第六章機(jī)器人動(dòng)力學(xué)2023/7/261本章主要內(nèi)容

（1）機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究概述；（2）拉格朗日動(dòng)力學(xué)方法；（3）操作機(jī)的動(dòng)力學(xué)分析；（4）二連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析；（5）倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析；（6）機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程一般形式；（7）考慮非剛體效應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程。2023/7/262023/7/266.1

機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究概述

6.1

機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究概述

本章將在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)上考慮到力對(duì)具有一定質(zhì)量或慣量的物體運(yùn)動(dòng)的影響，從而引入機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問題；機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究機(jī)器人動(dòng)態(tài)方程的建立，它是一組描述機(jī)器人動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)方程；目前主要采用兩種理論來建立數(shù)學(xué)模型：（1）動(dòng)力學(xué)基本理論，包括牛頓－歐拉方程（2）拉格朗日力學(xué)，特別是二階拉格朗日方程如同運(yùn)動(dòng)學(xué)，動(dòng)力學(xué)也有兩個(gè)相反問題（1）正問題（2）逆問題2023/7/264動(dòng)力學(xué)的兩個(gè)相反問題動(dòng)力學(xué)正問題：已知機(jī)械手各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度（即運(yùn)動(dòng)軌跡），主要用于機(jī)器人仿真。動(dòng)力學(xué)逆問題：已知機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)軌跡，即幾個(gè)關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求各關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動(dòng)力或力矩，用于機(jī)器人實(shí)時(shí)控制。求解動(dòng)力學(xué)方程的目的，通常是為了得到機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程，即一旦給定輸入的力或力矩，就確定了系統(tǒng)地運(yùn)動(dòng)結(jié)果。動(dòng)力學(xué)方程的一般形式：式中分別表示力矩、力、角位移和線位移2023/7/265牛頓－歐拉方程牛頓方程……面向平動(dòng)歐拉方程……面向轉(zhuǎn)動(dòng)

式中Jc物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

ω物體角速度

τ

力矩2023/7/2666.2

拉格朗日動(dòng)力學(xué)方法

6.2.1

用于保守系統(tǒng)的拉格朗日方程

在《分析力學(xué)》一書中Lagrange是用s個(gè)獨(dú)立變量來描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)，這是一組二階微分方程。通常把這一方程叫做Lagrange方程，其基本形式為

其中，是所研究力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)；是作用在此力學(xué)體系上的廣義力；

T

是系統(tǒng)總動(dòng)能。分析力學(xué)注重的不是力和加速度，而是具有更廣泛意義的能量，擴(kuò)大了坐標(biāo)的概念。2023/7/2676.2.2

用于非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程

對(duì)于同時(shí)受到保守力和耗散力作用的、由n個(gè)關(guān)節(jié)部件組成的機(jī)械系統(tǒng)，其Lagrange方程應(yīng)為

其中，為廣義坐標(biāo)，表示為系統(tǒng)中的線位移或角位移的變量；為作用在系統(tǒng)上的廣義力；是系統(tǒng)總的動(dòng)能、勢能和耗散能，分別為2023/7/2686.2.3

拉格朗日函數(shù)方法

對(duì)于具有外力作用的非保守機(jī)械系統(tǒng)，其拉格朗日動(dòng)力學(xué)函數(shù)L可定義為式中T——系統(tǒng)總的動(dòng)能；V——系統(tǒng)總的勢能

若操作機(jī)的執(zhí)行元件控制某個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)變量θ時(shí)，則執(zhí)行元件的總力矩應(yīng)為

若操作機(jī)的執(zhí)行元件控制某個(gè)移動(dòng)變量r時(shí)，則施加在運(yùn)動(dòng)方向r上的力應(yīng)為

2023/7/2696.2.4

拉格朗日方程的特點(diǎn)

它是以廣義坐標(biāo)表達(dá)的任意完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度數(shù)是一致的；理想約束反力不出現(xiàn)在方程組中，因此建立運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)只需分析已知的主動(dòng)力，而不必分析未知的約束反力；Lagrange方程是以能量觀點(diǎn)建立起來的運(yùn)動(dòng)方程式，為了列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式，只需要從兩個(gè)方面去分析，一個(gè)是表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)量—系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能，另一個(gè)是表征主動(dòng)力作用的動(dòng)力學(xué)量—廣義力。因此用Lagrange方程來求解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以大大簡化建模過程。

2023/7/26102023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/26例6.3

操作機(jī)的動(dòng)力學(xué)分析

6.3.1

操作機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型操作機(jī)的物理學(xué)模型

加上負(fù)載的操作機(jī)

2023/7/26186.3.2

建立拉格朗日函數(shù)

（1）求動(dòng)能T

先對(duì)求

顯然

而于是由于根據(jù)動(dòng)能的公式

2023/7/2619再對(duì)求由于

且有則得總動(dòng)能

2023/7/2620（2）求勢能V

根據(jù)勢能的公式式中為垂直高度，則對(duì)于有

對(duì)于有

得總勢能

（3）求得拉格朗日函數(shù)L

2023/7/26216.3.3

廣義力的計(jì)算

（1）求力矩

繞轉(zhuǎn)動(dòng)執(zhí)行元件施加的力矩

則式中第一項(xiàng)為慣性項(xiàng)，第二項(xiàng)為哥氏項(xiàng)，第三項(xiàng)為重力項(xiàng)。2023/7/2622（2）求移動(dòng)力

則式中第一項(xiàng)為慣性項(xiàng)，第二項(xiàng)為向心項(xiàng)，第三項(xiàng)為重力項(xiàng)。

通過線運(yùn)動(dòng)執(zhí)行元件施加的直線力

2023/7/26236.3.4

應(yīng)用實(shí)例分析

例6-1已知：對(duì)于操作機(jī)

對(duì)于下面的三種工作情況，試估算力矩。（1）手臂水平，并伸至全長，靜止，（2）手臂水平，并伸至全長，以最大速率運(yùn)動(dòng)，（3）手臂水平，并伸至全長，承受最大轉(zhuǎn)動(dòng)加速度，2023/7/2624解：（1）手臂水平，并伸至全長，靜止，由已知條件可得則有2023/7/2625則解：（2）手臂水平，并伸至全長，以最大速率運(yùn)動(dòng)，由已知條件可得則有2023/7/2626則解：（3）手臂水平，并伸至全長，承受最大轉(zhuǎn)動(dòng)加速度，由已知條件可得則有2023/7/2627則結(jié)果分析：

(1)為重力項(xiàng)，通常它遠(yuǎn)大于其它項(xiàng)；

(2)當(dāng)時(shí)，即當(dāng)手臂垂直時(shí)，，可見重力負(fù)載的變化很大；

(3)當(dāng)很小時(shí)，包含的項(xiàng)趨于零；

(4)通常采用只包括重力項(xiàng)和慣性項(xiàng)的公式就可得到比較滿意的結(jié)果，即采用如下簡化公式

2023/7/26282023/7/26例6-4：2023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/26把前面公式進(jìn)行概況，有：2023/7/266.5

倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

rθ○○導(dǎo)軌小車

擺體驅(qū)動(dòng)放大器計(jì)算機(jī)位角檢測倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2023/7/2647二級(jí)倒立擺系統(tǒng)平衡控制2023/7/2648除皮帶外，全部對(duì)象（擺體、小車、導(dǎo)軌等）均視為剛體；各部分的摩擦力（力矩）與相對(duì)速度（角速度）成正比；施加在小車上的驅(qū)動(dòng)力與加在功率放大器上的輸入電壓u成正比，比例系數(shù)設(shè)為G0；皮帶輪與傳送帶之間無滑動(dòng)，傳送帶無伸長現(xiàn)象；信號(hào)與力的傳遞無延時(shí)。

6.5.1

倒立擺系統(tǒng)與基本假設(shè)

2023/7/2649

首先介紹一下均勻桿（長度為2L，質(zhì)量為m）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算。

當(dāng)均勻桿繞一端轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

由得通常給出桿相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

所以2023/7/26506.5.2

用牛頓力學(xué)的方法來建立動(dòng)力學(xué)模型

（1）小車部分

小車質(zhì)量

小車滑動(dòng)摩擦系數(shù)擺體對(duì)小車作用力的水平分量

擺體對(duì)小車作用力的垂直分量N

軌道反力m0rF&0or(X)uG02023/7/2651考慮到小車只有水平方向（X）的運(yùn)動(dòng)，故可列寫小車運(yùn)動(dòng)方程m0rF&0or(X)uG02023/7/2652（2）擺體部分

L2

m1

擺體質(zhì)量

L

擺體質(zhì)心c到支點(diǎn)距離

F1

擺體轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦系數(shù)

J1c擺體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

J1擺體繞支點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小車對(duì)擺體作用力的水平分量小車對(duì)擺體作用力的垂直分量

考慮到擺體為一平面運(yùn)動(dòng)體，則其運(yùn)動(dòng)可以分解為平動(dòng)和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。于是有質(zhì)心加速度＝質(zhì)心平動(dòng)加速度＋繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)加速度2023/7/2653計(jì)算質(zhì)心加速度水平分量為：

垂直分量為：

列寫擺體動(dòng)力學(xué)方程式（平動(dòng)部分）

L22023/7/2654列寫擺體動(dòng)力學(xué)方程式

（轉(zhuǎn)動(dòng)部分）代入，整理可得L22023/7/2655考慮到

將代入小車方程（1），可得列寫擺體動(dòng)力學(xué)方程式

（轉(zhuǎn)動(dòng)部分）2023/7/2656二方程聯(lián)立，可得矩陣形式對(duì)應(yīng)于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)一般形式慣性項(xiàng)向心項(xiàng)哥氏項(xiàng)重力項(xiàng)廣義力2023/7/26576.5.3

用拉格朗日方程法建立動(dòng)力學(xué)模型

應(yīng)用非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程，則小車和擺體的動(dòng)能、勢能和耗散能分別為：

2023/7/2658L2當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是有應(yīng)用非保守機(jī)械系統(tǒng)的拉格朗日方程公式

2023/7/2659當(dāng)時(shí)，即對(duì)小車而言2023/7/2660當(dāng)時(shí)，即對(duì)擺體而言2023/7/2661于是可以得到與6.4.2相同的結(jié)果。

得到單級(jí)倒立擺的動(dòng)力學(xué)方程為當(dāng)考慮在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)附近的線性化時(shí)，可令于是可得簡化動(dòng)力學(xué)方程2023/7/26626.5.4

用拉格朗日函數(shù)法建立動(dòng)力學(xué)模型

本節(jié)應(yīng)用拉格朗日函數(shù)，也可以求解這一問題。

建立Lagrange函數(shù)

L=T–V

小車部分?jǐn)[體部分則2023/7/2663對(duì)于小車（r）而言（見6.2.3節(jié)）右式：左式：得第一個(gè)方程2023/7/2664對(duì)于擺（θ）而言

得第二個(gè)方程寫成矩陣形式，便得到與前兩種方法基本一樣的結(jié)果。右式：左式＝2023/7/2665平衡點(diǎn)附近簡化形式三種算法結(jié)果對(duì)比6.4.2

應(yīng)用牛頓方程推導(dǎo)，寫成矢量形式得

6.4.3應(yīng)用非保守機(jī)械系統(tǒng)的拉格朗日方程公式

6.4.4應(yīng)用拉格朗日函數(shù)法求解2023/7/2666差異來自以下兩點(diǎn)1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參考點(diǎn)的差異當(dāng)均勻桿繞一端轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：通常給出桿相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：所以2近似線性化過程（當(dāng)很小時(shí)）2023/7/26672023/7/266.6機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的一般形式2023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/266.7考慮非剛體效應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程需要指出的是，前面推導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)方程不能包含全部作用于操作臂上的力，只是包含了剛體力學(xué)中的那些力，而沒有包含摩擦力。然而，摩擦力也是一種非常重要的力，所有機(jī)構(gòu)都必然受到摩擦力的影響。在目前機(jī)器人的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，例如被普遍采用的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，由于摩擦力產(chǎn)生的力是相當(dāng)大的，即在典型工況下大約為操作臂驅(qū)動(dòng)力矩的25％左右。2023/7/2676

為了使動(dòng)力學(xué)方程能夠反映實(shí)際的工況，建立機(jī)器人的摩擦力模型是非常必要的。其中，最簡單的摩擦力模型就是粘性摩擦，摩擦力矩與關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度成正比，因此有：

式中，v是粘性摩擦系數(shù)。另一個(gè)摩擦力模型是庫侖摩擦，它是一個(gè)常數(shù)，符號(hào)取決于關(guān)節(jié)速度，即：

式中，c是庫侖摩擦系數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，c值一般取為1，通常稱為靜摩擦系數(shù)；當(dāng)不等于0時(shí)，c值小于1，稱為動(dòng)摩擦系數(shù)。2023/7/2677

對(duì)某個(gè)操作臂來說，采用粘性摩擦模型還是庫侖摩擦模型是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，這與潤滑情況及其它影響因素有關(guān)。比較合理的模型是二者兼顧，即：在許多操作臂關(guān)節(jié)中，