4.3對數(shù)4.3.1對數(shù)的概念【情境探究】某種細(xì)胞分裂時(shí),由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè)……以此類推.回答下列問題:問題1.1個(gè)這樣的細(xì)胞分裂2次得到多少個(gè)細(xì)胞?分裂x次得到多少個(gè)細(xì)胞?提示:分裂2次得到4個(gè)細(xì)胞,分裂x次得到2x個(gè)細(xì)胞.問題2.分裂多少次可得到8個(gè),16個(gè)呢?如何求解?提示:設(shè)分裂x次可得到8個(gè),即2x=8=23,故x=3,所以分裂3次可得到8個(gè),同理由2x=16可得x=4.必備知識生成x=N,如何表示x呢?提示:x=logaN.【知識生成】如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做_______________,記作_______,其中a叫做___________,N叫做_____.將以10為底的對數(shù)叫做_________,log10N可簡記為_____.

3.自然對數(shù):以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù),記為_____.

以a為底N的對數(shù)x=logaN對數(shù)的底數(shù)真數(shù)常用對數(shù)lgNlnN(1)_________沒有對數(shù),即logaN中N必須大于零.(2)1的對數(shù)為0,即_______.(3)底數(shù)的對數(shù)為1,即_______.5.對數(shù)恒等式:=N(a>0,a≠1).負(fù)數(shù)和零loga1=0logaa=1關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一對數(shù)的概念【典例1】將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化:(1)log216=4.(2)=6.(3)43=64.(4)3-2=.【思維導(dǎo)引】根據(jù)ax=N?x=logaN(a>0且a≠1)求解即可.【解析】(1)因?yàn)閘og216=4,所以24=16.(2)因?yàn)?6,所以()6=x.(3)因?yàn)?3=64,所以log464=3.(4)因?yàn)?-2=,所以log3=-2.【類題通法】指數(shù)式與對數(shù)式互化的方法技巧(1)指數(shù)式化為對數(shù)式:將指數(shù)式的冪作為真數(shù),指數(shù)作為對數(shù),底數(shù)不變,寫出對數(shù)式.(2)對數(shù)式化為指數(shù)式:將對數(shù)式的真數(shù)作為冪,對數(shù)作為指數(shù),底數(shù)不變,寫出指數(shù)式.指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系如圖所示:提醒:互化時(shí)應(yīng)注意的問題(1)利用對數(shù)式與指數(shù)式間的互化公式互化時(shí),要注意字母的位置改變.(2)對數(shù)式的書寫要規(guī)范:底數(shù)a要寫在符號“l(fā)og”的右下角,真數(shù)正常表示.【定向訓(xùn)練】將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式:(1)54=625.(2)2-6=.(3)3a=27.(4)=5.73.【解析】(1)log5625=4.(2)log2=-6.(3)log327=a.(4)=m.探究點(diǎn)二對數(shù)的計(jì)算【典例2】(1)求下列各式的值.①log381=________;

②ln=________.

(2)求下列各式中x的值.①logx27=;②log2x=;③x=log27; ④x=.【思維導(dǎo)引】利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化求值.【解析】(1)①設(shè)log381=x,則3x=81=34,所以x=4,即log381=4.答案:4②設(shè)ln=x,則ex=,所以x=,所以.答案:

(2)①因?yàn)閘ogx27=,所以=27,即x==32=9.②因?yàn)閘og2x=,所以=x,即x=.③因?yàn)閤=log27,所以27x=,即33x=3-2,所以x=.④因?yàn)閤=,所以=16,所以2-x=24,所以x=-4.【類題通法】求對數(shù)值的一般步驟(1)設(shè):設(shè)出所求對數(shù)值.(2)化:把對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式.(3)解:解有關(guān)方程求得結(jié)果.【定向訓(xùn)練】下列各式:①lg(lg10)=0;②lg=0;③若10=lgx,則x=100;④若log25x=,則x=±5,其中正確的個(gè)數(shù)有 ()【解析】選B.對于①,因?yàn)閘g10=1,lg1=0,所以lg(lg10)=lg1=0,故①正確;對于②,因?yàn)閘ne=1,lg1=0,所以lg(lne)=lg1=0,故②正確;對于③,因?yàn)?0=lgx?1010=x,故③錯(cuò)誤;對于④,因?yàn)閘og25x=?=x?x=5,故④錯(cuò)誤.探究點(diǎn)三對數(shù)恒等式與對數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【典例3】已知log7[log3(log2x)]=0,那么=________.

【思維導(dǎo)引】借助對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【解析】因?yàn)閘og7[log3(log2x)]=0,所以log3(log2x)=1,即log2x=3,故x=23=8,所以答案:

【類題通法】(1)求多重對數(shù)式的值的解題方法是由內(nèi)到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值.(2)已知多重對數(shù)式的值,求變量值,應(yīng)從外到內(nèi)求,逐步脫去“l(fā)og”后再求解.2.對數(shù)恒等式=N的應(yīng)用(1)能直接應(yīng)用對數(shù)恒等式的直接應(yīng)用即可.(2)不能直接應(yīng)用對數(shù)恒等式的情況按以下步驟求解.【定向訓(xùn)練】已知log5[log3(log2a)]=0,計(jì)算的值.【解析】因?yàn)閘og5[log3(log2a)]=0,所以log3(log2a)=1,即log2a=3.所以a=23=8.所以原式==a2=64.對數(shù)的概念核心知識方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)變形：對于不能夠直接應(yīng)用對數(shù)恒等式求解的情況，需借助指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行變形對數(shù)式與指數(shù)式互化時(shí)，注意字母的位置的變化對數(shù)式的書寫要規(guī)范，特別是底數(shù)的書寫邏輯推理：通過對數(shù)概念的形成，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過對數(shù)的運(yùn)算及對數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)概念對數(shù)恒等式性質(zhì)課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)5(log2x)=1,則x= ()【解析】5(log2x)=1,所以log2x=5,所以x=25=32.2.已知函數(shù)f(x)=則=________.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=則=log2=-3,=-4.答案:-4(a-4)(6-a)中,實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】依題意應(yīng)有故4<a<6,且a≠5.答案:4<a<6,且a≠54.將下