜0綜上所述實數(shù)a的取值范圍（﹣1，0）∪（1，+∞）21.（本小題滿分10分）求值：參考答案：略22.已知函數(shù)f（x）=x3+m．（1）試用定義證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥x3+3x2﹣3x在區(qū)間[1，2]上有解，求m的取值范圍．參考公式：a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利