數(shù)學史與中學數(shù)學教學

南陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院教授張士勤

目錄一、數(shù)學教育家和數(shù)學教師的兩則故事二、數(shù)學史與中學數(shù)學教學（1）無理數(shù)概念（2）等比數(shù)列前n項和（3）三次方程求根公式的誕生（4）相似三角形的應(yīng)用（5）一元二次方程的概念（6）實無窮概念（7）符號代數(shù)三、數(shù)學家的錄像--------大家吳文俊一、數(shù)學教育家和數(shù)學教師的兩則故事1、數(shù)學教育家李信明下面我們要講述的是數(shù)學教育家李信明，他的筆名李學數(shù)。我生下來就有些口吃，從小到大不愛說話，可以一整天就是閉著“金嘴”——沉默寡言，很難想象這么一個不愛說話的人，長大后竟然會選擇從事教育的工作，而又能在不同場合對不喜歡及害怕數(shù)學的人講一些趣味的數(shù)學故事。

我的惡夢

我不知道你們會不會做夢，夢到小時候的生活？如果我有時夢到小時候的生活，一夢到讀書，那往往就是一場惡夢。這夢境多數(shù)是和上算術(shù)課有關(guān)：只見那兇神惡煞的算術(shù)老師拿著算術(shù)課本，在用念唐詩的姿態(tài)念一個問題的解法，那姿態(tài)頗像八段錦里的“搖頭擺尾去心火”。坦白講我們的算術(shù)老師是個會算術(shù)的，他教應(yīng)用問題，往往就是照書上的東西抄一遍在黑板，然后對著書以抑揚頓挫的聲調(diào)念,嗡嗡的聲音，在炎熱的教室里，弄得我們都張著嘴巴，流著口水，昏昏沉沉在打瞌睡。有時他會河東獅吼地叫同學在黑板做問題：“學數(shù)！今有雞兔同籠，頭數(shù)有35，腳數(shù)有94，問雞有多少頭？兔有多少頭？”這時我會嚇得兩只小腿在那里抖，勉強站在黑板前，可是腦子里什么解題的方法也沒有。剛才在昏昏沉沉作白日夢時，我想的是：“雞兔在一起，難道雞不會啄兔子嗎？祖母養(yǎng)的雞關(guān)進籠子里，我有時切青菜給它們吃，有些雞還兇得啄我的手。小兔子和雞關(guān)在里面不是要遭殃嗎？”教師不得法，當年恨死算術(shù)

現(xiàn)在慘了，剛才我還為兔子擔心，現(xiàn)在輪到我遭殃了，我不知道怎么樣解這雞兔同籠的問題，老師有講解這題的公式，可是我的腦子卻連什么公式都裝不進。在黑板前呆了幾分鐘，老師不耐煩，開始罵了：“你們真是蠢，教都不會。伸出手來！”于是課堂上響起噼啪噼啪可怕的聲音。最后我回到坐位，用那火辣辣的紅腫的手擦眼淚和鼻涕，一面心中希望這堂課早點結(jié)束，或者老師明天病了不必教書；一面恨死那算術(shù)?？偟恼f，我們?nèi)鄬W生都不喜歡算術(shù)課，都怕算術(shù)課。我長大之后，有一次遇到小學時與我同班的同學，他一知道我去學數(shù)學，而且還教數(shù)學，他大吃一驚，第一個問題就是：“你還不怕算術(shù)嗎？”的確我還是怕算術(shù)，一個證明就是我做的惡夢，往往就是夢到我不會解算術(shù)問題，而吃老師的藤鞭。存在“快樂的算術(shù)”我希望許多從事數(shù)學教育工作的朋友們也注意一下這個問題。算術(shù)課不必搞到那么煩瑣恐怖，應(yīng)該考慮孩子的身心發(fā)展和心理。我們知道愛因斯坦小時的數(shù)學就很好。他曾經(jīng)回憶一件事，我覺得有復(fù)述的價值：愛因斯坦的叔父（Jakob）是一個電機工程師，本身是很喜歡數(shù)學。有一次小愛因斯坦問他：“代數(shù)”是什么東西？這叔父就解釋：代數(shù)是一門快樂的科學，我們要去捕獲我們不知名的小動物，我們把這東西稱為，然后我們根據(jù)這游戲的規(guī)則建立一些關(guān)系，最后我們就能很容易的捉到它。2、數(shù)學教師郭晨星郭晨星的兩則日記為了使學生不會“讀死書，死讀書”，甚至嚴重到“讀書死”，作為教師就不該只是“教書活”，而是應(yīng)懂得“書教活，教活書”，我們要不斷創(chuàng)造尋找新的生動的教學方法，使學生熱愛學習，而我們將感到傳播知識教育下一代的工作不是苦差而是一件樂事?？鬃又v：“朽木不可雕”，其實這是悲觀論調(diào)。在我看來，后進學生并不是“朽木”，他們都是還未經(jīng)琢磨、內(nèi)有美玉的頑石，我們做老師的就像藝術(shù)家要獨具慧眼一樣，從平淡無奇的表面看到深藏在內(nèi)的美麗瑰寶，根據(jù)他們的特性耐心地雕刻，我們要化腐朽為神奇，人材就會這樣脫穎而出了。郭老師的第一堂數(shù)學課校長說：“同學們！這是郭晨星老師。教你們數(shù)學的陳老師的母親生病，他要回鄉(xiāng)下照顧母親請假一個月。剛好我們的校友郭晨星先生的大學放假一個月，他很樂意在這一個月代替陳老師的教職。郭老師是本校以前的高材生，幾屆的全校數(shù)學比賽冠軍，現(xiàn)在在大學念物理，他的數(shù)學很好，我相信你們在他的教導(dǎo)下會進步得很快。郭老師，我現(xiàn)在讓你教書，如果學生不聽話，上完課后你來報告我知道好了！”站在黑板前的郭老師身體顯得瘦小，坐在后座的幾位同學還比他高大得多，可是他的眼睛卻是炯炯有神，你在看它們時，你會覺得它們像會洞察你的想法，會了解你的問題。你和他談話，看著那親切的臉孔，你會很快就忘記他的瘦小，你會慢慢覺得郭老師全身在輻射熱量?？上f話卻有些口吃?！巴瑢W們，你?.你們好！我我很高高興能回來母校。我我會在這個月教教你們一些學數(shù)學的方法，你們們?.聽嚴校長說?.是不喜歡數(shù)學課，害怕數(shù)學。我對嚴校長說，我是一個魔術(shù)師，我有一根神棒，我保證在一個月離開后使怕數(shù)學的同學不怕數(shù)學，成績差的同學會趕上去。“有同學認為：數(shù)學是不是死板板，套套公式答案就出來了？我這里有一個數(shù)學游戲，這里包含一個數(shù)學難題，是由現(xiàn)在已71歲原籍波蘭的著名美國數(shù)學家烏朗教授（StanislawUlam）提出的，這問題小學生都會明白，可是到現(xiàn)在一些大數(shù)學家還不明白為什么會這樣，找不到一個合理的解釋?！薄昂?，你們在紙上寫下隨便想到的一個正自然數(shù)，如果這數(shù)是偶數(shù)，你就除以2

把這商寫下，用一個箭頭把最初想的數(shù)和這個商接起來，比方說你想到的是6，那么你就寫6→3。如果這數(shù)是奇數(shù)，你就用3乘這個數(shù)然后加上1。你們對新的數(shù)繼續(xù)用以上的方法進行運算，看看最后箭頭會不會指向1?！北确秸f我用最初的6，我們驗算得到下面一串的數(shù)：6→3→10→5→16→8→4→2→1我們再試20，20→10→5→16→8→4→2→1試77→22→11→34→17→52→26→13→40→20現(xiàn)在我們來到剛才算的20，因此我們知道由7開始可以一直指到1?！薄澳銈兌嗄脦讉€數(shù)試試看，你們會發(fā)覺有時箭頭指的越來越大，可是又會下降，上升下降，下降上升，最后會指到1，這是很奇怪的現(xiàn)象。你看這是不是有些離奇曲折，是不是有什么公式可以套就可以證明這現(xiàn)象呢？到目前為止沒有人知道，但是許多人試過許多數(shù)都發(fā)現(xiàn)總是如此。因此許多人認為烏朗的猜想：‘任何大于零的整數(shù)，用以上的方法射出去，最后一定會達到1?！菍Φ?。”“俗語說：‘百川歸大?！瑸趵什孪胧菑乃械拇笥诹愕恼麛?shù)出發(fā)，最后會流向1這個數(shù)，這是一個難題，或許你們回去試試就會發(fā)現(xiàn)這是個很有趣的問題?！蓖瑢W們拿幾個較小的數(shù)來算，果然發(fā)現(xiàn)這些數(shù)最后都走向1，大家都嘖嘖稱奇。郭老師一個月后的確取得很好的效果。上面僅僅列舉了數(shù)學教育家和數(shù)學教師的簡單故事。二、數(shù)學史與中學數(shù)學教學作為數(shù)學老師，我們是否該捫心自問：什么是數(shù)學教學、什么是數(shù)學教育之目的？數(shù)學教育究竟該給學生的未來與發(fā)展帶來些什么？無論課程如何變革，內(nèi)容如何轉(zhuǎn)換，我們要尋找的就是那“不變的東西”：數(shù)學，作為一門學科、一門藝術(shù)和一種智慧，更是一種文化，不但是描繪和現(xiàn)實世界的重要力量，而且還是創(chuàng)造新文化和創(chuàng)造新世界的現(xiàn)實力量。對學生而言，數(shù)學課堂的價值究竟意味著什么？數(shù)學教育的核心價值:知識的授受和智慧的開啟，還應(yīng)包括身心的點化和人格的潤澤。在全日制義務(wù)教育

《數(shù)學課程標準》：

在教學活動中，教師……要創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材。

案例1、無理數(shù)概念教學無理數(shù):無限不循環(huán)小數(shù)，對初中學生來說，十分抽象，很難理解。學起來枯燥無味，無興趣可言。但是一位初中教師，想出一個絕妙的方法，讓學生自己動手，造出一個具體的無理數(shù)，使這一抽象概念很快被學生愉快地接受。案例1、無理數(shù)概念教學其法如下：他用泡沫塑料做了一個大骰子，帶上課堂作為教具。他舉起這個大骰子問大家說：“這是什么？”大家笑答：“這是骰子。”老師又問：“它有什么用處？”同學大笑齊答：“打麻將！”老師再問：“除了打麻將，它還有什么用？”——這下把大家都怔住了。因為學生再也想不出這個骰子還有什么其他的用處。在大家沉默許久后，老師神秘地一笑，說道：我來告訴大家：骰子還能夠制造一種新數(shù)——無理數(shù)。案例1、無理數(shù)概念教學這時老師在黑板上大大地寫出：“0.”并請兩位同學上臺做擲骰子表演：一個學生擲骰子，一個學生寫出擲出的點數(shù)，并在小數(shù)點后寫出來。一個學生不斷地擲，一個學生不斷地寫。于是黑板上便出現(xiàn)一個不斷延伸的小數(shù)：“0.32541326……”。當小數(shù)位延伸到一定長度時，老師叫停，案例1、無理數(shù)概念教學又問大家：“如果這兩位同學不停地擲和寫出小數(shù)，那么，我們會得到一個什么小數(shù)呢？”——首先是無限小數(shù)，而且不循環(huán)。這就是我們今天要講的“無理數(shù)”。于是，無理數(shù)怎么抽象難于理解的數(shù)學概念，就在輕松愉快的氣氛中，被學生們接受了。這位老師如上的教學設(shè)計，帶有濃厚的文化色彩，十分精彩而有效。在教學中如果合理滲透數(shù)學史可以讓數(shù)學知識活起來，使學生在學習數(shù)學知識的同時體驗數(shù)學的歷史厚重感和美感，從而培養(yǎng)學生對數(shù)學的興趣，激發(fā)學習數(shù)學的動機，使數(shù)學史在中學數(shù)學教學中更好的發(fā)揮其教育教學功能。Furinghetti:將數(shù)學史用于數(shù)學教學的過程案例2

等比數(shù)列前n項和上海市楊浦高級中學方耀華老師等比數(shù)列的定義：等比數(shù)列的通項公式：通項公式的推廣：設(shè)等比數(shù)列，首項，公比為，【知識回顧】【問題】“一個窮人到富人那里去借錢，原以為富人會不愿意，哪知富人一口應(yīng)承了下來，但提出了如下條件：借錢第一天，窮人還1分錢；第二天，還2分錢，……以后每天所還的錢數(shù)都是前一天的2倍，30天后，互不相欠。在30天中，第一天借給窮人1萬元，第二天借給窮人2萬元，第三天借給窮人3萬元，……，以后每一天多借給窮人1萬元。能不能答應(yīng)富人以上的條件?【問題解析】窮人還錢總數(shù)－富人借錢總數(shù)＝？富人借錢總數(shù)＝窮人還錢總數(shù)＝小組討論班級交流【問題解析】窮人還錢總數(shù)－富人借錢總數(shù)＝？富人借錢總數(shù)窮人還錢總數(shù)【問題解析】窮人還錢總數(shù)－富人借錢總數(shù)富人借錢總數(shù)窮人還錢總數(shù)答：不能答應(yīng)富人的條件?！締栴}小結(jié)】求等比數(shù)列前30項和等比數(shù)列前項和【公式探究】設(shè)等比數(shù)列，首項，公比為，其前

對于一般的等比數(shù)列，它的前項和公式是什么？項和【數(shù)學史料】約在公元前3000年，巴比倫人就已經(jīng)總結(jié)出等比數(shù)列，的求和公式。早在公元前3500年，相當于中國的夏代。在埃及的萊因特紙草書（最初發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯古都廢墟，1858年為蘇格蘭收藏家萊因特(H.Rhind)購得，因名。有時人們也稱這部紙草書為阿姆士紙草書，以紀念一位叫阿姆士的人，他在公元前1650年左右用僧侶文抄錄了這部紙草書，而根據(jù)阿姆士所加的前言可知，他抄錄的是一部已經(jīng)流傳了兩個多世紀的更古老的著作）79題，是等比數(shù)列的問題，萊因特紙草書現(xiàn)存?zhèn)惗卮笥⒉┪镳^主體部分由84個問題組成：首先是單分數(shù)表，1—40屬于算術(shù)與代數(shù)，41—60是幾何學，61—84為雜題；【公式探究】萊因特紙草書（1650B.C.）

79題，是等比數(shù)列的問題，給出一張表。數(shù)學史家康托爾是這樣解釋的：在一個人的財產(chǎn)中，有7間房子，每間房子里7只貓，每只貓能捉7只老鼠，每只老鼠能吃7穗大麥，而每穗大麥又能長出7俄斗大麥，問這份財產(chǎn)中房子、貓、老鼠、麥穗和麥子總共有多少？通過研究發(fā)現(xiàn)，這是一個等比數(shù)列的求和問題。其中左邊兩欄就是的具體算式。由此可知，埃及人已經(jīng)總結(jié)出了等比數(shù)列的前項和.【公式探究】萊因特紙草書（1650B.C.）

【公式探究】設(shè)等比數(shù)列，首項，公比為，其前

項和方程法：【公式探究】如果是等比數(shù)列，幾何原本(第九卷命題35)歐幾里得（約公元前330～前275）【公式探究】設(shè)等比數(shù)列，首項，公比為，其前

項和合比定律：【公式探究】設(shè)等比數(shù)列，首項，公比為，其前

項和錯位相減法：—）個構(gòu)造常數(shù)列【例題】例1兩河流域泥版MS1844（約公元前2050年）上的問題：七兄弟分財產(chǎn)，最小的得2，后一個比前一個多得1/6，問所分財產(chǎn)共有多少？例2.求等比數(shù)列第5項到第16項的和。例3.求的值.

(a為常數(shù))一個中心:兩個基本點：(1)重要的求和方法：方程法；比例法；錯位相減法；(2)重要的思想方法：特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論的思想方法.等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及運用?！菊n堂小結(jié)】我國傳統(tǒng)的數(shù)學教材，除了愛國主義教育外，強調(diào)的往往是數(shù)學的技能，而一個數(shù)學概念在歷史上是如何產(chǎn)生的？一個數(shù)學定理或公式是如何發(fā)現(xiàn)的？一個數(shù)學分支是如何起源的？教材的編寫者以及講授者似乎很少去關(guān)心這些問題。因而，學生對數(shù)學概念、定理、公式、思想沒有任何“歷史感”，它們均是天上掉下來的餡餅——數(shù)學似乎就是數(shù)學家的事，數(shù)學離他們很遙遠。在枯燥的邏輯證明、成堆的模仿練習中，學生失去了學習數(shù)學的興趣，教師失去了培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力的機會。所幸的是，數(shù)學史在數(shù)學教育中的作用已經(jīng)越來越引起數(shù)學教育工作者們的重視，從新的中學數(shù)學教學大綱、新推廣使用的中學數(shù)學試驗教材中，我們都能得到這樣的信息。

案例3三次方程求根公式的誕生雖然古代中國、印度和阿拉伯人都會解一元三次二項方程，5世紀的中國數(shù)學家祖沖之（429-500）、7世紀的中國數(shù)學家王孝通和13世紀的意大利數(shù)學家斐波納契還會求形如的三次四項方程正根的近似值，但16世紀以前，數(shù)學家們一直未能找到三次方程的一般求根公式。在一部14世紀的意大利數(shù)學手稿中，作者類比一元二次方程的求根公式，給出方程案例3三次方程求根公式的誕生的錯誤求根公式：

三次方程求根公式的歷史是與16世紀意大利數(shù)學家之間的數(shù)學論戰(zhàn)聯(lián)系在一起的。當時，意大利數(shù)學家們常?；ハ嗵魬?zhàn)，這不僅僅是為了贏得榮譽，而且也是為了各自的切身利益。失敗者名譽掃地，門前冷落，不再能招到弟子，從而失去經(jīng)濟來源；而勝利者則會受到邀請去各地講學，受人擁戴，從者如云，財源滾滾。因而一個新方法的發(fā)明者往往不肯輕易泄露自己的發(fā)現(xiàn)，因為有了這樣的秘密武器，他就可以向?qū)κ痔岢鲎约簱戆咐?三次方程求根公式的誕生有解法的相關(guān)問題。然而，我們將看到，這樣的秘密武器卻給三次方程求根公式的發(fā)現(xiàn)者塔塔格里亞（N.Tartaglia,1499~1557）帶來了不幸。1．水城較量塔塔格里亞于1499年出生于意大利的布雷西亞城。父親是一名郵遞員，約于1506年去世，拋下母子三人相依為命。塔塔格里亞13歲時，布雷西亞的兵禍使教堂中避難的他受五處頭傷。幸虧有母親的精心護理，他才活了下來，但留下了終身的后遺癥：口吃?！八窭飦啞痹谝獯罄Z中即為“口吃”之意。14歲時，塔塔格里亞上了學，但很快因案例3三次方程求根公式的誕生繳不起學費而輟學，并為謀生而干起辛苦的體力活。但他很早就顯示出驚人的數(shù)學才能，盡管他青少年時代非常貧困，但他通過自學，掌握了拉丁文、希臘文和數(shù)學。1534年，他去了威尼斯，當上了數(shù)學教授。他是一位以研究三次方程的解法而聞名的數(shù)學家。據(jù)說，他也曾慕名向費羅討教過三次方程的解法。但遭到了拒絕。因此，他發(fā)憤自己來攻克這一難題。經(jīng)過不懈的努力，終于在1535年宣布掌握了一些三次方程的解法。1530年，塔塔格里亞的老鄉(xiāng)、在布雷西亞經(jīng)營一所算術(shù)學校的科伊（T.daCoi）向塔塔里亞請教如下兩個問題：案例3三次方程求根公式的誕生用今天的代數(shù)符號表示，它們分別相當于求解三次方程和。塔塔格里亞回答說，他知道求解三次方程的一般方法，但由于種種原因，他只能秘而不宣；至于第二個問題，他承認不會解，但他絲毫不相信它是不能解的。塔塔格里亞自稱會解三次方程的消息后來傳到波倫亞人菲奧的耳朵里。這個菲奧曾經(jīng)是波倫亞大學算術(shù)與幾何學教師費羅（S.Ferro,1465~1526）的學生。早在20多年前，費羅成功地解決了三次方程,并把解法傳授給了菲奧。因此菲奧有恃無恐地夸口說，既然塔塔格里亞自詡能解三次方程，那就要去羞辱他一番。塔塔格里亞起先并沒有把費奧放在心上，但當他得知菲奧的案例3三次方程求根公式的誕生的老師曾把的解法教給菲奧時，他開始擔心起來。于是，他全身心投入該方程的研究，終于在1535年2月14日找到了一般解法，翌日又發(fā)現(xiàn)了方程和的解法。

8天后，即1535年2月22日，菲奧果然來到威尼斯，公開向他挑戰(zhàn)。在公證人家里，他們彼此向?qū)Ψ教岢?0個問題，并拿出一筆錢。根據(jù)協(xié)定，30至40天后，誰解出對方的問題多，誰就獲勝，并贏得對方的錢。案例3三次方程求根公式的誕生易見，所有30題都相當于求解形如的三次方程。塔塔格里亞在不到兩小時內(nèi)解出了菲奧的所有30個問題，而他所提出的30個問題菲奧一個都解不出來。菲奧只好認輸。塔塔格里亞贏得了榮譽，但菲奧的錢他卻分文不取。2．守口如瓶1536年12月10日，科伊來到威尼斯，向塔塔格里亞索要他向菲奧提出的30個問題。塔塔格里亞把其中的前4個告訴給了科伊，但拒絕給出答案.案例3三次方程求根公式的誕生科伊立即發(fā)現(xiàn)，這四個問題分別相當于求解方程:

和為了求出這些問題的解，他冥思苦想，卻一無所獲。12月16日，他再次來到塔塔格里亞家，請求塔塔格里亞的指點。塔塔格里亞告訴他說，這些發(fā)現(xiàn)花費了他許多心思；他自認為如未能獲得榮譽和利益，他并沒有什么義務(wù)要公開這些發(fā)現(xiàn)；他知道完全隱藏這樣的發(fā)現(xiàn)是不合情理的；案例3三次方程求根公式的誕生等到其他事情（當時塔塔格里亞正致力于歐幾里得《幾何原本》的意大利文翻譯工作）完成后，他會把自己的發(fā)現(xiàn)全部發(fā)表。1539年初，科伊離開布雷西亞去了米蘭。在那里，他受到卡丹（G·Cardano,1501~1576）的熱情接待，卡丹甚至把自己所授的一門課讓給了他?？ǖず卧S人也？他于1501年出生于帕維亞，父親是位博學的法官?？ǖび?520年在帕維亞上大學，1526在帕多瓦獲醫(yī)學博士學位，在帕多瓦附近一小鎮(zhèn)行醫(yī)。1534年，卡丹在米蘭當上了數(shù)學教師，同時繼續(xù)行醫(yī)，成了當時米蘭最著名的醫(yī)生?？ǖぞ〝?shù)學，又嗜賭如命。據(jù)說有一次他與別人打賭，預(yù)言自己將于某時會死去，到了這一天，他為了贏得這場豪賭，居然以自殺的方式，結(jié)束了自己的一生。案例3三次方程求根公式的誕生科伊到米蘭時，卡丹正要出版一部名為《實用算術(shù)》的著作。當科伊告訴他有關(guān)塔塔格里亞的發(fā)現(xiàn)后，卡丹異常興奮。他很想用這個新發(fā)現(xiàn)來豐富自己的著作，便對三次方程解法進行了研究，但一無所獲。于是，他委托一位書商以他的名義請求塔塔格里亞把方程的解法寄給他.卡丹案例3三次方程求根公式的誕生卡丹許諾：他將在他的著作中以塔塔格里亞為作者增入方程的解法，或者，如果塔塔格里亞愿意的話，他也可以為該解法保密。塔塔格里亞答復(fù)說，他自己也計劃寫一部代數(shù)著作，他寧愿在自己的著作中，而不愿在別人的著作中發(fā)表他的發(fā)現(xiàn)。他說他不打算給出他的30個問題的答案，因為它們有助于像卡丹這樣的博學者發(fā)現(xiàn)一般解法.案例3三次方程求根公式的誕生3．背信棄義對于三次方程的解法塔塔格里亞甚至在自己所愛的學生面前也守口如瓶。他的弟子、英國人文多爾斯（Ricardo）曾向老師請教，塔塔格里亞告訴文多爾斯，一旦他譯完歐幾里得和阿基米德的著作，他就出版他的著作，書中他會詳論所有解法。這位弟子同意等待?？ǖs在他的弟子費位利的幫助下，馬不停蹄地進行研究，推廣了塔塔格里亞的方法，費拉利還找到了四次方程的解法。案例3三次方程求根公式的誕生1842年，卡丹偶然聽說在塔塔格里亞以前費羅早已解決了三次方程，他將信將疑，于是在費拉利的陪同下，親往波倫亞大學核實。在那里，費羅的學生、女婿、教職繼承者內(nèi)佛（A.dallaNave）向他們出示費羅的未出版的數(shù)學手稿。在手稿中他們果然見到了三次方程的解法。從此，卡丹認為已沒有必要恪守諾言。他把三次方程的解法寫進《大術(shù)》（ArsMagna）一書，于1545年出版。他背棄了自己的誓言，本應(yīng)編成密碼使得他死后無人能看懂的解法現(xiàn)在通過《大術(shù)》數(shù)以千計的印冊泄露給了全世界?？ǖげ粌H背信棄義，而且對塔塔格里亞也做得不公正。案例3三次方程求根公式的誕生雖然他在書中寫明，三次方的解法是費羅和塔塔格里亞的發(fā)現(xiàn)，但卻說：他只從塔塔格里亞那里獲得方程的解法；另外兩類方程的解法,是他發(fā)現(xiàn)的。塔塔格里亞義憤填膺！他于翌年出版了《各種問題與發(fā)明》（Quesitietinuenzionidiuerse,1546），書中他詳細敘述了自己發(fā)現(xiàn)三次方程解法的背景，以及卡丹發(fā)偽誓從他那里謀得該解法的整個過程。書中不乏對卡丹的指責。塔塔格里亞還致信卡丹，對他進行惡語攻擊。然而，塔塔格里亞的書信函激怒了卡丹的忠實而好斗的弟子費拉利。于是，又一場數(shù)學之戰(zhàn)開始了。案例3三次方程求根公式的誕生4．米蘭之戰(zhàn)費拉利是波倫亞人，幼年喪父。14歲時叔父送他到米蘭，在卡丹家當傭人。和塔塔格里亞一樣，費拉利沒有受過什么正規(guī)的學校教育，但因天資聰穎，口齒伶俐，能言善辯?？ǖな窒矏鬯?，于是教他拉丁文、希臘文和數(shù)學。1540年，費拉利成了米蘭的一名數(shù)學教師，曾在一次公開的數(shù)學論戰(zhàn)中擊敗科伊。1547年，費拉利向塔塔格里亞提出挑戰(zhàn)。塔塔格里亞于4月21日寄給他31個問題，期限15天，并稱過期無效。據(jù)塔塔格里亞后來自稱：他在收到費拉利來信的當天就解出了的10個問題，案例3三次方程求根公式的誕生第二天又解出了若干題；第三天則解出了其余問題。塔塔格里亞來到故鄉(xiāng)布雷西亞，向費拉利寄去了挑戰(zhàn)書。書中塔塔格里亞約請費拉利于1548年8月10日上午時到米蘭的一座教堂，就他對費拉利解答的反駁進行公開答辯。卡丹顯然不愿見到塔塔格里亞，于是借故突然離開了米蘭（當時卡丹已是帕維亞大學的醫(yī)學教授）。在約定的那天，費拉利在包括米蘭總督費蘭特（FerranteGonzaga）在內(nèi)的一大群朋友及別的許多人的陪同下來教學堂。而塔塔格里亞只帶了他的一位兄弟。費拉利能言善辯，在法庭上倒打一耙，指控塔塔格里亞剽竊了費羅的成果，平時說話口吃的塔塔格里亞在激烈的舌戰(zhàn)中的處境是可想而知的，盡管他是受害者，但在這場官司中仍然敗訴了。案例3三次方程求根公式的誕生塔塔格里亞立即離開了米蘭，繞道回布雷西亞。雖然塔塔格里亞在這場數(shù)學論戰(zhàn)中本應(yīng)是勝利者，但由于他的突然離去，使得費拉利在缺乏公正裁判的情況下反而被宣布為贏家，因而名聲大噪。而塔塔格里亞晚境凄涼，1557年在貧窮、孤獨中死去。5．千古遺恨雖然卡丹背信棄義，背負千秋罵名，但塔塔格里亞也并非無可指責。他的可以早溯(su)到1535年的發(fā)現(xiàn)直到他死仍沒有被公開發(fā)表。案例3三次方程求根公式的誕生他把自己的發(fā)現(xiàn)塵封20余年，為的只是要將其發(fā)表于他籌劃已久的著作《數(shù)量通論》中去。結(jié)果，《數(shù)量通論》后來終于出版了，而他一生中最得意的發(fā)現(xiàn)卻付之闕如。全書共分6編，1557年他去世時，第5編正在出版之中。第6編專論代數(shù)，本應(yīng)包括三次方程的解法，但塔塔格里亞卻來不及構(gòu)思這最精彩的一編！書商特拉加諾（C.Trajano）在威尼斯出版了此書前5編后，案例3三次方程求根公式的誕生委托一位博學的數(shù)學家去收集、整理塔塔格里亞的所有遺稿，以繼續(xù)出版第6編。然而，這最后編只出版了第1卷便沒了下文。該卷只包含一些代數(shù)運算方法，而只字未見三次方程的內(nèi)容。是書商不愿再出錢出版其余部分，還是那位數(shù)學家未能順利完成他的工作？我們不得而知。無論如何，有一點是肯定的：如果不是卡丹背棄誓言，那么為了解三次方程（因而還有四次方程），世人不知還要在黑暗中摸索多長時間。一個數(shù)學家是不該以任何借口推遲發(fā)表他的發(fā)現(xiàn)的。數(shù)學發(fā)現(xiàn)不是體育比賽，你今年沒拿這項冠軍，或許明年還可再爭取。在北方有人發(fā)現(xiàn)的東西，在南方也會有人發(fā)現(xiàn)，而優(yōu)先權(quán)往往只屬于第一個發(fā)表的人；就算你證明了早在20年前你就有同樣的思想，你的要求也是沒有價值的，你的權(quán)利也是過時的。這正是塔塔格里亞的悲劇留給人們的教訓。案例4

相似三角形的應(yīng)用

例1、古塔測高如圖所示，有一座落在平地上的古塔，不知高度，測得影長為11.3米?，F(xiàn)將一長為0.8米的竹竿直立，使其影子的末端與塔影的末端重合，測得竹竿的影長為0.2米。求塔高。提到古埃及，大家就會自然想到作為世界七大奇跡之一的金字塔。位于開羅附近吉薩省的胡夫金字塔——法老胡夫的陵墓——是埃及最大的金字塔。大約建于公元前2500年左右，該金字塔呈正四棱錐形，底面正方形面向東西南北四個正方向，邊長230.5m,塔高146.6m，近年來，科學家們通過使用精密的儀器對這一金字塔進行了測量，驚奇地發(fā)現(xiàn)，其底基正方形邊長相對誤差不超過1:14000,即不超過2cm。這說明當時的測量水平已相當高。案例4

相似三角形的應(yīng)用泰勒斯測量過金字塔的高泰勒斯（古希臘數(shù)學家約公元前624～前547）出生于小亞細亞（今土耳其）西部愛奧尼亞地方的米利都城，早年從事商旅活動，最后走上了探索他自然奧秘的道路。泰勒斯是希臘最早的哲學學派——愛奧尼亞學派的創(chuàng)始人。他被希臘七賢之首，是希臘數(shù)學的先驅(qū)。在埃及，泰勒斯測量過金字塔的高；在巴比倫，預(yù)報了公元前585年的一次日蝕，等等。案例4

相似三角形的應(yīng)用是如何測量金字塔高度的？POLPYRAMIDThales(about624BC-about547BC)案例4

相似三角形的應(yīng)用

這個例子根據(jù)古希臘哲學家泰勒斯測量金字塔高度的傳說以及歐幾里得《光學》中測量物體高度問題改編而成。教師在講完這個例子后，可向?qū)W生介紹泰勒斯測量金字塔高度的故事，讓學生明白，歷史上人們對相似三角形性質(zhì)的認識和應(yīng)用很早，我們今天的方法早在兩千五百多年前就已經(jīng)為泰勒斯所用。真是“太陽底下沒有新鮮事”！案例4

相似三角形的應(yīng)用例2、隔河測距如圖所示，在A和B兩點之間有一條河。在BA延長線上取一點C，作BC的垂線AD和CE，點D位于BE上。測得AC=5米，CE=3.3米，AD=3米。求A、B之間的距離。案例4

相似三角形的應(yīng)用這個問題根據(jù)海倫《Dioptra》中的間接測量問題改編而成。比古塔測高問題稍為復(fù)雜一些，因為，根據(jù)相似三角形性質(zhì)所得到的比例中，有兩項含有未知數(shù)，不能直接求得AB。和上述問題類似的問題與中國劉徽（3世紀）的海島測高問題同用于教學設(shè)計，目的是讓學生了解數(shù)學文化的多元性。案例4

相似三角形的應(yīng)用例3、校園占地如圖，有一所正方形的學校，西門和北門各開在西、北面圍墻的正中間。在北門的正北方30米處有一顆大榕樹。一個學生從西門出來，朝正西方走750米，恰好見到學校北面的大榕樹。問這所學校占地多少？案例4

相似三角形的應(yīng)用這個問題是根據(jù)《九章算術(shù)》勾股章中的“邑方”問題改編而成的，原題為：“今有邑方不知大小，各開中門。出北門三十步有木。出西門七百五十步見木。問：邑方幾何？”本問題比前面兩個問題稍難，需通過開方求解。教師告訴學生，中國在漢代就有這類問題，漢代的測量技術(shù)已十分高超；中國古代的幾何學與測量密切相關(guān)。案例4

相似三角形的應(yīng)用例4、勾股定理的推廣（分組討論，合作探究）我們知道，在直角三角形ABC三邊上作三個正方形，則兩直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積，這就是勾股定理。KHGABCDEF案例4相似三角形的應(yīng)用FEDCBA推廣：現(xiàn)在直角三角形ABC三邊上任作兩兩相似的三個三角形BCD、ACE和ABF，如圖所示。關(guān)于這三個三角形的面積，你能得到什么結(jié)論？給出你的證明。案例4相似三角形的應(yīng)用這個問題要用到相似三角形的另一個性質(zhì)，即面積之比等于相似比的平方。事實上，古代巴比倫人已經(jīng)知道這個性質(zhì)；而對于畢達哥拉斯是如何發(fā)現(xiàn)勾股定理的，西方數(shù)學史家的其中一種推測也是基于這個性質(zhì)：過直角三角形直角頂點向斜邊引高線，得大小三個兩兩相似的直角三角形，它們的面積之比等于各自斜邊平方之比，但兩個小直角三角形面積之和等于大直角三角形面積，故它們的斜邊平方之和等于大直角三角形斜邊的平方。案例4相似三角形的應(yīng)用練習題1、如圖，過直角頂點C向斜邊AB引垂線，D為垂足。于是直角三角形ADC、BDC、和ABC兩兩相似。你能利用相似三角形的性質(zhì)證明勾股定理嗎？案例4相似三角形的應(yīng)用2、解《九章算術(shù)》問題：“今有井徑五尺，不知其深。立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸。問：井深幾何？”案例4相似三角形的應(yīng)用3、在一個勾5米，股12米的直角三角形空地上，要建一個正方形花壇，要求花壇的面積盡量大。請給出你的設(shè)計方法。（改編自《九章算術(shù)》勾股章“勾股容方”問題）案例5一元二次方程的概念例1矩形面積為12，寬為長的3/4。問該矩形的長、寬各為多少？（埃及紙草書）例2已知矩形面積為60，長比寬多7。問該矩形的長為多少？列出矩形的長所滿足的方程。例3已知矩形面積為60，長比寬多7。長寬之和為17，問該矩形的長為多少？列出矩形的長所滿足的方程。（巴比倫泥版）案例5

一元二次方程的概念序問

題地

區(qū)時

間1長30英尺的梯子靠墻直立，當頂端沿墻下移6英尺時，底端離墻移動多遠？巴比倫公元前1600-1800年2一根蘆葦靠墻直立，當頂端沿墻下移3英尺時，底端離墻移動9英尺。問蘆葦有多長？巴比倫公元前100年3今有垣高一丈。倚木于垣，上與垣齊。引木卻行一尺，其木至地。問木長幾何？中

國公元1世紀4長20英尺的矛，靠塔直立。若將底端離墻外移12英尺，則尖端抵塔多高？意大利1202年5長25英尺的梯子，斜靠在墻上，頂端距墻角比底端距墻角遠17英尺。問梯子頂端距墻角的距離為多少？美

國1970年案例5

一元二次方程的概念例4長為30英尺的梯子豎直靠在墻上，當梯子的頂端沿墻向下滑動6英尺時，底端離墻滑動多遠？例5在例4

中，如果梯子的頂端沿墻再一次向下滑動6英尺，那么底端將再一次滑動多遠？試列出底端再一次滑動的距離所滿足的方程。案例5

一元二次方程的概念例6

如圖，有一所正方形的學校，南門和北門各開在南、北面圍墻的正中間。在北門的正北方20米處有一顆大榕樹。一個學生從南門出來，朝正南方走14米，然后轉(zhuǎn)向西走1775米，恰好見到學校北面的大榕樹。問這所學校每一面圍墻的長度是多少？試列出方程。案例5

一元二次方程的概念案例5

一元二次方程的概念（展示圖片）現(xiàn)在大家看到的是中世紀歐洲最偉大的一位數(shù)學家，他叫斐波納契。他在1225年寫成一本書，叫《花朵》（聽起來不像數(shù)學書名）。在該書中，斐波納契提出了如下問題——斐波納契案例5一元二次方程的概念

例7、如圖2，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=10，BC=12。AD是底邊BC上的高。在AB、AC上各求一點E、F，在BC上求兩點G和H，使AEGHF是等邊五邊形。案例5

一元二次方程的概念在教師的引導(dǎo)下，基于已有的知識和經(jīng)驗，學生從例2、3、5、6、7中分別得到各不相同的一元二次方程，如下表所示。案例5

一元二次方程的概念題次所建立的方程利用的知識1矩形面積2矩形面積3矩形面積4勾股定理5勾股定理6三角形的相似性7軸對稱、三角形的相似性、勾股定理案例

5

一元二次方程的概念練習1、兩個正方形面積之和為1000。一個正方形邊長是另一正方形邊長的減去10。求這兩個正方形的邊長。（巴比倫泥版上的問題）練習2、在某公園內(nèi)一塊邊長為50米的正方形空地上建造一個正方形魚池，要求水池旁邊有供人觀賞行走的通道，且水池占地面積為空地面積的60%。請完成你的設(shè)計。案例5

一元二次方程的概念案例5

一元二次方程的概念本教學設(shè)計在以下幾個方面貫徹了新課程的思想、理念、目標和要求。

1、包含濃郁的歷史文化氣息，體現(xiàn)數(shù)學是人類的一種文化。讓學生體會數(shù)學的悠久歷史，數(shù)學與人類文明的密切相關(guān)性，數(shù)學文化的多元性。

2、教學活動建立在學生已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，在引出新知識的同時也鞏固了舊知識（如開平方、軸對稱、勾股定理、圖形的相似性等）。案例5

一元二次方程的概念本教學設(shè)計在以下幾個方面貫徹了新課程的思想、理念、目標和要求。3、增強學生的應(yīng)用意識，讓學生體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。4、使學生經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學模型的過程，感受一元二次方程作為一種數(shù)學模型的重要性。5、使學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程。案例5

一元二次方程的概念6、利用背景知識以及古人的問題情境，激發(fā)學生的好奇心與學習興趣，促進自主學習。7、使學生體會到不同數(shù)學知識之間的密切聯(lián)系。8、創(chuàng)造學生的學習動機，為后面一元二次方程解法的教學埋下了伏筆。案例6

實無窮概念實無窮測試題1、正整數(shù)集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比平方數(shù)集

{1，4，9，16，25，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道

解釋你的答案。2、正整數(shù)集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比偶數(shù)集

{2，4，6，8，10，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道

解釋你的答案。案例6

實無窮概念3、觀察長度分別為4厘米和6厘米的線段AB和CD，若比較

AB和CD上的點，CD上的點是否比AB上的點更多？

A、是B、否C、不知道

解釋你的答案。

案例6

實無窮概念

4、再觀察線段AB和CD，連接CA和DB，并延長，交于點O，設(shè)P是CD上任意一點，連接PO，交AB于P。CD上的點是否比AB上的點更多？

A、是；B、否；C、不知道

解釋你的答案。案例6

實無窮概念5、設(shè)

，

，則集合A和

B是否具有同樣多的元素？

A、是;B、否;C、不知道

解釋你的答案。案例6

實無窮概念

兩個集合A和B都滿足：

(1)A和B都是無窮集合；

(2)B是A的真子集；

(3)A和B的元素之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。案例6

實無窮概念情

境題次集合A集合B算

術(shù)1正整數(shù)集平方數(shù)集2正整數(shù)集偶數(shù)集幾何3線段CD線段AB4線段CD線段AB算術(shù)＋幾何5區(qū)間

[0,2]區(qū)間[0,1]案例6

實無窮概念研究發(fā)現(xiàn)：學生比較無窮集合所用的策略

類型1

集合A與集合B中的元素個數(shù)均為無窮，所以元素一樣多。

類型2

集合A與集合B的元素都是無窮多，無法比較。

類型3

集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。

類型4

集合A與B之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，兩個集合中的元素一樣多。案例6

實無窮概念歷史相似性古希臘G.Galilei(1638)：Dialoguesconcerningtwonewsciences：兩條不相等的線段AB和CD上的點可以構(gòu)成一一對應(yīng)；正整數(shù)集和正整數(shù)平方所構(gòu)成的集合之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系。伽利略沒能解決部分與整體“相等”的矛盾。他認為無窮大量都是一樣的，不能比較大小，即不能將“大于”、“小于”和“等于”這樣的詞用于無窮大量。

案例6

實無窮概念19世紀，高斯（C.F.Gauss,1777-1855）、柯西（A.L.Cauchy,1789-1857）、魏爾斯特拉斯（K.Wierestrass,1815-1897）等都無法接受無窮集合，因為它們和伽利略一樣，無法解決“部分等于整體”這個矛盾。波爾察諾（B.Bolzano,1781-1848）ParadoxesoftheInfinite：包含關(guān)系準則－－“如果集合A是集合B的真子集，即A真包含于B，那么A中的元素少于B中的元素?！卑咐?

符號代數(shù)G.H.Nezzelmann《希臘代數(shù)》(1842)：代數(shù)學的發(fā)展經(jīng)歷三個階段：案例7符號代數(shù)符號代數(shù)的產(chǎn)生第一階段稱為文詞代數(shù)(修辭代數(shù))，這時的代數(shù)內(nèi)容，完全是用文字詞句來敘述的。第二階段稱為簡字代數(shù)（縮略代數(shù)）或半符號式代數(shù)。這種代數(shù)的特點就是把代數(shù)中的某些量或詞用簡縮的字母或記號表示。第三階段就是符號代數(shù)。其主要特點就是系統(tǒng)地引入字母和符號表示數(shù)和許多基本數(shù)學概念以及它們的運算相關(guān)系。第一階段稱為文詞代數(shù)(修辭代數(shù))，一個問題及其解答寫出來就像一篇論說文。第二階段稱為簡字代數(shù)，代表人物丟番圖丟番圖，活躍的年代是公元250年左右。在所有亞歷山大后期的數(shù)學著作中，對古典希臘幾何傳統(tǒng)最離經(jīng)叛道的一本是丟番圖(Diophantus)的《算術(shù)》。這部具有東方色彩的著作，用純分析的途徑處理數(shù)論與代數(shù)問題，可以看作是希臘算術(shù)與代數(shù)成就的最高標志。丟番圖的《算術(shù)》是一部劃時代的著作，它在歷史上的影響可以和歐幾里德的《幾何原本》一比高下。全書共13卷，現(xiàn)在僅有希臘文本6卷，后又發(fā)現(xiàn)阿拉伯文本4卷。丟番圖《算術(shù)》特別以不定方程的求解而著稱。所謂“不定方程”，是指未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)的代數(shù)方程（組）。丟番圖是第一個對不定方程問題作廣泛、深入研究的數(shù)學家，以至我們今天常常把求整系數(shù)不定方程的整數(shù)解的問題叫“丟番圖問題”或“丟番圖分析”?！端阈g(shù)》中最有名的一個不定方程是第2卷問題8，丟番圖的表述是：將一個已知的平方數(shù)分成兩個平方數(shù)。問題相當于已知平方數(shù)求數(shù)和，使。這問題之所以有名，主要是因為17世紀法國數(shù)學家費馬在閱讀拉丁文本《算術(shù)》時，對該問題所作的一個邊注，引出了后來舉世矚目的“費馬大定理”費馬（法，1601－1665年）

費馬大定理代數(shù)符號丟番圖《算術(shù)》的另一項重要貢獻是創(chuàng)用了一套縮(suo)寫符號。特別是他使用了特殊的記號來表示未知數(shù)，據(jù)考證這個符號是ζ。丟番圖還用專門的符號來記乘冪，二次冪記為三次冪是，四次冪是，五次冪，等等。減號為，方程中所有的