第四章數(shù)學規(guī)劃模型

4.1奶制品的生產與銷售4.2

自來水輸送與貨機裝運4.3

汽車生產與原油采購4.4

接力隊選拔和選課策略4.5

飲料廠的生產與檢修4.6鋼管和易拉罐下料y數(shù)學規(guī)劃模型

實際問題中的優(yōu)化模型x~決策變量f(x)~目標函數(shù)gi(x)0~約束條件多元函數(shù)條件極值決策變量個數(shù)n和約束條件個數(shù)m較大最優(yōu)解在可行域的邊界上取得數(shù)學規(guī)劃線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃重點在模型的建立和結果的分析企業(yè)生產計劃4.1奶制品的生產與銷售

空間層次工廠級：根據(jù)外部需求和內部設備、人力、原料等條件，以最大利潤為目標制訂產品生產計劃；車間級：根據(jù)生產計劃、工藝流程、資源約束及費用參數(shù)等，以最小成本為目標制訂生產批量計劃。時間層次若短時間內外部需求和內部資源等不隨時間變化，可制訂單階段生產計劃，否則應制訂多階段生產計劃。本節(jié)課題例1加工奶制品的生產計劃1桶牛奶3公斤A1

12小時8小時4公斤A2

或獲利24元/公斤獲利16元/公斤50桶牛奶時間480小時至多加工100公斤A1

制訂生產計劃，使每天獲利最大

35元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少桶?可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元?

A1的獲利增加到30元/公斤，應否改變生產計劃？每天：1桶牛奶3公斤A1

12小時8小時4公斤A2

或獲利24元/公斤獲利16元/公斤x1桶牛奶生產A1

x2桶牛奶生產A2

獲利24×3x1

獲利16×4x2

原料供應

勞動時間

加工能力

決策變量

目標函數(shù)

每天獲利約束條件非負約束

線性規(guī)劃模型(LP)時間480小時至多加工100公斤A1

50桶牛奶每天模型求解

圖解法

x1x20ABCDl1l2l3l4l5約束條件目標函數(shù)

Z=0Z=2400Z=3600斜率為-72/64~等值線在B(20,30)點得到最優(yōu)解目標函數(shù)和約束條件是線性函數(shù)可行域為直線段圍成的凸多邊形目標函數(shù)的等值線為直線最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個頂點取得。模型求解

軟件實現(xiàn)

LINGO9.0model:max=72*x1+64*x2;x1+x2<50;12*x1+8*x2<480;3*x1<100;endGlobaloptimalsolutionfoundatiteration:2Objectivevalue:3360.000VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.00000020.00000048.0000030.0000002.000000440.000000.000000DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No20桶牛奶生產A1,30桶生產A2，利潤3360元。結果解釋

Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.00000020.00000048.0000030.0000002.000000440.000000.000000原料無剩余時間無剩余加工能力剩余40model:max=72*x1+64*x2;x1+x2<50;12*x1+8*x2<480;3*x1<100;end三種資源“資源”剩余為零的約束為緊約束（有效約束）結果解釋

Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.00000020.00000048.0000030.0000002.000000440.000000.000000最優(yōu)解下“資源”增加1單位時“效益”的增量原料增加1單位,利潤增長48時間增加1單位,利潤增長2加工能力增長不影響利潤影子價格

35元可買到1桶牛奶，要買嗎？35<48,應該買！聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元？2元！RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:

OBJCOEFFICIENTRANGES

VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASE

X172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000最優(yōu)解不變時目標函數(shù)系數(shù)允許變化范圍DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?

Yesx1系數(shù)范圍(64,96)

x2系數(shù)范圍(48,72)

A1獲利增加到30元/千克，應否改變生產計劃x1系數(shù)由243=72增加為303=90，在允許范圍內不變！(約束條件不變)結果解釋

RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000

RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000影子價格有意義時約束右端的允許變化范圍原料最多增加10時間最多增加53

35元可買到1桶牛奶，每天最多買多少？最多買10桶!(目標函數(shù)不變)4.2

自來水輸送與貨機裝運生產、生活物資從若干供應點運送到一些需求點，怎樣安排輸送方案使運費最小，或利潤最大；運輸問題各種類型的貨物裝箱，由于受體積、重量等限制，如何搭配裝載，使獲利最高，或裝箱數(shù)量最少。其他費用:450元/千噸

應如何分配水庫供水量，公司才能獲利最多？

若水庫供水量都提高一倍，公司利潤可增加到多少？元/千噸甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理費例1

自來水輸送收入：900元/千噸

支出A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20?。?0；40水庫供水量(千噸)小區(qū)基本用水量(千噸)小區(qū)額外用水量(千噸)（以天計）總供水量：160確定送水方案使利潤最大問題分析A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20?。?0；40<總需求量：120+180=300總收入900160=144,000(元)收入：900元/千噸

其他費用:450元/千噸

支出引水管理費其他支出450160=72,000(元)使引水管理費最小供應限制約束條件需求限制

線性規(guī)劃模型(LP)目標函數(shù)

水庫i向j區(qū)的日供水量為xij（x34=0）決策變量

模型建立確定3個水庫向4個小區(qū)的供水量模型求解

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)24400.00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.00000030.000000X1250.0000000.000000X130.00000050.000000X140.00000020.000000X210.00000010.000000

X22

50.0000000.000000X230.00000020.000000X24

10.0000000.000000X31

40.0000000.000000X320.00000010.000000X33

10.0000000.000000利潤=總收入-其它費用-引水管理費=144000-72000-24400=47600（元）

A(50)B(60)C(50)甲(30;50)乙(70;70)丙(10;20)丁(10;40)5050401010引水管理費24400(元)目標函數(shù)

總供水量(320)>總需求量(300)每個水庫最大供水量都提高一倍利潤=收入(900)–其它費用(450)

–引水管理費利潤(元/千噸)甲乙丙丁A290320230280B310320260300C260250220/供應限制B,C類似處理問題討論

確定送水方案使利潤最大需求約束可以不變求解OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)88700.00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.00000020.000000X12100.0000000.000000X130.00000040.000000X140.00000020.000000

X21

30.0000000.000000X2240.0000000.000000

X230.00000010.000000X2450.0000000.000000

X31

50.0000000.000000X320.00000020.000000X33

30.0000000.000000這類問題一般稱為“運輸問題”(TransportationProblem)總利潤88700（元）

A(100)B(120)C(100)甲(30;50)乙(70;70)丙(10;20)丁(10;40)4010050305030如何裝運，使本次飛行獲利最大？

三個貨艙最大載重(噸),最大容積(米3)

例2貨機裝運

重量（噸）空間(米3/噸）利潤（元/噸）貨物1184803100貨物2156503800貨物3235803500貨物4123902850三個貨艙中實際載重必須與其最大載重成比例

前倉：10；6800中倉：16；8700后倉：8；5300飛機平衡決策變量

xij--第i種貨物裝入第j個貨艙的重量(噸）i=1,2,3,4,

j=1,2,3(分別代表前、中、后倉)模型假設每種貨物可以分割到任意??；貨機裝運每種貨物可以在一個或多個貨艙中任意分布；多種貨物可以混裝，并保證不留空隙；模型建立貨艙容積

目標函數(shù)(利潤)約束條件貨機裝運模型建立貨艙重量

10；680016；87008；5300xij--第i種貨物裝入第j個貨艙的重量約束條件平衡要求

貨物供應

貨機裝運模型建立10；680016；87008；5300xij--第i種貨物裝入第j個貨艙的重量

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)121515.8VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.000000400.000000X120.00000057.894737X130.000000400.000000X2110.0000000.000000X220.000000239.473679X235.0000000.000000X310.0000000.000000

X32

12.9473690.000000X33

3.0000000.000000X410.000000650.000000

X423.0526320.000000X430.000000650.000000貨物2：前倉10,后倉5；

貨物3:中倉13,后倉3；貨物4:中倉3。貨機裝運模型求解最大利潤約121516元貨物~供應點貨艙~需求點平衡要求運輸問題運輸問題的擴展練習題（一）

某銀行經(jīng)理計劃用一筆資金進行有價證券的投資，可供購進的證券以及信用等級、到期年限、收益如下表所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50%的稅率納稅。此外還有以下限制：（1）政府及代辦機構的證券總共至少要夠進400萬元；（2）所購證券的平均信用等級不超過1.4（信用等級數(shù)字越小，信用程度越高）；（3）所購證券的平均年限不超過5年；問題：(1)若該經(jīng)理擁有1000萬元資金，應如何投資？(2)如果能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元資金，該經(jīng)理應如何操作？(3)在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為4.5%，投資應否改變？若證券C的稅前收益減少為4.8%，投資應否改變？證券以及信用等級、到期年限、收益表

證卷名稱證卷種類信用等級到期年限稅前收益A市政294.3B代辦機構2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5如果生產某一類型汽車，則至少要生產80輛，那么最優(yōu)的生產計劃應作何改變？例1汽車廠生產計劃汽車廠生產三種類型的汽車，已知各類型每輛車對鋼材、勞動時間的需求，利潤及工廠每月的現(xiàn)有量。

小型中型大型

現(xiàn)有量鋼材（噸）1.535600勞動時間（小時）28025040060000利潤（萬元）

234制訂月生產計劃，使工廠的利潤最大。4.3

汽車生產與原油采購設每月生產小、中、大型汽車的數(shù)量分別為x1,x2,x3汽車廠生產計劃模型建立

小型中型大型現(xiàn)有量鋼材1.535600時間28025040060000利潤

234線性規(guī)劃模型(LP)模型求解

3）

模型中增加條件：x1,x2,x3

均為整數(shù)，重新求解。

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X164.5161290.000000

X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.0000000.003226結果為小數(shù)，怎么辦？1）舍去小數(shù)：取x1=64，x2=167，算出目標函數(shù)值z=629，與LP最優(yōu)值632.2581相差不大。2）試探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計算函數(shù)值z，通過比較可能得到更優(yōu)的解。但必須檢驗它們是否滿足約束條件。為什么？IP可用LINDO直接求解整數(shù)規(guī)劃(IntegerProgramming,簡記IP)“gin3”表示“前3個變量為整數(shù)”，等價于：ginx1ginx2ginx3IP的最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值z=632max2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3<600280x1+250x2+400x3<60000endgin3OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.000000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解

IP結果輸出其中3個子模型應去掉，然后逐一求解，比較目標函數(shù)值，再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：方法1：分解為8個LP子模型汽車廠生產計劃若生產某類汽車，則至少生產80輛，求生產計劃。x1,x2,,x3=0或80x1=80，x2=150，x3=0，最優(yōu)值z=610LINDO中對0-1變量的限定：inty1inty2inty3方法2：引入0-1變量，化為整數(shù)規(guī)劃

M為大的正數(shù)，可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X180.000000-2.000000

X2150.000000-3.000000

X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000若生產某類汽車，則至少生產80輛，求生產計劃。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80最優(yōu)解同前

NLP雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學軟件求解(如LINGO,MATLAB)，但是其結果常依賴于初值的選擇。方法3：化為非線性規(guī)劃

非線性規(guī)劃（Non-LinearProgramming，簡記NLP）

實踐表明，本例僅當初值非常接近上面方法算出的最優(yōu)解時，才能得到正確的結果。

若生產某類汽車，則至少生產80輛，求生產計劃。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80應如何安排原油的采購和加工

？

例2原油采購與加工市場上可買到不超過1500噸的原油A：

購買量不超過500噸時的單價為10000元/噸；購買量超過500噸但不超過1000噸時，超過500噸的部分8000元/噸；購買量超過1000噸時，超過1000噸的部分6000元/噸。售價4800元/噸售價5600元/噸庫存500噸庫存1000噸汽油甲(A50%)原油A原油B汽油乙(A60%)決策變量

目標函數(shù)問題分析利潤：銷售汽油的收入-購買原油A的支出難點：原油A的購價與購買量的關系較復雜甲(A50%)AB乙(A60%)購買xx11x12x21x224.8千元/噸5.6千元/噸原油A的購買量,原油A,B生產汽油甲,乙的數(shù)量c(x)~購買原油A的支出利潤(千元)c(x)如何表述？原油供應

約束條件

x

500噸單價為10千元/噸；

500噸x1000噸，超過500噸的8千元/噸；1000噸x1500噸，超過1000噸的6千元/噸。目標函數(shù)購買xABx11x12x21x22庫存500噸庫存1000噸目標函數(shù)中c(x)不是線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃；對于用分段函數(shù)定義的c(x)，一般的非線性規(guī)劃軟件也難以輸入和求解；想辦法將模型化簡，用現(xiàn)成的軟件求解。

汽油含原油A的比例限制約束條件甲(A50%)AB乙(A60%)x11x12x21x22x1,x2,x3~以價格10,8,6(千元/噸)采購A的噸數(shù)目標函數(shù)

只有當以10千元/噸的價格購買x1=500(噸)時，才能以8千元/噸的價格購買x2方法1

非線性規(guī)劃模型，可以用LINGO求解模型求解x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

500噸

x1000噸，超過500噸的8千元/噸增加約束x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

方法1：LINGO求解Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12<x+500;x21+x22<1000;x11-x21>0;2*x12-3*x22>0;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1<500;x2<500;x3<500;x>0;x11>0;x12>0;x21>0;x22>0;x1>0;x2>0;x3>0;endObjectivevalue:4800.000VariableValueReducedCostX11500.00000.0000000E+00X21500.00000.0000000E+00X120.0000000E+000.0000000E+00X220.0000000E+000.0000000E+00X10.1021405E-1310.00000X20.0000000E+008.000000X30.0000000E+006.000000X0.0000000E+000.0000000E+00LINGO得到的是局部最優(yōu)解，還能得到更好的解嗎？

用庫存的500噸原油A、500噸原油B生產汽油甲，不購買新的原油A，利潤為4,800千元。

y1,y2,y3=1~以價格10,8,6(千元/噸)采購A增加約束方法2

0-1線性規(guī)劃模型，可用LINDO求解y1,y2,y3=0或1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)5000.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000Y31.0000001200.000000X110.0000000.800000X210.0000000.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1500.0000000.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000購買1000噸原油A，與庫存的500噸原油A和1000噸原油B一起，生產汽油乙，利潤為5,000千元。x1,x2,x3~以價格10,8,6(千元/噸)采購A的噸數(shù)y=0x=0x>0y=1優(yōu)于方法1的結果b1b2

b3

b4方法3

b1

xb2，x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z20,c(x)=z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2

xb3，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z3

0,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3).b3

xb4，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4

0,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4).直接處理處理分段線性函數(shù)c(x)IP模型，LINDO求解，得到的結果與方法2相同.處理分段線性函數(shù)，方法3更具一般性bkxbk+1yk=1,否則,yk=0方法3

bkxbk+1,x=

zkbk+z

k+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+10,c(x)=zkc(bk)+zk+1c(bk+1).c(x)x1200090005000050010001500b1b2

b3

b4對于k=1,2,3分（指）派問題4.4

接力隊選拔和選課策略若干項任務分給一些候選人來完成，每人的專長不同，完成每項任務取得的效益或需要的資源就不同，如何分派任務使獲得的總效益最大，或付出的總資源最少。若干種策略供選擇，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各個策略之間有相互制約關系，如何在滿足一定條件下作出決擇，使得收益最大或成本最小。丁的蛙泳成績退步到1’15”2；戊的自由泳成績進步到57”5,組成接力隊的方案是否應該調整？如何選拔隊員組成4100米混合泳接力隊?例1混合泳接力隊的選拔

甲乙丙丁戊蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳58”653”59”457”21’02”45名候選人的百米成績窮舉法：組成接力隊的方案共有5!=120種。目標函數(shù)若選擇隊員i參加泳姿j的比賽，記xij=1,否則記xij=0

0-1規(guī)劃模型

cij(秒)~隊員i

第j種泳姿的百米成績約束條件每人最多入選泳姿之一

ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每種泳姿有且只有1人模型求解

最優(yōu)解：x14=x21=x32=x43=1,其它變量為0;成績?yōu)?53.2(秒)=4’13”2model:MIN=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+……83.8*x53+62.4*x54;x11+x12+x13+x14<=1;……x41+x42+x43+x44<=1;x11+x21+x31+x41+x51=1;……x14+x24+x34+x44+x54=1;@BIN(x11);……;@BIN(x54);end輸入LINGO求解

甲乙丙丁戊蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳58”653”59”457”21’02”4甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.丁蛙泳c43

=69.675.2，戊自由泳c54=62.4

57.5,方案是否調整？敏感性分析？乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳、戊~自由泳IP規(guī)劃一般沒有與LP規(guī)劃相類似的理論，LINGO輸出的敏感性分析結果通常是沒有意義的。最優(yōu)解：x21=x32=x43=x51=1,成績?yōu)?’17”7c43,c54

的新數(shù)據(jù)重新輸入模型，用LINGO求解指派(Assignment)問題：每項任務有且只有一人承擔，每人只能承擔一項，效益不同，怎樣分派使總效益最大.討論甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.原方案為了選修課程門數(shù)最少，應學習哪些課程？

例2選課策略要求至少選兩門數(shù)學課、三門運籌學課和兩門計算機課課號課名學分所屬類別先修課要求1微積分5數(shù)學

2線性代數(shù)4數(shù)學

3最優(yōu)化方法4數(shù)學；運籌學微積分；線性代數(shù)4數(shù)據(jù)結構3數(shù)學；計算機計算機編程5應用統(tǒng)計4數(shù)學；運籌學微積分；線性代數(shù)6計算機模擬3計算機；運籌學計算機編程7計算機編程2計算機

8預測理論2運籌學應用統(tǒng)計9數(shù)學實驗3運籌學；計算機微積分；線性代數(shù)選修課程最少，且學分盡量多，應學習哪些課程？

0-1規(guī)劃模型

決策變量

目標函數(shù)

xi=1~選修課號i的課程（xi=0~不選）

選修課程總數(shù)最少約束條件最少2門數(shù)學課，3門運籌學課，2門計算機課。

課號課名所屬類別1微積分數(shù)學2線性代數(shù)數(shù)學3最優(yōu)化方法數(shù)學；運籌學4數(shù)據(jù)結構數(shù)學；計算機5應用統(tǒng)計數(shù)學；運籌學6計算機模擬計算機；運籌學7計算機編程計算機8預測理論運籌學9數(shù)學實驗運籌學；計算機先修課程要求最優(yōu)解：

x1=x2=x3=x6=x7=x9=1,其它為0；6門課程，總學分210-1規(guī)劃模型

約束條件x3=1必有x1=x2=1模型求解（LINGO）課號課名先修課要求1微積分

2線性代數(shù)

3最優(yōu)化方法微積分；線性代數(shù)4數(shù)據(jù)結構計算機編程5應用統(tǒng)計微積分；線性代數(shù)6計算機模擬計算機編程7計算機編程

8預測理論應用統(tǒng)計9數(shù)學實驗微積分；線性代數(shù)學分最多多目標優(yōu)化的處理方法：化成單目標優(yōu)化。兩目標(多目標)規(guī)劃

討論：選修課程最少，學分盡量多，應學習哪些課程？課程最少以學分最多為目標，不管課程多少。以課程最少為目標，不管學分多少。最優(yōu)解如上，6門課程，總學分21。最優(yōu)解顯然是選修所有9門課程。多目標規(guī)劃

在課程最少的前提下以學分最多為目標。最優(yōu)解：

x1=x2=x3=x5=x7=x9=1,其它為0；總學分由21增至22。注意：最優(yōu)解不唯一！課號課名學分1微積分52線性代數(shù)43最優(yōu)化方法44數(shù)據(jù)結構35應用統(tǒng)計46計算機模擬37計算機編程28預測理論29數(shù)學實驗3LINGO無法告訴優(yōu)化問題的解是否唯一?？蓪9=1易為x6=1增加約束，以學分最多為目標求解。多目標規(guī)劃

對學分數(shù)和課程數(shù)加權形成一個目標，如三七開。最優(yōu)解：

x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=x9=1，其它為0；總學分28。課號課名學分1微積分52線性代數(shù)43最優(yōu)化方法44數(shù)據(jù)結構35應用統(tǒng)計46計算機模擬37計算機編程28預測理論29數(shù)學實驗3討論與思考最優(yōu)解與1=0，2=1的結果相同——學分最多多目標規(guī)劃

最優(yōu)解與1=1，2=0的結果相同——課程最少4.5

飲料廠的生產與檢修單階段生產計劃多階段生產計劃生產批量問題企業(yè)生產計劃考慮與產量無關的固定費用給優(yōu)化模型求解帶來新的困難外部需求和內部資源隨時間變化安排生產計劃,滿足每周的需求,使4周總費用最小。存貯費:每周每千箱飲料0.2千元。例1

飲料廠的生產與檢修計劃在4周內安排一次設備檢修，占用當周15千箱生產能力，能使檢修后每周增產5千箱，檢修應排在哪一周?

周次需求量(千箱)生產能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合計100135

某種飲料4周的需求量、生產能力和成本問題分析除第4周外每周的生產能力超過每周的需求；生產成本逐周上升；前幾周應多生產一些。周次需求能力11530225403354542520合計100135成本5.05.15.45.5

飲料廠在第1周開始時沒有庫存；從費用最小考慮,第4周末不能有庫存；周末有庫存時需支出一周的存貯費；每周末的庫存量等于下周初的庫存量。模型假設

目標函數(shù)約束條件產量、庫存與需求平衡決策變量

能力限制非負限制模型建立x1~x4：第1~4周的生產量y1~y3：第1~3周末庫存量周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5存貯費:0.2(千元/周?千箱)模型求解

4周生產計劃的總費用為528(千元)最優(yōu)解：x1~x4：15，40，25，20；

y1~y3：

0，15，5.周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5產量15402520庫存01550LINDO求解檢修計劃0-1變量wt

：wt=1~檢修安排在第t周(t=1,2,3,4）在4周內安排一次設備檢修，占用當周15千箱生產能力，能使檢修后每周增產5千箱，檢修應排在哪一周?

檢修安排在任一周均可周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5約束條件能力限制產量、庫存與需求平衡條件不變增加約束條件：檢修1次檢修計劃目標函數(shù)不變0-1變量wt

：wt=1~檢修安排在第t周(t=1,2,3,4）LINDO求解總費用由528千元降為527千元檢修所導致的生產能力提高的作用,需要更長的時間才能得到充分體現(xiàn)。最優(yōu)解：w1=1,w2,w3,

w4=0;x1~x4：15,45,15,25；

y1~y3：0,20,0.例2飲料的生產批量問題安排生產計劃,滿足每周的需求,使4周總費用最小。存貯費:每周每千箱飲料0.2千元。飲料廠使用同一條生產線輪流生產多種飲料。若某周開工生產某種飲料,需支出生產準備費8千元。

某種飲料4周的需求量、生產能力和成本周次需求量(千箱)生產能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合計100135

生產批量問題的一般提法ct~時段t生產費用(元/件)；ht~時段t(末)庫存費(元/件)；st

~時段t生產準備費(元)；dt

~時段t市場需求(件)；Mt~時段t生產能力(件)。假設初始庫存為0制訂生產計劃,滿足需求,并使T個時段的總費用最小。決策變量

xt

~時段t生產量；yt

~時段t(末)庫存量；wt=1~時段t開工生產(wt=0~不開工)。目標約束混合0-1規(guī)劃模型

最優(yōu)解：x1~x4：15，40，45，0；總費用：554.0(千元)生產批量問題的一般提法將所給參數(shù)代入模型，用LINDO求解生產中通過切割、剪裁、沖壓等手段，將原材料加工成所需大小§6鋼管和易拉罐下料（整數(shù)規(guī)劃與非線性規(guī)劃）原料下料問題按照工藝要求，確定下料方案，使所用材料最省，或利潤最大問題1.如何下料最節(jié)省?例1

鋼管下料問題2.客戶增加需求：原料鋼管:每根19米4米50根6米20根8米15根客戶需求節(jié)省的標準是什么？由于采用不同切割模式太多，會增加生產和管理成本，規(guī)定切割模式不能超過3種。如何下料最節(jié)省？5米10根按照客戶需要在一根原料鋼管上安排切割的一種組合。

切割模式余料1米4米1根6米1根8米1根余料3米4米1根6米1根6米1根合理切割模式的余料應小于客戶需要鋼管的最小尺寸余料3米8米1根8米1根鋼管下料為滿足客戶需要，按照哪些種合理模式，每種模式切割多少根原料鋼管，最為節(jié)??？合理切割模式2.所用原料鋼管總根數(shù)最少模式

4米鋼管根數(shù)6米鋼管根數(shù)8米鋼管根數(shù)余料(米)14003231013201341203511116030170023鋼管下料問題1兩種標準1.原料鋼管剩余總余量最小xi~按第i種模式切割的原料鋼管根數(shù)(i=1,2,…7)約束滿足需求決策變量

目標1（總余量）模式4米根數(shù)6米根數(shù)8米根數(shù)余料14003231013201341203511116030170023需求502015整數(shù)約束：xi為整數(shù)模型求解1.的整數(shù)線性規(guī)劃模型（加上整數(shù)約束）輸入LINGO如下：

model:min=3*x1+x2+3*x3+3*x4+x5+x6+3*x7;4*x1+3*x2+2*x3+x4+x5>=50;x2+2*x4+x5+3*x6>=20;x3+x5+2*x7>=15;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);end求解可以得到最優(yōu)解如下：OBJECTIVEFUNCTIONVALUE:27.00000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000003.000000X212.0000001.000000X30.0000003.000000X40.0000003.000000X515.0000001.000000X60.0000001.000000X70.0000003.000000

最優(yōu)解：x2=12,x5=15,其余為0；最優(yōu)值：27。按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米

當余料沒有用處時，通常以總根數(shù)最少為目標目標2（總根數(shù)）鋼管下料問題1約束條件不變最優(yōu)解：x2=15,x5=5,x7=5,其余為0；最優(yōu)值：25。xi為整數(shù)按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米雖余料增加8米，但減少了2根與目標1的結果“共切割27根，余料27米”相比鋼管下料問題2對大規(guī)模問題，用模型的約束條件界定合理模式增加一種需求：5米10根；切割模式不超過3種?，F(xiàn)有4種需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚舉法確定合理切割模式，過于復雜。決策變量

xi~按第i種模式切割的原料鋼管根數(shù)(i=1,2,3)r1i,r2i,r3i,r4i~第i種切割模式下，每根原料鋼管生產4米、5米、6米和8米長的鋼管的數(shù)量滿足需求模式合理：每根余料不超過3米整數(shù)非線性規(guī)劃模型鋼管下料問題2目標函數(shù)（總根數(shù)）約束條件整數(shù)約束：xi,r1i,r2i,r3i,r4i(i=1,2,3)為整數(shù)增加約束，縮小可行域，便于求解原料鋼管總根數(shù)下界：

特殊生產計劃：對每根原料鋼管模式1：切割成4根4米鋼管，需13根；模式2：切割成1根5米和2根6米鋼管，需10根；模式3：切割成2根8米鋼管，需8根。原料鋼管總根數(shù)上界：13+10+8=31模式排列順序可任定

鋼管下料問題2需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根每根原料鋼管長19米將（37）~（46）構成的模型輸入LINGO如下：model:Title鋼管下料

-最小化鋼管根數(shù)的LINGO模型;min=x1+x2+x3;x1*r11+x2*r12+x3*r13>=50;x1*r21+x2*r22+x3*r23>=10;x1*r31+x2*r32+x3*r33>=20;x1*r41+x2*r42+x3*r43>=15;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41<=19;4*r12+5*r22+6*r32+8*r42<=19;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43<=19;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41>=16;4*r12+5*r22+6*r32+8*r42>=16;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43>=16;x1+x2+x3>=26;x1+x2+x3<=31;x1>=x2;x2>=x3;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);end

LINGO求解整數(shù)非線性規(guī)劃模型Localoptimalsolutionfoundatiteration:12211Objectivevalue:28.00000VariableValueReducedCostX110.000000.000000X210.00000