第頁（八年級下冊）海盜作飛虎影視工作室 如何學好初中數(shù)學數(shù)學從古至今在人們的生產(chǎn)生活中占據(jù)了非常重要的地位，隨著時代的發(fā)展和人們需求的增加，所以我們更要學好數(shù)學！一、學習數(shù)學的幾個方面：課前：預習，畫出自己不理解的地方上課時：認真聽講，并做到“四到”（即心到,上課時將自己在預習的難點作重點聽并對有寫內(nèi)容作記憶；口到，上課時緊跟著老師的步伐有時候要跟著老師后面說以加深印象；眼到，上課時眼睛要緊跟著老師的步伐，看著老師在黑板上的板書；④手到，上課時要能動手主動在草稿紙上寫寫畫畫，做好課堂筆記。）課后：復習時必不可少的一個環(huán)節(jié)，在每門功課上每天不需要花太多的時間來將一天中的知識點做個回顧（可以是在你將睡覺前的時候花一點時間回顧一下）作業(yè)：每當我們學習了一個知識點的時候，我們要做的是采用做題這種最原始也是最有效的方法來鞏固我們的知識（在作業(yè)時要獨立思考切記不可抄襲）。在作業(yè)中我們會發(fā)現(xiàn)一些問題，這時就是我們來查漏補缺的最佳時間，當我們發(fā)現(xiàn)了問題我們就得學著去獨立地解決問題。怎樣才能算是掌握了知識點學會理解：數(shù)學屬于理科，對于理科我們更多的是采用理解解決問題的方法，要能做到觸類旁通、舉一反三。思維的建立：數(shù)學是由若干個小的知識點聚合成的，我們一定要培養(yǎng)按照由“點→線→面”的思維將整個初中數(shù)學的各個知識點串聯(lián)起來，并在腦海中形成一個整體的框架。解決問題時的思維方式的轉變面對任何問題無非于這幾個步驟:審題：理清題意，明確題目中要你解決的問題選擇解題的途徑反思為什么選擇這個方法列式，求解檢驗作答紫色郁金香分式16.1分式16.1.1從分數(shù)到分式（1）我們知道，可以寫成，所以我們也可以將寫成，所以我們可以得到分式的一般概念：一般的，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，則代數(shù)式就叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。【例1】填空：（1）當x時，分式有意義。（2）當x時，分式有意義。（3）當b____時，分式有意義。（4）當x、y滿足關系時，分式有意義。解：（1）當分母3x≠0時，x≠0時，分式有意義。（2）當分母x-1≠0時，x≠1時，分式有意義。（3)當分母5-3b≠0時，b≠時，分式有意義。(4)當分母x-y≠0時，x≠y時，分式有意義。分式有意義、無意義、等于零、大于零、小于零的條件：分是有意義的條件：分母不等于零分式無意義的條件：分母等于零分數(shù)的值等于零的條件：分子等于零且分母不等于零④分式的值為正的條件：分子、分母同號⑤分式的值為負的條件：分子、分母異號題型一：考查分式的定義【例1】下列代數(shù)式中：，是分式的有： .題型二：考查分式有意義的條件【例2】當有何值時，下列分式有意義（1） （2） （3） （4） （5）題型三：考查分式的值為0的條件【例3】當取何值時，下列分式的值為0.（1） （2） （3）題型四：考查分式的值為正、負的條件【例4】（1）當為何值時，分式為正；（2）當為何值時，分式為負；（3）當為何值時，分式為非負數(shù).（3）有理式的定義 整式整式和分式統(tǒng)稱為有理式,即有理式16.1.2分式的基本性質 分式分式的基本性質分式的分母和分子都乘（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。用式子表示為=,=(其中M是不等于零的整式）（注：1.基本性質中的ABM表示的是整式，其中B不等于0是已知條件中的隱含條件，一般在解題的時候不需要強調(diào)，M不等于0是在解題過程中的附加條件，在運用分式的基本性質時必須強調(diào)M不等于0.2.應用分式的基本性質時，要深刻理解“都”和“同”兩個字的含義，避免犯只乘分母一項的錯誤。）題型一：化分數(shù)系數(shù)、小數(shù)系數(shù)為整數(shù)系數(shù)【例1】不改變分式的值，把分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1） （2）題型二：分數(shù)的系數(shù)變號【例2】不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的首項的符號變?yōu)檎?（1） （2） （3）題型三：化簡求值題【例3】已知：，求的值.提示：整體代入，①，②轉化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.分式的約分分式的約分根據(jù)分式的基本性質，把一個分式的分子和分母分別除以它們的公因式，叫做分式的約分。（約分的關鍵是確立分子和分母的公因式。）確立分子和分母公因式的方法：如果分子分母都是單項式，取他們系數(shù)的最大公約數(shù)于相同字母的最低次冪的積就是他們的公因式;如果分子分母是多項式，要先把多項式分解因式，再找公因式。最簡分式：分式和分母沒有公因式的分式?！纠堪严铝懈魇郊s分：(3)(4)(5)；(6)分式的通分分式的通分：根據(jù)分式的基本性質，把幾個異分母的分式化成同分母的分式，叫做式子的通分。（通分的關鍵是確定幾個分式的最簡公分母。）最簡公分母的確定方法：最簡公分母的系數(shù)，取各個分母系數(shù)的最小公倍數(shù)：最簡公分母的字母因式，取各個分母所有字母因式的最高次冪的積：如果分母是多項式，則首先將多項式分解因式?！纠?】、、【例2】、把分式中的分子，分母的同時縮小3倍，則分式的值是（）A、擴大3倍 B、縮小3倍C、改變D、不改變[練習]（1）（2）（3）（4）16.2分式的運算16.2.1分式的加減同分母分式的加減運算法則同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。即：（注：“把分子相加減”是把各個分式的“分子的整體相加減”，即各個分子都應該有括號，當分子是單項式時，括號可以省略；當分子時多項式時，括號不能省略。）異分母分式的加減運算法則先通分，再加減；即：。（注：1.若加減運算中含有整式，應視為分母為1，進行通分。2.分式相加減所得的結果應化為最簡分式或整式。）【例1】計算：（1）eq\f(5x+3y,x2-y2)－eq\f(2x,x2-y2)(2)eq\f(1,2p+3q)+eq\f(1,2p-3q)分析：這兩題就是分式加減法的運用。（1）是同分母分式的加減法，直接用法則就可以了。（2）是異分母分式的加減法，過程是先通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質，化為同分母分式，然后再加減。師生共同來解兩個題。教師寫出解題過程。解：（1）原式＝eq\f(5x+3y-2x,x2-y2)=eq\f(3x+3y,x2-y2)=eq\f(3(x+y),(x+y)(x-y))=eq\f(3,x+y)（2）原式＝eq\f(1(2p-3q),(2p+3q)(2p-3q))+eq\f(1(2p+3q),(2p+3q)(2p-3q))=eq\f(2p-3q+2p+3q,(2p+3q)(2p-3q))=eq\f(4p,(2p+3q)(2p-3q))=eq\f(4p,4p2-9q2)。16.2.2分式的乘除分式的乘法法則分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積做積的分母；用式子表示為：。分式的除法法則分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，及被除式相乘，用式子表示為。（注：在運算時要注意分式的除法是乘法的逆運算，進行除法就是轉化為乘法進行。對于運算的結果要進行化簡，一定要約分。）分式的乘法：分式的乘法法則分式乘方要把分子、分母分別乘方，即：=【例】．先化簡后求值（1），其中滿足.（2）已知，求的值.（3）．已知：，試求、的值.整數(shù)指數(shù)冪及科學記數(shù)法題型一：運用整數(shù)指數(shù)冪計算【例1】計算：（1） （2）（3） （4）題型二：化簡求值題【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.題型三：科學記數(shù)法的計算【例3】計算：（1）；（2）.16.3分式方程（1）分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程，叫做分式方程。（2）解分式方程的基本思想把分式方程轉化為整式方程，再運用整式方程的解法求解，而化為整式方程的過程是利用分式的基本性質和等式的基本性質通過去分母來完成的。（2）解分式方程的一般方法和步驟在分式的兩邊同時乘以公分母，把原方程化為整式方程，即去分母。解這個整式方程驗根，把整式方程的根帶入到最簡公分母中，使得最簡公分母不等于零的根是原方程的根。使最簡公分母為零的根為原方程的增根，必須舍去。（4）增根產(chǎn)生的原因再解分式方程的時候，我們在方程的兩邊同時乘以含有未知數(shù)的代數(shù)式，從而將其化為整式方程，在此過程中，分母不為0的限制被無形的取消了，這樣就使未知數(shù)的取值范圍擴大了，這樣也就產(chǎn)生了增根，因此我們在解分式方程的時候一定要驗根。列分式方程解應用題的步驟：審題，了解已知量和所求量各是什么；設出未知量；找出相等關系，列車分式方程；④解這個分式方程；⑤檢驗，看所求解是否滿足題意；⑥寫出答案；（一）分式方程題型分析題型一：用常規(guī)方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）；（2）；（3）；（4）易出錯的幾個問題：①分子不添括號；②漏乘整數(shù)項；③約去相同因式至使漏根；④忘記驗根.題型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）；（2）提示：（1）換元法，設；（2）裂項法，.【例3】解下列方程組題型三：求待定字母的值【例4】若關于的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正數(shù)，求的取值范圍.提示：且，且.題型四：解含有字母系數(shù)的方程【例6】解關于的方程提示：（1）是已知數(shù)；（2）.題型五：列分式方程解應用題1．解下列方程：（1）； （2）（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程轉化為整式方程，通常的方法是去分母，并且要檢驗，但對一些特殊的分式方程，可根據(jù)其特征，采取靈活的方法求解，現(xiàn)舉例如下：一、交叉相乘法【例1】．解方程：二、化歸法【例2】．解方程：三、左邊通分法【例3】：解方程：四、分子對等法【例4】．解方程：五、觀察比較法【例5】．解方程：六、分離常數(shù)法【例6】．解方程：七、分組通分法【例7】．解方程：（三）分式方程求待定字母值的方法【例1】．若分式方程無解，求的值?！纠?．】若關于的方程不會產(chǎn)生增根，求的值?！纠?】．若關于分式方程有增根，求的值?！纠?】．若關于的方程有增分式方程的應用:【例】．(2006年長春市)A城市每立方米水的水費是B城市的1.25倍，同樣交水費20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，則A、B兩城市每立方米水的水費各是多少元？分析：本題只要抓住兩城市的水相差2立方米的等量關系列方程即可解：設B城市每立方米水的水費為x元，則A城市為1.25x元 解得x=2經(jīng)檢驗x=2是原方程的解。1.25x=2.5（元）答：B城市每立方米水費2元，A城市每立方米2.5元。點評：收繳水、電費的問題是貼近生活的熱點問題，是老百姓最關心的問題之一，體現(xiàn)了數(shù)學的實用性的理念【例】（2006年日照市）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程擬在30天內(nèi)（含30天）完成．現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊，從這兩個工程隊資質材料可知：若兩隊合做24天恰好完成；若兩隊合做18天后，甲工程隊再單獨做10天，也恰好完成．請問：（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需多少天？（2）已知甲工程隊每天的施工費用為0．6萬元，乙工程隊每天的施工費用為0．35萬元，要使該工程的施工費用最低，甲、乙兩隊各做多少天（同時施工即為合做）？最低施工費用解：（1）設：甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需x天、y天，由題意得方程組：，解之得：x=40，y=60．（2）已知甲工程隊每天的施工費用為0．6萬元，乙工程隊每天的施工費用為0．35萬元，根據(jù)題意，要使工程在規(guī)定時間內(nèi)完成且施工費用最低，只要使乙工程隊施工30天，其余工程由甲工程隊完成．由（1）知，乙工程隊30天完成工程的，∴甲工程隊需施工÷=20（天）．最低施工費用為0．6×20＋0．35×30=2．25（萬元）．答：（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需40天和60天；（2）要使該工程的施工費最低，甲、乙兩隊各做20天和30天，最低施工費用是2．25萬元．評析：這道考題把對二元一次方程組知識的考察放到貼近生活的熱點話題的背景下，易激活學生的數(shù)學思維．反比例函數(shù)17.1反比例函數(shù)17.1.1反比例函數(shù)的意義在一個變化過程中，如果有兩個變量x及y，并且對于x的每個確定的值，y都有唯一確定的值及其對應，則我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。形如y=kx+b(k、b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)（1）定義：形如y＝（k為常數(shù)，且）的函數(shù)統(tǒng)稱為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。也稱x及y成反比例關系.反比例函數(shù)的表達形式還有，xy＝k（k0）。反比例函數(shù)的特征：自變量x位于分母上，且其次數(shù)是1次；常量k≠0；自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)；④函數(shù)值y的取值范圍是非零實數(shù)；練一練：下列等式中，哪些是反比例函數(shù)（1）（2）（3）xy＝21（4）（5）（6）（7）y＝x－4分析：根據(jù)反比例函數(shù)的定義，關鍵看上面各式能否改寫成（k為常數(shù)，k≠0）的形式，這里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只單獨含x，（6）改寫后是，分子不是常數(shù)，只有（2）、（3）、（5）能寫成定義的形式【例1】：（1）已知y是x的反比例函數(shù)，當x＝2時，y＝8，寫出y及x的關系式，并求當y＝－4時，x的值；（2）已知點（1，-2）在反比例函數(shù)的圖象上，則k=____________。思考：當m取什么值時，函數(shù)是反比例函數(shù)？分析：反比例函數(shù)（k≠0）的另一種表達式是（k≠0），后一種寫法中x的次數(shù)是－1，因此m的取值必須滿足兩個條件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特別注意不要遺漏k≠0這一條件，也要防止出現(xiàn)3－m2＝1的錯誤。解得m＝－2反比例函數(shù)的圖象和性質和一次函數(shù)一樣，反比例函數(shù)有表達式法，列表法，圖象法三種反比例函數(shù)的圖像⑴圖像的畫法：描點法列表（應以O為中心，沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)）描點（有小到大的順序）連線（從左到右光滑的曲線）⑵反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，（為常數(shù)，）中自變量，函數(shù)值，所以雙曲線是不經(jīng)過原點，斷開的兩個分支，延伸部分逐漸靠近坐標軸，但是永遠不及坐標軸相交。⑶反比例函數(shù)的圖像即是中心對稱圖形（對稱中心是原點），也是軸對稱圖形（對稱軸是或）。⑷反比例函數(shù)（）中比例系數(shù)的幾何意義是：過雙曲線（）上任意引軸軸的垂線，所得矩形面積為反比例函數(shù)的圖象和性質函數(shù)圖象性質反比例函數(shù)y＝（）k>0雙曲線，位于第一，三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，及x軸，y軸無交點k<0雙曲線，位于第二，四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，及x軸，y軸無交點例題2：（思考）當兩個反比例函數(shù)的k的符號相同時，k對函數(shù)圖象的影響練一練：在右面的平面直角坐標系中畫出函數(shù)，和的圖象，比較這三個函數(shù)圖象的特點。例題3：如圖是三個反比例函數(shù)，在x軸上方的圖像，由此觀察得到kl、k2、k3的大小關系為（）A.k1>k2>k3B.k3>k2>k1C.k2>k3>k1D.k3>k1>k217.1.3反比例函數(shù)圖象解析式的確立我們知道反比例函數(shù)的解析式是y=，在這個式子中，只有一個待定系數(shù)k，確定了k的值，也就確定了反比例函數(shù)的，所以我們只要有一組x、y的對應的值或圖像上一點的坐標，帶入y=中求出k的值?！纠浚阂阎幢壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過點（1，-2），則這個函數(shù)的表達式是___________，當x<0時，y隨著自變量x的值的增大而__________。17.2反比例函數(shù)的應用在實際生活中，我們通常會應用反比例函數(shù)的的知識建立數(shù)學模型來解決實際問題?！纠咳绻淮魏瘮?shù)相交于點（），則該直線及雙曲線的另一個交點為（）【解析】勾股定理18.1勾股定律勾股定理的內(nèi)容如果直角三角形的兩直角邊分別是a，b，斜邊長為c，則：勾股定理的作用已知直角三角形的兩邊，求第三邊；已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關系；用于證明平方關系的問題；④利用勾股定理，做出的線段?！纠?】考點一、已知兩邊求第三邊在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為1cm，2cm，則斜邊長為_____________．已知直角三角形的兩邊長為3、2，則另一條邊長是________________．在數(shù)軸上作出表示的點．4．已知，如圖在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是邊BC上的高．求①AD的長；②ΔABC的面積．【例2】考點二、利用列方程求線段的長ADEBC5．如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DAADEBC6．如圖，某學校（A點）及公路（直線L）的距離為300米，又及公路車站（D點）的距離為500米，現(xiàn)要在公路上建一個小商店（C點），使之及該校A及車站D的距離相等，求商店及車站之間的距離．【例3】考點三、判別一個三角形是否是直角三角形分別以下列四組數(shù)為一個三角形的邊長：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能夠成直角三角形的有8、若三角形的三別是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),則這個三角形是18.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理的內(nèi)容如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，則這個三角形是直角三角形。（注：當c2≠a2+b2時，有兩種情況：1.當c2>a2+b2三角形鈍角三角形2.當c2<a2+b2三角形銳角三角形）【例1】：判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形分析：根據(jù)勾股定理的逆定理,判斷一個三角形是不是直角三角形,只要看兩條較短邊長的平方和是否等于最長邊長的平方.a=7，b=25，分析：根據(jù)勾股定理的逆定理,判斷一個三角形是不是直角三角形,只要看兩條較短邊長的平方和是否等于最長邊長的平方.解：最大邊為25∵a2+c2=72+242=49+576=625b2=252=625∴a2+c2=b2∴以7，25，24為邊長的三角形是直角三角形.18.3勾股定理的應用將實際問題轉化為“應用勾股定理及其逆定理解直角三角形的數(shù)學題”.【例2】如圖14.2.1，一圓柱體的底面周長為20cm，高ＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短路程．分析：螞蟻實際上是在圓柱的半個側面內(nèi)爬行．大家用一張白紙卷折圓柱成圓柱形狀，標出A、B、C、D各點，然后打開，螞蟻在圓柱上爬行的距離，及在平面紙上的距離一樣．AC之間的最短距離是什么？根據(jù)是什么？根據(jù)“兩點之間，線段最短”，所求的最短路程就是側面展開圖矩形ASBCD對角線AC之長．我們可以利用勾股定理計算出AC的長。解如圖，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周長的一半＝１０cm，根據(jù)勾股定理得∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．答：最短路程約為１０．７７cm．【例3】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖14.2.3的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門分析：由于廠門寬度足夠，所以卡車能否通過，只要看當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH．如圖１４.２.３所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CD⊥ＡＢ，及地面交于H．解：OC＝1米(大門寬度一半)，OD＝0.8米（卡車寬度一半）在Rt△OCD中，由勾股定理得ＣＤ＝＝＝０.６米，CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門．第十九章四邊形19.1平行四邊形1.平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．表示：平行四邊形用符號“”來表示．【例1】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，則四邊形ABCD是平行四邊形．平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”．①∵AB//DC,AD//BC，∴四邊形平行四邊形（判定）；②∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB//DC，AD//BC（性質）．注意：平行四邊形中對邊是指無公共點的邊，對角是指不相鄰的角，鄰邊是指有公共端點的邊，鄰角是指有一條公共邊的兩個角．而三角形對邊是指一個角的對邊，對角是指一條邊的對角．平行四邊形的性質平行四邊形的性質（一）平行四邊形性質1：平行四邊形的對邊相等．平行四邊形性質2：平行四邊形的對角相等．【平行四邊形的性質的驗證】這是利用全等三角形的性質得到的。A∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC,AB∥DC∴∠1=∠3,∠2=∠4,又∵AC=CA,∴△ABC≌△CDA∴AB=CD,AD=BCB∵△ABC≌△CDA，∴∠B=∠D,∵∠1=∠3,∠2=∠4,∴∠1+∠2=∠3+∠4,即：∠BAD=∠BCD（注意：作對角線是解決四邊形問題常用的輔助線，通過作對角線，可以把未知問題轉化為已知的關于三角形的問題．）【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=CF，求證：AF=CE．分析：要證AF=CE，需證△ADF≌△CBE，由于四邊形ABCD是平行四邊形，因此有∠D=∠B，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根據(jù)等式性質，可得BE=DF．由“邊角邊”可得出所需要的結論．平行四邊形的性質（二）（1）平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心；（2）平行四邊形的對角線互相平分．四邊形性質的應用例題講解：【例2】已知：如圖4－21，ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF過點O及AB、CD分別相交于點E、F．求證：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．證明：在ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．又OA＝OC(平行四邊形的對角線互相平分)，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形對應邊相等）．∵ABCD，∴AB=CD（平行四邊形對邊相等）．∴AB—AE=CD—CF．即BE=FD．【例3】一個平行四邊形的一個內(nèi)角是它鄰角的3倍，則這個平行四邊形的四個內(nèi)角各是多少度？分析

根據(jù)平行四邊形的對角相等，鄰角互補可以求出四個內(nèi)角的度數(shù)．解

設平行四邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為x，則它的鄰角的度數(shù)為3x，根據(jù)題意，得，解得，∴∴這個平行四邊形的四個內(nèi)角的度數(shù)分別為45°，135°，45°，135°．【例4】

已知：如圖，的周長為60cm，對角線AC、BD相交于點O，的周長比的周長多8cm，求這個平行四邊形各邊的長．分析

由平行四邊形對邊相等，可知平行四邊形周長的一半＝30cm，又由的周長比的周長多8cm，可知cm，由此兩式，可求得各邊的長．解

∵四邊形為平行四邊形，∴答：這個平行四邊形各邊長分別為19cm，11cm，19cm，11cm．說明：得出兩個結論：（1）平行四邊形兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半．（2）平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差．【例5】已知：如圖，在中，交于點O，過O點作EF交AB、CD于E、F，則OE、OF是否相等，說明理由．分析

觀察圖形，，從而可說明證明

：在中，交于O，【例6】已知：如圖，點E在矩形ABCD的邊BC上，且，垂足為F。求證：分析

觀察圖形，及都是直角三角形，且銳角，斜邊，因此這兩個直角三角形全等。在這個圖形中，若連結AE，則及全等，因此可以確定圖中許多有用的相等關系證明

∵四邊形ABCD是矩形，又，【例7】O是ABCD對角線的交點，的周長為59，，，則________，若及的周長之差為15，則______，ABCD的周長=______.

解答：ABCD中，，.

∴的周長在ABCD中，.

∴的周長－的周長∴ABCD的周長說明：本題考查平行四邊形的性質，解題關鍵是將及的周長的差轉化為兩條線段的差.

【例8】

已知：如圖，ABCD的周長是，由鈍角頂點D向AB，BC引兩條高DE，DF，且，.

求這個平行四邊形的面積.

解：設.

∵四邊形ABCD為平行四邊形，又∵四邊形ABCD的周長為36，解由①，②組成的方程組，得.

說明：本題考查平行四邊形的性質及面積公式，解題關鍵是把幾何問題轉化為方程組的問題.

平行四邊形的判定平行四邊形判定方法1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。平行四邊形判定方法2：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。平行四邊形判定方法3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．平行四邊形判定方法4：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（推論：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形．）【例1】如圖，已知：OA=OC,OB=OD,則四邊形ABCD是不是平行四邊形？為什么？解：∵OA=OC,OB=OD,（已知）∠AOD=∠BOC（對頂角相等）,∴△AOD≌△BOC（邊角邊）∴∠OAD=∠OCB,（全等三角形對應角相等）∴AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.同理：AB∥DC∴四邊形ABCD是平行四邊形.（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）.【例2】已知四邊形ABCD中，AD=BC,AD∥BC,則四邊形ABCD為什么是平行四邊形？證明：∵AD∥BC（已知）∴∠1=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵AC=CA(公共邊)∴△ADC≌△CBA(邊角邊)∴∠3=∠4（全等三角形對應角相等）∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴四邊形ABCD是平行四邊形（有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）【例3】已知：如圖AD=BC,AB=DC則四邊形ABCD為什么是平行四邊形？解：∵AD=BC,AB=DC(已知)，AC=CA(公共邊)∴△ABC≌△CDA(邊邊邊)∴∠1=∠2（全等三角形對應角相等）∴AD∥BC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)∴四邊形ABCD是平行四邊形（有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）【例4】已知：如圖，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求證：(1)∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2)△ABC的頂點分別是△B′C′A′各邊的中點．證明：(1)∵A′B′∥BA，C′B′∥BC，∴四邊形ABCB′是平行四邊形．∴∠ABC＝∠B′(平行四邊形的對角相等)．同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．(2)由(1)證得四邊形ABCB′是平行四邊形．同理，四邊形ABA′C是平行四邊形．∴AB＝B′C，AB＝A′C(平行四邊形的對邊相等)．∴B′C＝A′C．同理B′A＝C′A，A′B＝C′B．∴△ABC的頂點A、B、C分別是△B′C′A′的邊B′C′、C′A′、A′B′的中點．【例5】已知：如圖，ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，求證：BE=DF．分析：證明BE=DF，可以證明兩個三角形全等，也可以證明四邊形BEDF是平行四邊形，比較方法，可以看出第二種方法簡單．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，AD=CD．∵E、F分別是AD、BC的中點，∴DE∥BF，且DE=AD，BF=BC．∴DE=BF．∴四邊形BEDF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形平行四邊形）．∴BE=DF．此題綜合運用了平行四邊形的性質和判定，先運用平行四邊形的性質得到判定另一個四邊形是平行四邊形的條件，再應用平行四邊形的性質得出結論；題目雖不復雜，但層次有三，且利用知識較多，因此會使你獲得清晰的證明思路．【例6】已知：如圖，ABCD中，E、F分別是AC上兩點，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．分析：因為BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再證明BE=DF，這需要證明△ABE及△CDF全等，由角角邊即可．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，且AB∥CD．∴∠BAE=∠DCF．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴BE=DF．∴四邊形BEDF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形平行四邊形）．三角形的中位線一、三角形的中位線的概念：連結三角形兩條邊中點的線段叫三角形的中位線【例1】如上圖，連結△ABC的兩條邊AB、AC的中點的連線段EF叫三角形的中位線.二、三角形的中位線的性質：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半【例2】已知：如圖，E、F分別是△ABC的邊AB、AC的中點.求證：EF∥BC，EF=BC.方法1把△ABC繞點E旋轉180o.則點A的像是點B，點B的像是點A，點C的像是點D，設點F的像是點H,H、F必經(jīng)過點E,連結,AD、BD、EF、CD，則EF=EH=HF∵CE=DE,AE=EB,∴四邊形ADBC是平行四邊形.（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∴AC∥DB,AC=DB(平行四邊形的對邊分別平行且相等)∵HB=DB,FC=AC∴HB=FC∴四邊形HBCF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.∴HF=BC，（平行四邊形的對邊相等）∴EF=BC方法2過點C作AB的平行線交EF的延長線于D∵CD∥AB，(所作)∴∠A=∠ACD（兩線平行，內(nèi)錯角相等）又AF=FC，∠AFE=∠CFD∴△AFE≌△CFD(ASA)∴AE=CD(全等三角形的對應邊相等)又AE=EB(已知)，∴BE=CD(等量代換)∴四邊形BCFD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）方法3：如圖，延長EF到D使FD=EF,連接AD、EC、CD.∵AF=FC,EF=FD,∴四邊形AECD是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)∴AE=CD=BE，AB∥CD∴四邊形EBCD是平行四邊形，（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）∴ED=BC(平行四邊形的對邊相等)∴EF=ED=BC.形成結論：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.即：∵EF是△ABC的中位線，∴EF=BC.【例3】順次連結四邊形ABCD各邊中點E，F(xiàn),H,M，得到四邊形EFHM是平行四邊形嗎？為什么？解：連結AC，∵MH是△DAC的中位線，∴MH∥AC，MH=AC（三角形的中位線性質）同理：EF∥AC，EF=AC∴四邊形EFHM是平行四邊形(有一組對邊平行是四邊形是平行四邊形)19.2特殊的平行四邊形19.2.1矩形一、矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長方形)二、矩形的性質：矩形的四個角都是直角．2.矩形的對角線相等．矩形是軸對稱圖形，過每一組對邊中點的直線都是矩形的對稱軸矩形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心（推廣：有性質2有：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．）【例1】已知：如圖，矩形ABCD，AB長8cm，對角線比AD邊長4cm．求AD的長及點A到BD的距離AE的長．分析：（1）因為矩形四個角都是直角，因此矩形中的計算經(jīng)常要用到直角三角形的性質，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計算，這是幾何計算題中常用的方法．略解：設AD=xcm，則對角線長（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：，解得x=6．則AD=6cm．（2）“直角三角形斜邊上的高”是一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關系式：AE×DB＝AD×AB，解得AE＝4.8cm．【例2】已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，DF⊥AE于F，若AE=BC．求證：CE＝EF．分析：CE、EF分別是BC，AE等線段上的一部分，若AF＝BE，則問題解決，而證明AF＝BE，只要證明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易構造全等的直角三角形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC．∴∠1=∠2．∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．∴∠B=∠AFD．又AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AF=BE．∴EF=EC．此題還可以連接DE，證明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．三、矩形的判定方法：1.有三個角是直角的四邊形是矩形2.對角線相等的四邊形是矩形【例3】已知ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△AOB是等邊三角形，AB=4cm，求這個平行四邊形的面積．分析：首先根據(jù)△AOB是等邊三角形及平行四邊形對角線互相平分的性質判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理計算邊長，從而得到面積值．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=AC，BO=BD．∵AO=BO，∴AC=BD．∴ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）．在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，∴BC=（cm）．已知：如圖（1），ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點E，F(xiàn)，G，H．求證：四邊形EFGH是矩形．分析：要證四邊形EFGH是矩形，由于此題目可分解出基本圖形，如圖（2），因此，可選用“三個角是直角的四邊形是矩形”來證明．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∴∠DAB＋∠ABC=180°．∠DAB，BG平分∠ABC，∴∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．∴∠AFB=90°．同理可證∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．∴四邊形EFGH是平行四邊形（有三個角是直角的四邊形是矩形）．19.2.2菱形菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形，叫做菱形（【強調(diào)】菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等．）菱形的性質：1）菱形具有平行四邊形所具有的一切性質.2）菱形的四條邊都相等.3）菱形的對角線互相垂直并且每條對角線平分一組對角.（對角線把它分成四個直角三角形）4）既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形5）菱形的面積等于對角線乘積的一半.（如果一個四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形的面積等于對角線乘積的一半）三、菱形的判定：1.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形2.四邊都相等的四邊形是菱形3.每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形【例1】已知：如圖ABCD的對角線AC的垂直平分線及邊AD、BC分別交于E、F．求證：四邊形AFCE是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥FC．∴∠1=∠2．又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．∴EO=FO．∴四邊形AFCE是平行四邊形．又EF⊥AC，∴AFCE是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)．【例2】已知：如圖，四邊形ABCD，AB=BC=CD=DA求證：四邊形ABCD是菱形證明：∵AB=CD，BC=AD∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）又∵AB=BC∴四邊形ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）【例3】已知：四邊形ABCD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC求證：四邊形ABCD是菱形證明：∵AC平分∠DAB和∠DCB∴∠DAC=∠BAC∠DCA=∠BCA又∵AC=AC∴△ADC≌△ABC（A．S．A．）∴AD=AB，CD=CB同理，∵BD平分∠ABC和∠ADC∴AD=CD，AB=CB∴AB=CD，BC=AD∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）又∵AB=BC∴四邊形ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）正方形一、正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．正方形的判定1）定義：有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形.2）矩形+有一組鄰邊相等3）菱形+有一個角是直角4）既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形注意：其他還有一些判定正方形的方法，但都不能作為定理使用.三、正方形的性質：所以，正方形具有矩形的性質，同時又具有菱形的性質．【例1】已知：如圖，正方形ABCD中，對角線的交點為O，E是OB上的一點，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求證：OE=OF．分析：要證明OE=OF，只需證明△AEO≌△DFO，由于正方形的對角線垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根據(jù)ASA可以得到這兩個三角形全等，故結論可得．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的對角線垂直平分且相等）．又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．∴∠EAO=∠FDO．∴△AEO≌△DFO．∴OE=OF．【例2】已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過點A、C兩點作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直線MB、DN分別交l2于Q、P點．求證：四邊形PQMN是正方形．分析：由已知可以證出四邊形PQMN是矩形，再證△ABM≌△DAN，證出AM=DN，用同樣的方法證AN=DP．即可證出MN=NP．從而得出結論．證明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，∴PN∥QM，∠PNM=90°．∵PQ∥NM，∴四邊形PQMN是矩形．∵四邊形ABCD是正方形∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）．∴∠1+∠2=90°．又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∴△ABM≌△DAN．∴AM=DN．同理AN=DP．∴AM+AN=DN+DP即MN=PN．∴四邊形PQMN是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）．【例3】已知如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分線，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別是E、F。求證：DECF是正方形。證明：DE⊥AC∠DEC=90°DF⊥BC∠DFC=90°四邊形DECF是矩形∠ACB=90°CD平分∠ACBDE⊥ACDE=DFDF⊥BC四邊形DECF是正方形19.2.4梯形定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形．（強調(diào)：①梯形及平行四邊形的區(qū)別和聯(lián)系；②上、下底的概念是由底的長短來定義的，而并不是指位置來說的。（1）一些基本概念（如圖）：底、腰、高．（2）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．（3）直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形．【例1】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求CD的長．分析：設法把已知中所給的條件都移到一個三角形中，便可以解決問題．其方法是：平移一腰，過點A作AE∥DC交BC于E，因此四邊形AECD是平行四邊形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．解（略）．【例2】已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC，BE⊥AC于E．求證：BE＝CD．分析：要證BE=CD，需添加適當?shù)妮o助線，構造全等三角形，其方法是：平移一腰，過點D作DF∥AB交BC于F，因此四邊形ABFD是平行四邊形，則DF=AB，由已知可導出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．證明（略）另證：如圖，根據(jù)題意可構造等腰梯形ABFD，證明△ABE≌△FDC即可．二、等腰梯形的判定：1）證明兩腰相等2）同一底邊上兩個底角相等的梯形是等腰梯形.關注：梯形中常見的幾種輔助線的畫法.對角線相等的梯形是等腰梯形,但不能作為定理.補充：梯形的中位線定理，尤其關注其證明方法.三、關于等腰三角形的一些結論：①等腰梯形是軸對稱圖形，上下底的中點連線是對稱軸．②等腰梯形同一底上的兩個角相等．③等腰梯形的兩條對角線相等．【例3】已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．求證：AB=CD．分析：我們學過“如果一個三角形中有兩個角相等，則它們所對的邊相等．”因此，我們只要能將等腰梯形同一底上的兩個角轉化為等腰三角形的兩個底角，命題就容易證明了．證明方法1：過點D作DE∥AB交BC于點F，得到△DEC．∵AB∥DE，∴∠B=∠1，∵∠B=∠C，∴∠1=∠C．∴DE＝DC．又∵AD∥BC，∴DE＝AB=DC．證明時，可以仿照性質證明時的分析，來添加輔助線DE．證明方法二：用常見的梯形輔助線方點A作AE⊥BC，過D作DF⊥BC，垂足分別為E、F（見圖一）．證明方法三：延長BA、CD相交于點E

（等腰梯形判定方法在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形．）【例4]】證明：對角線相等的梯形是等腰梯形．已知：如圖，梯形ABCD中，對角線AC=BD．求證：梯形ABCD是等腰梯形．分析：證明本題的關鍵是如何利用對角線相等的條件來構造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有兩邊對應相等，要能證∠1=∠2，就可通過證ΔABC≌ΔDCB得到AB=DC．證明：過點D作DE∥AC，交BC的延長線于點E，又AD∥BC，∴四邊形ACED為平行四邊形，∴DE=AC．∵AC=BD，∴DE=BD∴∠1=∠E∵∠2=∠E，∴∠1=∠2又AC=DB，BC=CE，∴ΔABC≌ΔDCB．∴AB=CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．說明：如果AC、BD交于點O，則由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD，即等腰梯形對角線相交，可以得到以交點為頂點的兩個等腰三角形，這個結論雖不能直接引用，但可以為以后解題提供思路．另解：如圖，作AE⊥BC，DF⊥BC，可證RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．【例5】已知：如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，CF⊥BE交BD于G，F(xiàn)是垂足．求證：四邊形ABGE是等腰梯形．分析：先證明OE＝OG，從而說明∠OEG＝45°，得出EG∥AB，由AE，BG延長交于O，顯然EG≠AB．得出四邊形ABGE是梯形，再利用同底上的兩角相等得出它為等腰梯形．【例6】畫一等腰梯形，使它上、下底長分別4cm、12cm，高為3cm，并計算這個等腰梯形的周長和面積．分析：梯形的畫圖題常常通過分析，找出需添加的輔助線，歸結為三角形或平行四邊形的作圖，然后，再根據(jù)它們之間的聯(lián)系，畫出所要求的梯形．如圖，先算出AB長，可畫等腰三角形ABE，然后完成AECD的畫圖．畫法：①畫ΔABE，使BE=12—4=8cm．②延長BE到C使EC=4cm.③分別過A、C作AD∥BC，C