2023/7/251第二章金屬塑形變形力學基礎應力狀態(tài)分析：塑形力學基本假設變形體內一點應力狀態(tài)分析2023/7/252應力分析截面法一點的應力狀態(tài)：是指通過變形體內某點的單元體所有截面上的應力的有無、大小、方向等情況。

2023/7/253設ΔA為B面過Q點的截取的面積，ΔA上作用的內力的合力為ΔF，ΔF等于經過Q點的力F1.。。F8的矢量和），則Q點的全應力為

圖：2-1全應力S可分解為與B面法向n一致的分量σ和與B面平行的分量τ，分別稱為Q點的正應力和切應力。2-1表示物體受外力F1.F8作用下的平衡狀態(tài)，過Q點做法線為n的平面B2023/7/254全應力的分解方式一種沿法向、切向分解正應力：切應力：剛才我們分解全應力是在法線N和B平面的空間來分解?，F在我們在三維坐標系中分解全應力，可以沿坐標軸分解為Sx、Sy、Sz

5剛才我們分解正應力和切應力是在法線N和B平面的空間來分解，現在我們把正應力和切應力在三維坐標系中進行向量分解,我們首先在XOY平面上進行分解，用xoy平面切取Q點（Q點與原點O重合），假設全應力為S1，從s點分別向z軸和xoy平面做垂線。（z軸垂直于XOY面，是XOY面的法線）6大家要留意這里的全應力s1，并不等于剛才B平面截取Q點得到的全應力的因為用不同角度截面切取P點，其截面積ΔA不相等。Q7

設Q點受單向均勻拉伸，Q點的全應力會隨著截面的方位變化而改變。過Q點做垂直于拉伸方向P的截面A，截面A，截取Q點面積為dA截面上的全應力為：S=P/daQn過Q點做切面B，其法線n，于拉伸方向P成a角，截面積為d/cosaAB8現在我們把投影在xoy面的切應力，進一步分解，得到2個應力分量。bcd9現在我們把剛才的主應力加上，就可以得到全應力S投影在xoy面的主應力和切應力。這樣全應力S就在xoy面上被分解成3個分量。

（，，）同理，我們又用xoz平面截取Q點求得全向量S2向量分解，得到3個分量又用zoy平面截取Q點求得全向量上對S3向量分解，也會得到3個分量10這樣，我們就可以把Q點在三維坐標系中的應力狀態(tài)用下面矩陣描述。因為以后會涉及到對稱矩陣，所以我們規(guī)定Q點在三維坐標系中的應力狀態(tài)下面矩陣描述三維坐標系的應力分量和應力張量點的應力狀態(tài)是指變形體內一點任意方向平面上的應力情況。但過一點可作無數個平面，是否要用無數個平面上的應力才能描述點的應力狀態(tài)呢？通過下面的分析可知，只需用過一點的任意一組相互垂直的三個平面上的應力就可代表點的應力狀態(tài)，而其它截面上的應力都可用這組應力及其與需考察的截面的方位關系來表示。2023/7/25111．直角坐標系中點的應力張量如圖2-2所示，P為直角坐標系0XYZ中一變形體內的任意點，在此點附近切取一個各平面都平行于坐標平面的六面體。每個微面全應力可以分解為一個正應力和兩個切應力。此六面體上三個互相垂直的三個平面上的應力分量即可表示該點的應力狀態(tài)。122-2直角坐標系應力分量對照圖2-2已知，應力分量的第一個下標表示作用平面的法向；第二個下標表示應力作用的方向。正應力的兩個下標是一樣的，故用一個下標簡寫之。剛才我們已經分析完一個任意全應力s可以在坐標平面分為3個分量。上面的面截取P點得到一個全應力，他可以分解為3個分量其中一個正應力，兩個切應力。。13為規(guī)定應力分量的正負號，首先假設：法向與坐標軸正向一致的面為正面；與坐標軸負向一致的面為負面。進而規(guī)定：正面上指向坐標軸正向的應力為正，反之為負；負面上指向坐標軸負向的應力為正，反之為負。三個正面上有3個全應力、可以分解成共有九個應力分量（包括三個正應力和六個切應力）。此九個應力分量可寫成如下矩陣形式：2023/7/2514x方向y方向z方向x面y面z面2023/7/2515去掉表中虛線，則變成矩陣，并可用一個符號表示該矩陣。16由于切應力互等定理，即單元體處于靜力狀態(tài)，不發(fā)生旋轉。上列矩陣中對角的切應力是相等的，即：τxy=τyx,τyz=τzy,τzx=τxz。因此，此矩陣為對稱矩陣，九個應力分量中六個應力分量是獨立的，P點應力狀態(tài)如下面矩陣表示，6個分量表示。2023/7/2517柱坐標系下的應力表達如果變形體是旋轉體，我們通常是采用柱坐標，3個坐標軸為r(徑向）?（周向），Z（軸向）。2023/7/25182．應力張量及其不變量張量在力學中是一個十分重要的概念。標量是一個僅由數的大小表征的量，如溫度、質量、能量等。矢量是由數的大小和方向來表征的量，如力、速度等，它可由空間中的有向線段表示。張量則是由數的大小、方向和方位來表征的量，如應力張量、應變速度張量等。2023/7/2519標量可以表示在數軸上，數的大小有正負之分。不存在坐標變換，可以稱之為零階張量（只有大?。?。矢量在坐標系中可以分解，隨著坐標系選取的不同，矢量的分量也隨之發(fā)生變化。存在坐標變換。矢量可以稱之為一階張量（有大小、有方向）20而張量相當于矢量的集合，既包含了每一矢量的大小和方向，還體現了這些矢量之間的相互關系。其與坐標系的選取有關，存在坐標變換。應力張量為二階張量（有大小、有方向、有方位）三階張量則好比立體矩陣，更高階的張量用圖形無法表達。剛才我們分析了任意一點P在3維坐標空間下的應力狀態(tài)，切割P點的3個平面都是互相垂直，并且平行于坐標面。如果我們用一個斜面來切割P點，其應力分量就會發(fā)生變化。213.一點在任意斜面上的應力如果變形體中一點應力狀態(tài)已知，即6個應力分量已知，便可以求的任意斜面上的應力。22設O點在xyz坐標下的應力分量已知，任一斜面ABC的法向為N，如圖2-3所示。圖2-3

Q點應力狀態(tài)23該微分斜面面積為ds，外法線方向的方向余弦為：

cos(n,x)=l

、cos(n,y)=m

、cos(n,z)=n

三個垂直坐標面的面積可以表示為：

xzagn方向余弦有：Snx、Sny、Snz分別為全應力Sn在X、y、z軸上的投影242023/7/2525由于變形體處于平衡狀態(tài)，對于任意體素都有三個方向的受力平衡，即

在x方向：在y方向：在z方向：2023/7/2526整理后可得方程用矩陣表示為（※）2023/7/2527得出Snx、Sny、Snz就可以求得微分斜面上的合應力Sn，Sn向法線n方向投影，便可求出微分斜面上的正應力，向ACB面投影可得到切應力，或將Snx、Sny、Snz分別投影到法線n上，也同樣得到微分斜面上的正應力，即將Snx、Sny、Snz帶入上式得微分面上的剪應力為2023/7/2528綜上可知，變形體內任意點的應力狀態(tài)可以通過該點且平行于坐標面的三個微分面上的九個應力分量來表示。或者說，通過變形體內任意點垂直于坐標軸所截取的三個相互垂直的微分面上各應力已知時，便可確定該點的應力狀態(tài)。

2023/7/2529應力邊界條件方程如果該四面體素（剛才OAB面的斜面恰好為變形體的外表面上的微面素，那么內力全應力S與Q點上外力P平衡。也就是外力P在坐標軸方向的分力分別為px、py、pz，與Snx、Sny、Snz相等，則P2023/7/2530課后練習已知變形體某點應力狀態(tài)如圖所示，當斜面法線方向與三個坐標軸夾角余弦時，求該斜面上的全應力S，全應力在坐標軸上的分量Sx、Sy、Sz，及斜面上的法線應力sn和切應力tn。N2023/7/2531解：首先確定各應力分量sx=10、sy=10、sz=0、txy=tyx=5、txz=tzx=5、tyz=tzy=0（單位MPa）。由經常不斷地學習,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,And