第一章緒論第一章緒論§1.2自動控制系統(tǒng)的基本概念§1.3控制工程基礎(chǔ)的主要任務(wù)與研究內(nèi)容§1.1概述第一章緒論

將控制論同工程實踐結(jié)合在一起形成了工程控制論，因此，控制工程是一門研究控制論在工程中應(yīng)用的科學。控制工程基礎(chǔ)主要闡述自動控制技術(shù)的基礎(chǔ)理論?？刂乒こ袒A(chǔ)：也稱控制理論基礎(chǔ)，主要闡述的是自動控制技術(shù)的基礎(chǔ)理論。

控制論(Cybernetics)是研究生物體、機器及各種不同系統(tǒng)控制和調(diào)節(jié)規(guī)律的科學。它不僅是一門極為重要的科學，而且也是一門卓越的方法論，具有適用于各門科學的思想和方法?！?.1概述一、基本概念第一章緒論控制論生物控制論工程控制論經(jīng)濟控制論社會控制論控制論被廣泛的應(yīng)用到現(xiàn)實生活中的各個領(lǐng)域，是一門重要的方法論?！?.1概述第一章緒論二、控制論的發(fā)展歷史§1.1概述第一階段：20世紀40~50年代為“古典控制理論”發(fā)展時期。單輸入單輸出(SISO)控制系統(tǒng)，線性定常系統(tǒng)?？刂普摰陌l(fā)展起源于18世紀英國第一次技術(shù)革命。第二階段：二十世紀六、七十年代為“現(xiàn)代控制理論”發(fā)展時期。多輸入多輸出(MIMO)、非線性及時變系統(tǒng)。第三階段：二十世紀七十年代末至今，控制論向著“大系統(tǒng)理論”和“智能控制論”發(fā)展。模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制和專家控制等。古典控制理論是基礎(chǔ)，現(xiàn)代控制理論、智能控制理論是古典控制理論的延伸和拓展。第一章緒論§1.2自動控制系統(tǒng)的基本概念一、自動控制系統(tǒng)工作原理人工控制的恒溫箱系統(tǒng)：

1、觀測由檢測元件(溫度計)測出的恒溫箱的溫度(被控制量)；

2、與要求的溫度值(給定值)進行比較，得出偏差的大小和方向；

3、根據(jù)偏差的大小和方向再進行控制：當恒溫箱溫度高于所要求的給定溫度值時，就移動調(diào)壓器使電流減小，溫度降低；若溫度低于給定的值，則移動調(diào)壓器，使電流增加，溫度升高。圖1-1人工控制的恒溫箱“檢測偏差用以糾正偏差”

第一章緒論溫度的偏差信號：圖1-2恒溫箱自動控制系統(tǒng)當溫度偏高時，動觸頭向著減小電流的方向運動，反之加大電流，直到溫度達到給定值為止。即只有在偏差信號時電動機才停轉(zhuǎn)。§1.2自動控制系統(tǒng)的基本概念第一章緒論§1.2自動控制系統(tǒng)的基本概念圖1-3板厚控制簡圖板帶出口厚度信息h由檢測元件測出并反饋到電液伺服系統(tǒng)中，伺服系統(tǒng)發(fā)出控制信號以驅(qū)動液壓缸，從而調(diào)節(jié)軋制輥縫，使得板帶出口厚度h保持在要求的誤差范圍內(nèi)。第一章緒論控制輸出輸入反饋檢測§1.2自動控制系統(tǒng)的基本概念自動控制：自動控制的過程與人工控制過程原理相同，即“檢測偏差用以糾正偏差”。人工控制：人工控制的過程就是測量、求偏差、再控制以糾正偏差的過程，即“檢測偏差用以糾正偏差”。第一章緒論§1.2自動控制系統(tǒng)的基本概念

反饋(Feedback)就是指輸出量通過適當?shù)臋z測裝置將信號全部或一部分返回輸入端，使之與輸入量進行比較。反饋控制原理：基于反饋基礎(chǔ)上的“檢測偏差用以糾正偏差”的原理負反饋(NegativeFeedback)是指反饋信號與系統(tǒng)的輸入信號的方向相反的反饋形式。第一章緒論二、開環(huán)控制與閉環(huán)控制

若系統(tǒng)的輸出量對系統(tǒng)的控制作用沒有影響，即無反饋作用，則系統(tǒng)稱為開環(huán)系統(tǒng)?？刂破鞅豢貙ο筝斎肓縭輸出量y控制量u擾動量n特點：在控制器與被控對象之間只有正向控制作用而沒有反饋控制作用。對于每一個參考輸入量就有一個與之對應(yīng)的工作狀態(tài)和輸出量。系統(tǒng)精度取決于元器件的精度和特性。適用范圍：系統(tǒng)內(nèi)部擾動和外部擾動的影響不大、輸出與輸入關(guān)系確定，且控制精度要求不高的場合。優(yōu)點：結(jié)構(gòu)簡單，容易設(shè)計與調(diào)整對擾動及內(nèi)部參量變化的影響缺乏抑制能力，系統(tǒng)控制精度低。缺點：§1.2自動控制系統(tǒng)的基本概念第一章緒論若系統(tǒng)的輸出量對系統(tǒng)的控制具有反饋作用，則系統(tǒng)稱為閉環(huán)系統(tǒng)。特點：利用負反饋的作用來減小系統(tǒng)的誤差，具有自動修正被控量偏離給定值的作用，因此可以抑制內(nèi)擾和外擾所引起的誤差，達到自動控制的目的。系統(tǒng)精度主要取決于檢測元件的精度和系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)?？梢岳镁炔桓?、成本較低的元器件組成控制精度較高的閉環(huán)控制系統(tǒng)。優(yōu)點：精度高。對擾動及內(nèi)部參量變化的影響具有抑制能力。缺點：系統(tǒng)存在穩(wěn)定性問題，干擾因素多?？刂破鞅豢貙ο筝斎肓縭輸出量y控制量u擾動量n檢測元件偏差e反饋量b§1.2自動控制系統(tǒng)的基本概念第一章緒論控制裝置被控對象輸入量r輸出量y擾動量n反饋元件偏差e反饋量b給定元件：主要用于產(chǎn)生給定信號或輸入信號。反饋元件：它測量被控量或輸出量，產(chǎn)生主反饋信號，該信號與輸出量存在著確定的函數(shù)關(guān)系(通常為比例關(guān)系)。比較元件：用來比較輸入信號和反饋信號之間的偏差?？梢允且粋€差接的電路，它往往不是一個專門的物理元件，有時也叫比較環(huán)節(jié)?？刂蒲b置：由校正裝置、放大器、能量變換、執(zhí)行等元件所組成?？刂茖ο螅嚎刂葡到y(tǒng)所要操縱的對象，它的輸出量即為系統(tǒng)的被控制量。放大元件：對偏差信號進行信號放大和功率放大的元件。執(zhí)行元件：直接對控制對象進行操作的元件。三、閉環(huán)控制系統(tǒng)的基本組成§1.2自動控制系統(tǒng)的基本概念第一章緒論四、自動控制系統(tǒng)的基本類型§1.2自動控制系統(tǒng)的基本概念1．按給定量的運動規(guī)律分(1)恒值調(diào)節(jié)系統(tǒng)：輸入量為常值，或者隨時間緩慢變化。分析重點在克服擾動對輸出量的影響。(2)程序控制系統(tǒng)：輸入量為已知給定的時間函數(shù)，控制過程按預(yù)定程序進行。(3)隨動(伺服)系統(tǒng)：輸入量是時間的未知函數(shù)，即給定量的變化規(guī)律事先無法確定，要求輸出量能夠準確、快速地復(fù)現(xiàn)給定量，如火炮自動瞄準系統(tǒng)、軋機板厚自動控制系統(tǒng)。

2．按系統(tǒng)線性特性分

(1)線性系統(tǒng)系統(tǒng)：系統(tǒng)的元器件特性均為線性(或基本為線性)，能用線性常微分方程描述其輸入與輸出關(guān)系的系統(tǒng)。線性系統(tǒng)滿足“疊加原理”，其時間響應(yīng)的特征與初始狀態(tài)無關(guān)。

(2)非線性系統(tǒng)：只要有一個元器件特性不能用線性方程描述，即為非線性系統(tǒng)。不能應(yīng)用疊加原理，其時間響應(yīng)的特征與初始狀態(tài)有很大關(guān)系。

第一章緒論3．按參數(shù)是否為常數(shù)分(1)時變系統(tǒng)：當系統(tǒng)數(shù)學描述中顯含時間t時，即數(shù)學描述中的系數(shù)是時間t的函數(shù)時，稱相應(yīng)的系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。

(2)定常系統(tǒng)：特點是系統(tǒng)數(shù)學描述中不顯含時間t。定常系統(tǒng)在物理上代表了結(jié)構(gòu)和參數(shù)都不隨時間變化的一類系統(tǒng)。

4．按系統(tǒng)信號類型分(1)連續(xù)控制系統(tǒng)：系統(tǒng)中各個參量的變化都是連續(xù)進行的，是時間的連續(xù)函數(shù)(也稱模擬量)。(2)離散控制系統(tǒng)：系統(tǒng)中某一處或數(shù)處的參量是脈沖序列或數(shù)碼的形式，這種信號是離散的，即數(shù)值上和時間上不連續(xù)。

其他的劃分方式還有：

5．按系統(tǒng)輸入輸出變量數(shù)量分為單變量系統(tǒng)和多變量系統(tǒng)。6．按系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)在工作過程中是否確定分確定系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)。7．按系統(tǒng)能否用常微分方程描述分集中參數(shù)系統(tǒng)和分布參數(shù)系統(tǒng)。§1.2自動控制系統(tǒng)的基本概念第一章緒論§1.2自動控制系統(tǒng)的基本概念五、對控制系統(tǒng)的基本要求穩(wěn)定、準確、快速(1)穩(wěn)定性：由于系統(tǒng)存在著慣性，當系統(tǒng)的各個參數(shù)匹配不妥時，將會引起系的振蕩而失去工作能力。穩(wěn)定性就是指動態(tài)過程的振蕩傾向和系統(tǒng)能否恢復(fù)平衡狀態(tài)的能力。

穩(wěn)定性的要求是系統(tǒng)工作的首要條件。(2)準確性：是指在調(diào)整過程結(jié)束后輸出量與給定量之間的偏差，或稱為靜態(tài)精

度。是衡量系統(tǒng)工作性能的重要指標。例如數(shù)控機床精度愈高，則加工精度也越高。(3)快速性：這是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下提出的?？焖傩允侵府斚到y(tǒng)輸出量與給定量之間產(chǎn)生偏差時，消除這種偏差過程的快速程度。

快速性反應(yīng)系統(tǒng)的敏捷性。穩(wěn)、快、準是相互制約的！第一章緒論§1.2自動控制系統(tǒng)的基本概念對于自動控制系統(tǒng)而言，在保證穩(wěn)定的前提下，對其快速性和準確性方面的性能指標可按如下類型給出：(1)時域性能指標，包括瞬態(tài)性能(快速性與平穩(wěn)性)指標和穩(wěn)態(tài)性能(準確性)指標。(2)頻域性能指標，反映系統(tǒng)在頻域方面的特性。(3)綜合性能指標。第一章緒論§1.3控制工程基礎(chǔ)的主要任務(wù)與研究內(nèi)容

一、主要任務(wù)控制工程基礎(chǔ)主要研究工程系統(tǒng)中狀態(tài)的運動規(guī)律和改變這種運動規(guī)律的可能性和方法，建立和揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)、行為和性能間的確定的和定量的關(guān)系。學習控制工程基礎(chǔ)要解決兩個問題：其一是系統(tǒng)分析問題，主要研究當系統(tǒng)已定、輸入已知時，求出系統(tǒng)的輸出，并通過輸出來研究系統(tǒng)本身的問題。即分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和準確性。

其二是系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計問題，主要是研究確定出一種合適的控制規(guī)律，使系統(tǒng)輸出盡可能符合給定的要求，或在某種程度上滿足最佳性能指標(最優(yōu)控制)。

前者主要是分析系統(tǒng)，后者是綜合與設(shè)計。

第一章緒論二、研究內(nèi)容§1.3控制工程基礎(chǔ)的主要任務(wù)與研究內(nèi)容

控制工程基礎(chǔ)實際上是研究工程系統(tǒng)的動力學問題。圖1-7質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)圖1-8工程系統(tǒng)模型(1)系統(tǒng)分析；(2)最優(yōu)控制；(3)最優(yōu)設(shè)計；(4)濾波與預(yù)測；(5)系統(tǒng)辨識?？刂乒こ袒A(chǔ)在研究工程系統(tǒng)、輸入和輸出之間的動態(tài)關(guān)系時，可將其動力學問題大致歸納為如下五個方面：第一章緒論小結(jié)

本章介紹了控制工程基礎(chǔ)的基本概念及控制理論發(fā)展歷程；論述了自動控制系統(tǒng)的工作原理、開環(huán)控制與閉環(huán)控制的概念、閉環(huán)控制系統(tǒng)的基本組成、自動控制系統(tǒng)的基本類型及對控制系統(tǒng)的基本性能要求；最后闡述了控制工程基礎(chǔ)的主要任務(wù)和研究內(nèi)容。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型控制工程是一門研究“控制論”在工程中應(yīng)用的科學。

控制器被控對象輸入量r輸出量y擾動量n檢測元件偏差e反饋量b數(shù)學模型生物系統(tǒng)工程系統(tǒng)經(jīng)濟系統(tǒng)社會系統(tǒng)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，并在此基礎(chǔ)上對控制系統(tǒng)進行分析、綜合，這是控制工程的基本方法。數(shù)學模型是描述物理系統(tǒng)的數(shù)學表達式。建立數(shù)學模型的基本方法：1.機理分析法：通過分析系統(tǒng)的內(nèi)部運動規(guī)律，求解系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的數(shù)學關(guān)系。2.系統(tǒng)辨識法：利用實驗數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的數(shù)學關(guān)系。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)§2-5信號流圖及梅遜公式§2-2拉氏變換及反變換§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程§2-4框圖及其簡化第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程

微分方程是根據(jù)系統(tǒng)的動力學特性列寫出來的反映其動態(tài)特性的基本方程，這些方程通常需要用微分式表達，所以稱為微分方程。連續(xù)系統(tǒng)工程物理系統(tǒng)離散系統(tǒng)傳遞函數(shù)狀態(tài)空間表達式差分方程脈沖傳遞函數(shù)微分方程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型一、機械系統(tǒng)的微分方程§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程

牛頓第二定律：一物體的加速度，與其所受的合外力成正比，與其質(zhì)量成反比，而且加速度與合外力同方向(作用在物體上的合外力與該物體的慣性力構(gòu)成平衡力系)。用公式可表示為式中——作用在物體上的合外力；

——物體的加速度；

——物體的質(zhì)量；

——物體的慣性力。(2-1)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程如圖2-1a所示的機械平移系統(tǒng)，可應(yīng)用牛頓第二定律，得出微分方程式(2-2)

(2-2)圖2-1b為回轉(zhuǎn)運動的機械系統(tǒng)，相應(yīng)的運動微分方程為(2-3)圖2-1機械系統(tǒng)a)平移系統(tǒng)b)回轉(zhuǎn)系統(tǒng)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程例2-1機械系統(tǒng)加速度計工作原理如圖2-2所示，它用于測量某一運動物體(如車輛、飛機)的加速度。測量時，加速度計的框架固定在待測的運動體上，當運動體作加速運動時，該框架隨之作同樣的加速運動。圖2-2a加速度計第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程例2-2設(shè)有如圖2-3a所示的齒輪傳動鏈，由電動機M輸入的扭矩為，為輸出端負載，為負載扭矩。圖中所示的為各齒輪齒數(shù)，、、及、、分別為各軸及相應(yīng)齒輪的轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)角。圖2-3齒輪傳動鏈a)原始輪系b)等效輪系第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程(2-4)根據(jù)式(2-3)可得如下動力學方程組式中——傳動中各軸及齒輪的粘性阻尼系數(shù)；齒輪對的反轉(zhuǎn)矩；——對的反轉(zhuǎn)矩；對的反轉(zhuǎn)矩；對的反轉(zhuǎn)矩；輸出端負載對的反轉(zhuǎn)矩，即負載轉(zhuǎn)矩。————————第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程由齒輪傳動的基本關(guān)系可知于是由式(2-4)可得令稱為等效轉(zhuǎn)動慣量；令稱為等效阻尼系數(shù)；令稱為等效輸出轉(zhuǎn)矩。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程將上式改為則圖2-3a所示的傳動裝置可簡化為圖2-3b所示的等效齒輪傳動第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型二、電氣系統(tǒng)的微分方程§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程電氣系統(tǒng)的微分方程根據(jù)歐姆定律、基爾霍夫定律、電磁感應(yīng)定律等基本物理規(guī)律列寫。例2-3無源電路網(wǎng)絡(luò)

圖2-4無緣網(wǎng)絡(luò)如圖2-4所示的系統(tǒng)中，為輸入電壓，為輸出電壓。根據(jù)基爾霍夫定律和歐姆定律，有

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程由式(2-6)得(2-9)由式(2-7)得將式(2-9)代入，得(2-10)由式(2-8)得(2-11)將式(2-9)、式(2-10)、式(2-11)代入式(2-5)，得即第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程由以上的一些例子，可總結(jié)出列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟：1)將系統(tǒng)劃分環(huán)節(jié)，確定各環(huán)節(jié)的輸入及輸出信號，每個環(huán)節(jié)可考慮列寫一個方程；根據(jù)物理定律或通過實驗等方法得出的物理規(guī)律列寫各環(huán)節(jié)的原始方程式，并考慮適當簡化、線性化；2)將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得出只含輸入變量、輸出變量以及參量的系統(tǒng)方程式。

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-1控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程四、相似系統(tǒng)數(shù)學模型相同的物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)的數(shù)學模型中，作用相同的變量稱為相似變量。表2-1為質(zhì)量-彈簧-阻尼機械平移系統(tǒng)、機械回轉(zhuǎn)系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)和液壓系統(tǒng)的相似變量。機械平移系統(tǒng)機械回轉(zhuǎn)系統(tǒng)電氣系統(tǒng)液壓系統(tǒng)力F轉(zhuǎn)矩T電壓U壓力p質(zhì)量m轉(zhuǎn)動慣量J電感L液感LH粘性阻尼系數(shù)f粘性阻尼系數(shù)f電阻R液阻RH彈簧系數(shù)k扭轉(zhuǎn)系數(shù)k電容的倒數(shù)1/C液容的倒數(shù)1/CH線位移y角位移θ電荷q容積V速度v角速度ω電流i流量q相似系統(tǒng)的特點是一種物理系統(tǒng)研究的結(jié)論可以推廣到其它相似系統(tǒng)中去。利用相似系統(tǒng)的這一特點，可以進行模擬研究，即用一種比較容易實現(xiàn)的系統(tǒng)(如用電氣系統(tǒng))模擬其它較難實現(xiàn)的系統(tǒng)。

表2-1相似系統(tǒng)的相似變量第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

一、拉氏變換及其特性

(一)拉氏變換的定義

拉氏變換(LaplaceTransform)是分析工程控制系統(tǒng)的基本數(shù)學方法之一。時間函數(shù)f(t)，當t<0時，f(t)=0，t0時，f(t)（稱原函數(shù)）的拉氏變換記為L[f(t)]或F(s)（稱象函數(shù)），且定義為式中s=+j

若式(2-26)的積分收斂于一確定值，則函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)存在，這時f(t)必須滿足(2-26)1)在任一有限區(qū)間內(nèi)，f(t)分段連續(xù)，只有有限個間斷點。2)當時間t→，f(t)不超過某一指數(shù)函數(shù)，即滿足式中M、a──實常數(shù)。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

例2-6單位階躍函數(shù)的拉氏變換。單位階躍函數(shù)如右圖所示，定義為01f(t)t由拉氏變換的定義式可求得：第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

例2-7單位脈沖函數(shù)的拉氏變換。單位脈沖函數(shù)如右圖所示，定義為0f(t)t且（t）有如下特性

由拉氏變換的定義式可求得：第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

例2-8單位斜坡函數(shù)的拉氏變換由拉氏變換的定義式可求得：單位脈沖函數(shù)如右圖所示，定義為0f(t)t例2-9指數(shù)函數(shù)eat的拉氏變換。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

例2-10正弦函數(shù)sint和余弦函數(shù)cost的拉氏變換根據(jù)歐拉公式，有于是可以利用上面指數(shù)函數(shù)拉氏變換的結(jié)果，得出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的拉氏變換。

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

拉氏變換對照表表2－2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

1.線性定理

(二）拉氏變換的運算法則

2.延遲定理拉氏變換是一個線性變換，若有常數(shù)k1、k2，函數(shù)f1(t)、f2(t)，則

(2-28)證明：設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s)，對任一正實數(shù)T有

(2-29)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

3.位移定理

4.相似定理

f(t)的拉氏變換為F(s)，對任一常數(shù)a（實數(shù)或復(fù)數(shù)）有

證明：(2-30)證明：f(t)的拉氏變換為F(s)，有任意常數(shù)a，則

(2-31)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

5.微分定理

設(shè)f(n)(t)表示f(t)的n階導數(shù)，n=1，2，…正整數(shù)，f(t)的拉氏變換為F(s)，則

(2-32)證明：則可進一步推出f(t)的各階導數(shù)的拉氏變換為

(2-33)(2-34)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

6.積分定理

證明：f(t)的拉氏變換為F(s)，則

(2-35)依次可推導出

(2-37)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

7.初值定理

證明：令s→，對上式兩邊取極限

當則由微分定理

設(shè)f(t)及其一階導數(shù)均為可拉氏變換的，則f(t)的初值為

(2-38)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

8.終值定理

由微分定理

令s→0，對上式兩邊取極限

證明：設(shè)f(t)及其一階導數(shù)均為可拉氏變換的，則f(t)的終值為

(2-39)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

9.象函數(shù)的微分性質(zhì)10.象函數(shù)的積分性質(zhì)證明：因為

對上式兩邊微分

證明：(2-40)(2-41)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

11.卷積定理令證明：(2-42)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

二、拉氏反變換及其計算方法1.拉氏反變換的定義(1)查表法，表2－2；(2)部分分式法。2.拉氏反變換的計算方法已知F(s)，求時間函數(shù)f(t)的拉氏反變換，記作，定義為

式中，r為大于F(s)的所有奇異點實部的實常數(shù)。所謂奇異點，即F(s)在該點不解析，也就是F(s)在該點及其鄰域不處處可導。

(2-43)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

用部分分式法將式(2-45)分為各簡單分式之和

，應(yīng)分三種情況進行討論：

(1)A(s)=0無重根(3)A(s)=0有重根(2)A(s)=0的根中有共軛復(fù)根F(s)通?？杀磉_為復(fù)數(shù)s的有理代數(shù)式；

(2-44)設(shè)s1、s2、s3、、sn為分母的根，則

(2-45)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

(1)A(s)=0無重根時用(s－s1)乘以上式兩邊，并以s=s1代入式中，得

將原式化為部分分式(2-46)依次類推可得

(2-47)(2-48)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

因為(2-49)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型例2-11求的拉氏反變換。

§2-2拉氏變換及反變換解

的部分分式運用式(2-47)求系數(shù)、第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

2.A(s)=0的根中有共軛復(fù)根

通過下面的例子說明通過部分分式求拉氏反變換的方法。例2-12求象函數(shù)的原函數(shù)。(2-50)用乘式(2-50)的兩邊，并令，得第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換令上式兩邊實部和虛部分別相等，得，即，解得，為確定系數(shù)，用乘方程(2-50)兩邊，并令，得的部分分式可求得第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換其中，，則的拉氏反變換為第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

3.A(s)=0有重根的情況

(2-51)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

例2-13求的拉氏反變換。

解根據(jù)式(2-51)求得第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

的部分分式為分別查表可求得的拉氏反變換為第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-2拉氏變換及反變換

三、用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程用拉氏變換解微分方程的步驟：1)對微分方程進行拉氏變換，將其轉(zhuǎn)換為拉氏域內(nèi)的代數(shù)方程；2)求出特征方程的解和解對應(yīng)的留數(shù)，并對化簡后的部分分式和進行拉氏反變換，從而求出微分方程的時間解。例

解方程

其中，

解

將方程兩邊取拉氏變換，得

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的概念

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(TransferFunction)：當初始條件為零時，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設(shè)線性定常系統(tǒng)輸入為r(t)，輸出為c(t)，描述系統(tǒng)的常微分方程的一般形式為

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為

(2-54)當初始條件為零時，對上式兩邊進行拉氏變換，得

(2-53)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1.描述系統(tǒng)本身的固有特性，與輸入量/輸出量無關(guān)；2.不同的物理系統(tǒng)，若其動態(tài)特性相同，可用同一傳遞函數(shù)描述。傳遞函數(shù)分母多項式中s的最高冪數(shù)代表了系統(tǒng)的階數(shù)，如s的最高冪數(shù)為n，則該系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的特性：第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型對于傳遞函數(shù)

對分子分母因式分解可以得到其中，為傳遞函數(shù)的零點，為傳遞函數(shù)的極點?？梢妭鬟f函數(shù)有m個零點，n個極點和一個實常數(shù)倍數(shù)。這些零點和極點中當然可以有重零點和重極點。

零點和極點是控制理論中重要的概念，它們在控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計中有著重要的作用。二、傳遞函數(shù)的零點和極點§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)三、基本環(huán)節(jié)(又稱典型環(huán)節(jié))的傳遞函數(shù)

幾點重要說明：根據(jù)元件的功能來研究元件，如測量、放大、執(zhí)行元件等，主要用于研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、組成、控制原理2.按照運動方程式將元件或系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，主要用于建立系統(tǒng)的數(shù)學模型，研究系統(tǒng)的特性一個系統(tǒng)可看作由一些基本環(huán)節(jié)組成，能組成獨立的運動方程式的部分便稱為環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)可以是一個元件，也可以是一個元件的一部分或由幾個元件組成，而方程的系數(shù)僅與該環(huán)節(jié)元件的參數(shù)有關(guān)，與其它環(huán)節(jié)無關(guān)，有時稱為“單向元件”環(huán)節(jié)。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1、比例環(huán)節(jié)（又稱放大環(huán)節(jié)）p1p0F輸出量與輸入量成正比的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)。即

經(jīng)拉氏變換后

故比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為如一個理想的電子放大器的放大系數(shù)或增益、齒輪傳動的傳動比均為比例環(huán)節(jié)。

(2-55)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2、慣性環(huán)節(jié)（又稱非周期環(huán)節(jié)）ui(t)Ruo(t)i(t)C在這類環(huán)節(jié)中，因含有儲能元件，故對突變形式的輸入信號，不能立即輸送出去。其微分方程為

對上式進行拉氏變換，求得慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為式中K──放大系數(shù)；

T──時間常數(shù)。

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)3、微分環(huán)節(jié)xQ1Q2輸出正比于輸入的微分的環(huán)節(jié)，稱微分環(huán)節(jié)，即其傳遞函數(shù)為

——微分時間常數(shù)

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)4、積分環(huán)節(jié)qq2x輸出正比于輸入的積分的環(huán)節(jié)稱積分環(huán)節(jié)，即其傳遞函數(shù)為

T

——積分時間常數(shù)

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)5、振蕩環(huán)節(jié)在這類環(huán)節(jié)含有兩種儲能元件，在信號傳遞過程中，因能量的的轉(zhuǎn)換而使其輸出帶有振蕩的性質(zhì)，其微分方程為

對上式進行拉氏變換，求得振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為式中n──無阻尼固有頻率

──阻尼比

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)6、一階微分環(huán)節(jié)7、二階微分環(huán)節(jié)描述該環(huán)節(jié)輸出、輸入間的微分方程具有如下形式

其傳遞函數(shù)為描述該環(huán)節(jié)輸出、輸入間的微分方程具有如下形式

其傳遞函數(shù)為第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-3傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)8、延時環(huán)節(jié)X(t)X(t-)該環(huán)節(jié)的輸出滯后輸入時間后不失真地復(fù)現(xiàn)輸入，其數(shù)學描述式為

其傳遞函數(shù)為第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-4方框圖及其簡化

框圖(BlockDiagram)是系統(tǒng)中各個元件功能和信號流向的圖解表示，又稱為方塊圖。系統(tǒng)運動規(guī)律系統(tǒng)的線性化微分方程求解微分方程系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)方塊圖求解拉氏反變換求解拉氏反變換第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-4方框圖及其簡化一、方框圖單元、比較點和引出點引出點:引出點表示信號引出和測量的位置，同一位置引出的幾個信號，在大小和性質(zhì)上完全一樣。

方塊圖單元G(s)輸入R(s)輸出X(s)比較點:比較點代表兩個或兩個以上的輸入信號進行相加或相減的元件，或稱比較器。箭頭上的“+”或“－”表示信號相加或相減，相加減的量應(yīng)具有相同的量綱。

輸入R(s)輸出E(s)=R(s)-B(s)輸入B(s)C(s)C(s)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-4方框圖及其簡化二、系統(tǒng)構(gòu)成方式及運算法則系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間一般有三種基本連接方式，串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接，方塊圖運算法則是求取方塊圖不同連接方式下等效傳遞函數(shù)的方法。1、串聯(lián)連接由串聯(lián)環(huán)節(jié)所構(gòu)成的系統(tǒng)，當無負載效應(yīng)影響時，它的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。當系統(tǒng)由n個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時，總傳遞函數(shù)為

(2-56)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-4方框圖及其簡化2、并聯(lián)連接并聯(lián)環(huán)節(jié)所構(gòu)成的總傳遞函數(shù)，等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和/差。C1(s)G(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-4方框圖及其簡化3、反饋連接

反饋，是將系統(tǒng)或某一環(huán)節(jié)的輸出量，全部或部分地通過反饋回路回輸?shù)捷斎攵耍种匦螺斎氲较到y(tǒng)中去。即輸出對輸入有影響。反饋與輸入相加的稱為“正反饋”，與輸入相減的稱為“負反饋”。R(s)E(s)B(s)G(s)H(s)C(s)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-4方框圖及其簡化整個閉環(huán)傳遞函數(shù)是由前向傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)構(gòu)成。式中，當為負反饋時取“+”，正反饋時取“-”。閉環(huán)傳遞函數(shù)：輸出信號與輸入信號之比前向傳遞函數(shù)：輸出信號與偏差信號之比反饋傳遞函數(shù)：反饋信號與輸出信號之比開環(huán)傳遞函數(shù)：反饋信號與偏差信號之比第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-4方框圖及其簡化三、方框圖變換法則1.比較點前移/后移AG-BABG(s)AG1/G(s)AAG-BBG(s)A-B/GAAG-BGBG(s)A-BAG-BGABGG(s)AGG(s)B第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-4方框圖及其簡化2.引出點前移/后移G(s)AAGG(s)AGAGAG(s)AGAGAG(s)A1/G(s)AAG(s)AG第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-4方框圖及其簡化例2-15試化簡如圖所示系統(tǒng)的方框圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。AR(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)G7(s)C(s)___解:

R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G6(s)G7(s)G5(s)C(s)1G4(s)___ⅢⅡⅠ第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-4方框圖及其簡化R(s)C(s)G1(s)G7(s)1++G2(s)G3(s)G4(s)G2(s)G3(s)G5(s)G3(s)G4(s)G6(s)_ⅢC(s)R(s)G1(s)G2(s)G5(s)G7(s)1G4(s)1+G3(s)G4(s)G3(s)G4(s)G6(s)__ⅢⅡ第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型§2-4方框圖及其簡化所以最后消去回路

第三章控制系統(tǒng)的時域分析數(shù)學模型控制器被控對象輸入量r(t)輸出量c(t)控制量u(t)擾動量N(t)檢測反饋元件偏差e(t)反饋量b(t)第三章控制系統(tǒng)的時域分析控制系統(tǒng)的實際運行，都是在時域內(nèi)進行的。給系統(tǒng)輸入時間信號，系統(tǒng)的輸出即為系統(tǒng)的時間響應(yīng)?？刂葡到y(tǒng)的時域分析是通過研究系統(tǒng)在給定輸入信號作用下的時間響應(yīng)來評價系統(tǒng)的性能，在時域內(nèi)分析系統(tǒng)的動靜態(tài)特性。第三章控制系統(tǒng)的時域分析§3-2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

§3-4高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)§3-1時間響應(yīng)及系統(tǒng)性能指標

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

§3-6誤差分析與計算第三章控制系統(tǒng)的時域分析第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-1時間響應(yīng)及系統(tǒng)性能指標

一、時間響應(yīng)的概念

描述系統(tǒng)的微分方程的解就是該系統(tǒng)時間響應(yīng)的數(shù)學表達式。任一系統(tǒng)的時間響應(yīng)都是由瞬態(tài)響應(yīng)(TransientResponse)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(Steady-StateResponse)組成。瞬態(tài)響應(yīng)

：系統(tǒng)在某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)(或稱暫態(tài))響應(yīng)，也稱過渡過程。在某一輸入信號的作用后，時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

：第三章控制系統(tǒng)的時域分析二、典型實驗信號

系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號的形式有關(guān)。在分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，總是預(yù)先規(guī)定一些特殊的實驗輸入信號，然后比較各種系統(tǒng)對這些實驗輸入信號的響應(yīng)，并以此作為對各種控制系統(tǒng)性能進行比較的基礎(chǔ)。實驗信號的選取原則：1)具有典型性，能夠反映系統(tǒng)工作的大部分實際情況。2)形式盡可能簡單，便于分析處理。3)能使系統(tǒng)在最不利的情況下工作。

§3-1時間響應(yīng)及系統(tǒng)性能指標

第三章控制系統(tǒng)的時域分析1.階躍信號

§3-1時間響應(yīng)及系統(tǒng)性能指標

階躍信號相當于一個數(shù)值為一常值的信號，在時突然加到系統(tǒng)上。幅值A(chǔ)為1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，記作1(t)，單位階躍函數(shù)的拉氏變換為：階躍函數(shù)如右圖所示，定義為圖3-1a階躍信號第三章控制系統(tǒng)的時域分析2．斜坡信號當A＝1時稱為單位斜坡函數(shù)。這種實驗信號相當于控制系統(tǒng)中加入一個按恒速變化的信號，其速度為A。

§3-1時間響應(yīng)及系統(tǒng)性能指標

斜坡函數(shù)如右圖所示，定義為拉氏變換為：圖3-1b斜坡信號第三章控制系統(tǒng)的時域分析3．加速度信號該實驗信號相當于控制系統(tǒng)中加入一按恒加速度變化的信號，加速度為A。當A＝1時，稱為單位加速度函數(shù)。

§3-1時間響應(yīng)及系統(tǒng)性能指標

加速度函數(shù)如右圖所示，定義為拉氏變換為：圖3-1c加速度信號第三章控制系統(tǒng)的時域分析4．脈沖信號若對實用脈沖的寬度取趨于零的極限，則為理想單位脈沖，稱作單脈沖信號，記為拉氏變換為：

§3-1時間響應(yīng)及系統(tǒng)性能指標

脈沖函數(shù)如右圖所示，定義為其中，脈沖寬度為h，脈沖面積為1。圖3-1d脈沖信號第三章控制系統(tǒng)的時域分析三、瞬態(tài)響應(yīng)指標通常，控制系統(tǒng)的動態(tài)性能指標，以系統(tǒng)對單位階躍輸入量的瞬態(tài)響應(yīng)形式給出。

§3-1時間響應(yīng)及系統(tǒng)性能指標

在工程實踐中，評價控制系統(tǒng)動態(tài)性能的好壞，多用時域的幾個特征量來表示。為了評價控制系統(tǒng)對單位階躍輸入的瞬態(tài)響應(yīng)特征，通常采用下列一些性能指標：延遲時間，上升時間，峰值時間，最大超調(diào)量以及調(diào)整時間。第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-1時間響應(yīng)及系統(tǒng)性能指標

圖3-2表示性能指標的階躍響應(yīng)曲線：延遲時間：上升時間：峰值時間：最大超調(diào)量：調(diào)整時間第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-1時間響應(yīng)及系統(tǒng)性能指標

1.延遲時間

：響應(yīng)曲線第一次達到穩(wěn)定值的一半所需的時間，叫做延遲時間。

響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，或從0上升到100%所需的時間都叫做上升時間。對于過阻尼和臨界系統(tǒng)(ζ≥1)，通常采用10%～90%的上升時間；對于欠阻尼系統(tǒng)(0<ζ<1)，通常采用0～100%的上升時間。2.上升時間

：各性能指標定義如下:3．峰值時間

：響應(yīng)曲線達到超調(diào)量的第一個峰值所需要的時間叫做峰值時間。

第三章控制系統(tǒng)的時域分析最大峰值(即第一個峰值)與理想穩(wěn)態(tài)值1之間的差值叫做最大超調(diào)量值Mp。通常采用百分比表示最大相對超調(diào)量，定義為4．最大超調(diào)量：最大超調(diào)量的數(shù)值，直接說明了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

§3-1時間響應(yīng)及系統(tǒng)性能指標

響應(yīng)曲線最終收斂在穩(wěn)態(tài)值附近，這時曲線的變化對于穩(wěn)態(tài)值的百分比在一個允許的范圍內(nèi)。響應(yīng)曲線第一次達到并永遠保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所需要的時間，叫做調(diào)整時間。調(diào)整時間與控制系統(tǒng)的時間常數(shù)有關(guān)。允許誤差的百分比選多大，取決于設(shè)計要求，通常取5%或2%。5．調(diào)整時間：第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

一、一階系統(tǒng)的數(shù)學模型能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的典型形式是慣性環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為描述一階系統(tǒng)的微分方程的通式為如圖3-3所示的不計質(zhì)量的彈簧-阻尼系統(tǒng)，若以油壓p為輸入，以位移x為輸出，則表現(xiàn)為一階系統(tǒng)。描述它的微分方程為圖3-3一階系統(tǒng)第三章控制系統(tǒng)的時域分析傳遞函數(shù)的一般形式為

(3-1)式中K——系統(tǒng)增益；T——時間常數(shù)，具有時間量綱。當K＝1時，典型系統(tǒng)的方塊圖及其簡化形式如圖3-4a、圖3-4b所示。a)

b)圖3-4一階系統(tǒng)方塊圖

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)給一階系統(tǒng)輸入單位階躍信號，根據(jù)式(3-1)進行拉氏反變換，求出微分方程的解即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

為單位階躍函數(shù)(3-2)對上式進行拉氏反變換，得出(3-3)(t≥0)時間響應(yīng)曲線見圖3-5a?！?-2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)第三章控制系統(tǒng)的時域分析圖3-5a一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)時間響應(yīng)從零值到終值呈指數(shù)曲線上升。曲線在t=0的初始斜率為可見，時間常數(shù)T是一階系統(tǒng)重要的特征參數(shù)。它表征了系統(tǒng)過渡過程的品質(zhì)，T越小，慣性越小，系統(tǒng)的響應(yīng)越快。系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析把t=T代入式(3-3)可得故時間常數(shù)T可定義為系統(tǒng)的時間響應(yīng)達到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需要的時間。從圖3-5a可以看出，經(jīng)過三倍的時間常數(shù)，響應(yīng)曲線上升到穩(wěn)態(tài)值的95%，經(jīng)過四倍的時間常數(shù)，響應(yīng)曲線達到穩(wěn)態(tài)值的98.2%。如果要求響應(yīng)曲線保持在穩(wěn)態(tài)值的5%～2%的允許誤差范圍內(nèi)，那么系統(tǒng)的調(diào)整時間ts=(3～4)T，以此作為評價響應(yīng)時間長短的標準。時間常數(shù)決定于系統(tǒng)參數(shù)而與輸入函數(shù)無關(guān)。在圖3-3所示系統(tǒng)中，

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)圖3-5b一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)單位斜坡函數(shù)t的拉氏變換為，代入式(3-2)中可得取上式的拉氏反變換，可得(3-4)系統(tǒng)對單位斜坡輸入的時間響應(yīng)和輸入信號表示于圖3-5b中。

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析誤差信號為即當t→∞時，→0，從圖中也可以看出，當t足夠大時，一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號輸入的誤差等于時間常數(shù)T。

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析四、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖的拉氏變換，這時式(3-2)為取其拉式反變換得時間響應(yīng)曲線如圖3-5c所示。圖3-5c一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析五、線性定常系統(tǒng)的重要特征系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應(yīng)，可以通過把系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)進行微分來求出；系統(tǒng)對原信號積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對原信號響應(yīng)的積分。這是線性定常系統(tǒng)的特點，線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)都不具備這種特點。

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

一、二階系統(tǒng)的數(shù)學模型二階系統(tǒng)是可以用二階微分方程描述的系統(tǒng)。圖2-13所示質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，外力F(t)為輸入，位移x為輸出，描述它的微分方程為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(3-6)上式可以寫成(3-7)圖2-13第三章控制系統(tǒng)的時域分析式中為系統(tǒng)增益，，，和ζ只決定于系統(tǒng)參數(shù)而與輸入無關(guān)。傳遞函數(shù)(3-9)微分方程(3-8)可以用兩個特征參數(shù)來普遍地描述各種二階系統(tǒng)的動態(tài)特性，即無阻尼自然頻率和阻尼比ζ。借助這兩個參數(shù)，把二階系統(tǒng)的數(shù)學模型寫成如下標準形式

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析典型二階系統(tǒng)的方塊圖及其簡化形式示于圖3-6a，圖3-6b。a)

b)圖3-6二階系統(tǒng)框圖

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)對單位階躍輸入，，從式(3-9)可以求出系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換

(3-10)對上式進行拉式反變換，可得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。從式(3-9)可求得二階系統(tǒng)的特征方程(3-11)它的兩個根，即為二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點：(3-12)

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析下面分別對二階系統(tǒng)在，，以及四種情況下的瞬態(tài)響應(yīng)進行討論，假定初始狀態(tài)為零。1．，臨界阻尼情況由式(3-12)得：，系統(tǒng)有兩個相重的負實數(shù)極點，如圖3-7a所示。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

圖3-7第三章控制系統(tǒng)的時域分析這時式(3-10)變成對上式進行拉式反變換，得到

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

圖3-7a表示了二階系統(tǒng)在臨界阻尼狀態(tài)的單位階躍響應(yīng)，它既無超調(diào)，也無振蕩。第三章控制系統(tǒng)的時域分析2．，過阻尼情況由式(3-12)得，系統(tǒng)有兩個不相等的負實數(shù)極點，示于圖3-7b左圖。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

圖3-7二階系統(tǒng)極點分布與對應(yīng)的階躍響應(yīng)第三章控制系統(tǒng)的時域分析把式(3-10)寫成部分分式

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析求上式的拉式反變換，得到(3-14)它有兩個指數(shù)衰減項，當ζ較大時，一個極點遠離虛軸，它的影響很小，可以忽略不計。此時，二階系統(tǒng)就近似于一個慣性環(huán)節(jié)。圖3-7b表示過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。從圖中可見，瞬態(tài)響應(yīng)無超調(diào)，無振蕩，過渡過程比臨界阻尼時長。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析3．，欠阻尼情況由式(3-12)得式中，，稱為阻尼自然頻率。這時系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點，如圖3-7c所示。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

圖3-7二階系統(tǒng)極點分布與對應(yīng)的階躍響應(yīng)第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

這時式(3-10)可以寫成求上式的拉式反變換，由拉氏變換表中查出注意到，可得(3-15)第三章控制系統(tǒng)的時域分析其中由上式可以看出，在欠阻尼狀態(tài)下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)呈現(xiàn)衰減振蕩過程，振蕩頻率是阻尼自然頻率，其振幅按指數(shù)曲線衰減，者均由系統(tǒng)參數(shù)ζ和決定。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

4.，零阻尼狀態(tài)

將代入式(3-15)可得(3-16)式(3-16)說明二階系統(tǒng)在無阻尼時瞬態(tài)響應(yīng)是等幅振蕩，振蕩頻率為ωn。第三章控制系統(tǒng)的時域分析從上面的分析可以看出頻率和的物理意義。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

是無阻尼時()二階系統(tǒng)等幅振蕩的振蕩頻率，因此稱為無阻尼自然頻率；而是欠阻尼()時衰減振蕩的振蕩頻率，因此稱為阻尼自然頻率；相應(yīng)地把稱為阻尼振蕩周期。顯然，<，且隨著ζ的增大，的值相應(yīng)地減小。第三章控制系統(tǒng)的時域分析圖3-8二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

根據(jù)式(3-13)、式(3-14)、式(3-15)和式(3-16)，對應(yīng)不同的阻尼比ζ，可以畫出二階系統(tǒng)在單位階躍信號下的一簇瞬態(tài)響應(yīng)曲線，如圖3-8所示。從圖中可以看出：

1)當，二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)具有單調(diào)上升的特性；

2)當，二階系統(tǒng)振蕩特性加強；當減小到時，呈現(xiàn)出等幅振蕩。第三章控制系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的調(diào)整時間ts，在單調(diào)上升的特性中，以時為最短；在欠阻尼特性中，對應(yīng)時的瞬態(tài)響應(yīng)，具有比時更短的調(diào)整時間，而且振蕩也不嚴重。因此，一般說來，希望二階系統(tǒng)工作在的欠阻尼狀態(tài)。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析三、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標下面就二階系統(tǒng)，當時，推導瞬態(tài)響應(yīng)各項特征指標的計算公式。1．上升時間tr

根據(jù)定義，當時，。由式(3-15)得即

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析由于，所以則所以(3-17)圖3-9角θ的定義角θ的幾何意義示于圖3-9。當時，當時，。由式(3-17)可知，當阻尼比ζ一定時，若要求上升時間tr較短，需要使系統(tǒng)具有較高的無阻尼自然頻率ωn。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析2．峰值時間tp

根據(jù)式(3-15)可知，將對時間求導，并令其等于零，可求得峰值時間tp，即可得因為峰值時間對應(yīng)于第一次峰值超調(diào)量，所以

(3-18)

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析阻尼振蕩周期，故峰值時間tp等于阻尼振蕩周期的一半。從式(3-18)可以看出，當ζ一定時，ωn越大，tp越小，反應(yīng)越快；當ωn一定時，ζ越小，tp也越小。3．最大超調(diào)量Mp

由Mp的定義可知最大超調(diào)量發(fā)生在峰值時間處，根據(jù)式(3-15)，可以求出

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析上式表明，最大超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)，而與無阻尼自然頻率ωn無關(guān)，ζ越小，Mp越大，當時，Mp＝1，即而當增大到時，Mp＝0。4．調(diào)整時間ts

圖3-10瞬態(tài)響應(yīng)曲線的包絡(luò)線對于二階欠阻尼系統(tǒng)，瞬態(tài)響應(yīng)為式(3-15)，瞬態(tài)響應(yīng)曲線見圖3-10，曲線是該瞬態(tài)響應(yīng)曲線的包絡(luò)線。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析包絡(luò)線的時間常數(shù)為。瞬態(tài)響應(yīng)的衰減速度，取決于時間常數(shù)的數(shù)值。當采用2%的允許誤差范圍時，ts近似等于系統(tǒng)時間常數(shù)的四倍，即(3-20)當采用5%的允許誤差范圍時，ts近似等于系統(tǒng)時間常數(shù)的三倍，即(3-21)由此可見，大，ts就??；當ωn一定時，ts與ζ成反比。與、和ζ的關(guān)系正好相反。通常ζ值是根據(jù)允許最大超調(diào)量來確定，所以調(diào)整時間ts可以根據(jù)無阻尼自然頻率ωn來確定。這樣，在不改變最大超調(diào)量的情況下，通過調(diào)整無阻尼自然頻率ωn，可以改變瞬態(tài)響應(yīng)的時間。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析綜合上述分析，可將二階系統(tǒng)的特征參量ζ、ωn與瞬態(tài)響應(yīng)各項指標間的關(guān)系歸納如下：(1)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性由系統(tǒng)的阻尼比ζ和無阻尼自然頻率ωn共同決定，欲使二階系統(tǒng)具有滿意的瞬態(tài)響應(yīng)指標，必須綜合考慮ζ和ωn的影響，選取合適的ζ和ωn。(2)若保持ζ不變而增大ωn，對超調(diào)量無影響，卻可以減小峰值時間tp、延遲時間td和調(diào)整時間ts，即可以提高系統(tǒng)的快速性。所以增大系統(tǒng)的無阻尼自然頻率對提高系統(tǒng)性能是有利的。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

(3)若保持ωn不變而增大ζ值，則會使超調(diào)量Mp減小，增加相對穩(wěn)定性，減弱系統(tǒng)的振蕩性能。在時，隨著ζ的增大，ts減??；而在時，隨著ζ的增大，tr、ts均增大(式(3-20)和(3-21)為近似式，精確計算表明，在時，ts隨ζ的增大而增大)，系統(tǒng)的快速性變差。第三章控制系統(tǒng)的時域分析(4)綜合考慮系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和快速性，通常取，這時系統(tǒng)的超調(diào)量在25%到2.5%之間。若，系統(tǒng)超調(diào)嚴重，相對穩(wěn)定性差；若，則系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍，靈敏性差。當時，超調(diào)量()和調(diào)整時間均較小，故稱為最佳阻尼比。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析(1)試確定該系統(tǒng)的特征參量ωn和ζ；(2)試求出系統(tǒng)的最大超調(diào)量和調(diào)整時間；(3)若采用最佳阻尼比，試確定系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K值。某單位反饋的位置控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為，開環(huán)放大倍數(shù)。

例3-1

解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

標準形式為

第三章控制系統(tǒng)的時域分析由此題可以看出，若采用最佳阻尼比，必須降低系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)。(1)比較上面兩式，由，可得由，可得

(2)最大超調(diào)量由式(3-19)確定調(diào)整時間由式(3-21)確定(允許誤差為5%)

(3)由于，，求出第三章控制系統(tǒng)的時域分析例3-2某系統(tǒng)如圖3-11所示，試求其無阻尼自然頻率ωn，阻尼比ζ，超調(diào)量Mp，峰值時間tp，調(diào)整時間ts(進入±5%的誤差帶)。解：對于圖3-11所示系統(tǒng)，首先應(yīng)求出其傳遞函數(shù)，化成標準形式，然后可用公式求出各項特征量及瞬態(tài)響應(yīng)指標。第三章控制系統(tǒng)的時域分析rad/sss第三章控制系統(tǒng)的時域分析設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)。例3-3欲求系統(tǒng)響應(yīng)，可先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，然后求出輸出變量的象函數(shù)，再進行拉氏反變換即得相應(yīng)的時域瞬態(tài)響應(yīng)。解：1)當單位階躍輸入時，，則所以第三章控制系統(tǒng)的時域分析2)線性定常系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應(yīng)，可通過把系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)求導得出。

當單位脈沖輸入時，則第三章控制系統(tǒng)的時域分析由于求出的系統(tǒng)傳遞函數(shù)不是典型的二階振蕩環(huán)節(jié)，其分子存在微分作用，因此采用公式求其上升時間和最大超調(diào)量將引起較大誤差，故宜按定義求其值。解：例3-4設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應(yīng)，并求其上升時間和最大超調(diào)量。第三章控制系統(tǒng)的時域分析當時，，則進行拉氏反變換，得第三章控制系統(tǒng)的時域分析解之，得

最大超調(diào)量為最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差，而峰值處導數(shù)為零。

令，得

，則第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

控制系統(tǒng)能實際應(yīng)用的首要條件是系統(tǒng)必須穩(wěn)定，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性是控制理論的重要組成部分。

一、穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性：穩(wěn)定性是指控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差的作用下，其過渡過程隨著時間的推移，是否具有逐漸恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性能。第三章控制系統(tǒng)的時域分析a)

b)

c)圖3-13系統(tǒng)穩(wěn)定性示意圖

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析二、判別線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本準則線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，它與系統(tǒng)的輸入信號無關(guān)。

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析研究穩(wěn)定性問題，就是研究系統(tǒng)去掉擾動后的運動情況，即研究式(3-29)的齊次微分方程式

(3-30)

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

式中——系統(tǒng)輸出；——系統(tǒng)輸入。描述線性系統(tǒng)的動態(tài)微分方程一般形式為(3-29)第三章控制系統(tǒng)的時域分析上式的特征方程為

(3-31)其解的一般式為(3-32)式中k1,k2,…,kn——由初始條件決定的積分常數(shù)；s1,s2,…,sn——特征方程的根。

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

若式(3-31)中有q個實根、2r個復(fù)根，且，則式(3-31)可以改寫成(3-33)第三章控制系統(tǒng)的時域分析一個系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件是其特征方程的根全部在s平面的左半平面（如圖3-14所示）。圖3-14復(fù)平面上的根考察控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)式G(s)(nm)控制系統(tǒng)的特征方程式就是其傳遞函數(shù)的分母等于零的方程。因此在求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)后，取其分母等于零，便可分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析三、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)方法是一種不需求解系統(tǒng)的特征方程，而是通過對特征方程的系數(shù)進行分析來判別系統(tǒng)是否有正實根或具有正實部的復(fù)數(shù)根，從而確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定的一種代數(shù)方法。第三章控制系統(tǒng)的時域分析1．勞斯穩(wěn)定判據(jù)

控制系統(tǒng)的特征方程如式(3-31)所示系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：系統(tǒng)特征方程(3-31)的各項系數(shù)皆大于零。

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

檢驗系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件的步驟如下：（1）將系統(tǒng)特征方程式(3-31)的系數(shù)按下列形式排成兩行，即（2）列寫勞斯計算表

若系統(tǒng)的特征方程為第三章控制系統(tǒng)的時域分析（3）根據(jù)勞斯計算表第一列中各項的符號，確定特征方程根中具有正實部的個數(shù)。

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析例3-5解：設(shè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是

判定該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。如不穩(wěn)定，求出具有正實部的根數(shù)。系統(tǒng)的特征方程是上式各項系數(shù)均為正。列出勞斯計算表