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文檔簡介
第七節(jié)高階線性微分方程解的結構第十二章一、二階線性微分方程舉例例1.x(虎克定律)解:自由振動方程:2d
t
2
+
2n
d
t
+
k x
=
0d2
x
dx強迫振動方程:2d2
x
dxd
t
2
+
2n
d
t
+
k x
=
h
sin
pt例2.R
,
L
,
Cuc提示:i(t)q(t)EL
,在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0Emd
t
22d2uC
d
uC+
2b
d
t
+w
0
uC
=
LC
sin
w
t串聯(lián)電路的振蕩方程:d
t
2d2uC2d
uC+
2b
d
t
+w
0
uC
=
0ucn
階線性微分方程共性例1例2同一形式:復習:非齊次方程特解y*齊次方程通解Y證畢二、線性齊次方程解的結構證:C2
y2C2
y2C2
y2+
C2
[
y2
+
P(x)
y2
+
Q(x)
y2
](疊加原理)定理1.說明:不一定定義:不全為0線性相關線性無關.例如，線性相關;又如，線性無關.充要條件:思考:相關(證明略)定理2.y
=
C1
y1(x)
+
C2
y2
(x)例如(自證)推論.(Ck為任意常數(shù))y
=
C1
y1
++
Cn
yn三、線性非齊次方程解的結構y
=
Y
(x)
+
y
*(x)證:定理3.Y證畢例如,定理4.(非齊次方程之解的疊加原理)定理5.D例3.提示:(反證法可證)(89
考研)例4.解:y
=
2e2
x
-
ex
.*四、常數(shù)變易法u(x)u(x).情形1.v1(x)v2
(x)+
y1
v1
+
y2
v2y1v1
+
y2v2
=
0y1v1
+
y2v2
=
f
(x)y
=
C1
y1
+
C2
y2
+
y1g1(x)
+
y2
g2
(x)說明:v1(x)v2
(x)情形2.(
y1
+
P
y1
+
Q
y1)
u(一階線性方程)例5.解:=
C1x
+
C2ex
-(x2
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