1一、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法21、

為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m

次多項(xiàng)式.Q(x)為

m次待定系數(shù)多項(xiàng)式3(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項(xiàng)式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m

次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)對(duì)方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特征方程的k重根時(shí),可設(shè)特解4綜上討論注：上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.①5例1.的一個(gè)特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為6例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為7例3.

求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得所求解為8解例4.則由牛頓第二定律得解得代入上式得92、第二步求出如下兩個(gè)方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點(diǎn)10第一步利用歐拉公式將f(x)變形11

第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的k重根(k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設(shè)則②有特解:12第三步求原方程的特解

利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為

m

次多項(xiàng)式.13第四步分析因均為

m

次實(shí)多項(xiàng)式.本質(zhì)上為實(shí)函數(shù),14小結(jié):對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.15例5.

的一個(gè)特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解16例6.

的通解.

解:特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為17例7.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:18當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí),物體處于平衡狀態(tài),上節(jié)例1.質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng),解:阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)時(shí)刻

t

物位移為x(t).(1)自由振動(dòng)方程：成正比,方向相反.建立位移滿足的微分方程.(2)強(qiáng)迫振動(dòng)方程：19例8.求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:問題歸結(jié)為求解無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程

當(dāng)p

≠k

時(shí),齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程④之解為上節(jié)例1中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力f和鉛直干擾力代入④可得:④20當(dāng)干擾力的角頻率p

≈固有頻率k

時(shí),自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)

當(dāng)

p

=k

時(shí),非齊次特解形式:代入④可得:方程④的解為21若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使p

與k

盡量靠近,或使隨著

t

的增大,強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象

.可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象,應(yīng)使p

遠(yuǎn)離固有頻率k;p

=k.自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)機(jī)械來說,共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對(duì)電磁振蕩來說,共振可能起有利作用,如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理.22內(nèi)容小結(jié)為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.23思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為提示:1.

(填空)

設(shè)242.

求微分方程的通解(其中為實(shí)數(shù)).解:

特征方程特征根:對(duì)應(yīng)齊次方程通解:時(shí),代入原方程得故原方程通解為時(shí),代入原方程得故原方程通解為253.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對(duì)應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為26二、歐拉方程歐拉方程常系數(shù)線性微分方程27歐拉方程的算子解法:

則計(jì)算繁!28則由上述計(jì)算可知:用歸納法可證于是歐拉方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:29例1.解:則原方程化為亦即其根則①對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為特征方程①30①的通解為換回原變量,得原方程通解為設(shè)特解:代入①確定系數(shù),得31例2.解:

將方程化為(歐拉方