坐標系與參數(shù)方程(題型歸納)坐標系與參數(shù)方程極坐標系極坐標系定義為在平面內取一個定點O作為極點，引一條射線Ox作為極軸，并選取一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對于平面內的任意一點M，用ρ表示線段OM的長度，θ表示從Ox到OM的角，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數(shù)對(ρ,θ)就叫做點M的極坐標。這樣建立的坐標系叫做極坐標系。極坐標與直角坐標互化公式極坐標與直角坐標的互化公式為：x=ρcosθ,y=ρsinθρ2=x2+y2tanθ=y/x,x≠0極坐標與直角坐標互化的前提極坐標與直角坐標的互化前提為：極點與直角坐標的原點重合，極軸與x軸的正方向重合，兩種坐標系中取相同的長度單位。例如，極坐標方程ρcosθ+ρsinθ=1可以轉化成直角坐標方程x+y=1（在轉化成x,y時要設法構造ρcosθ,ρsinθ，然后進行整體代換即可）。求極坐標方程的兩種方法處理極坐標系中問題大致有兩種思路：1.公式互化法：把極坐標方程與直角坐標方程進行互化；2.幾何法：利用幾何關系（工具如：三角函數(shù)的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ與θ的方程。參數(shù)方程參數(shù)方程定義為，如果曲線F(x,y)中的變量x,y均可以寫成關于參數(shù)t的函數(shù)x=f(t),y=g(t)，那么(x,y)就稱為該曲線的參數(shù)方程，其中t稱為參數(shù)。常見的消參技巧常見的消參技巧包括：1.代入法：將參數(shù)代入方程中進行消元；2.整體消元法：通過整體消元得到參數(shù)的表達式；3.三角函數(shù)法：利用sin2θ+cos2θ=1消去參數(shù)。常見曲線的參數(shù)方程常見曲線的參數(shù)方程如下：1.圓：(x-a)2+(y-b)2=r2的參數(shù)方程為：x=a+rcosθ，y=b+rsinθ，其中θ為參數(shù)，其幾何含義為該圓的圓心角；2.橢圓：(x2/a2)+(y2/b2)=1(a>b)的參數(shù)方程為：x=acosθ，y=bsinθ。1.橢圓的參數(shù)方程為：x=acosθ,y=bsinθ，其中θ∈[0,2π)為參數(shù)，表示橢圓的離心角。2.雙曲線的參數(shù)方程為：x=asecθ,y=btanθ，其中θ∈[0,2π)為參數(shù)，表示雙曲線的離心角。3.拋物線的參數(shù)方程為：x=2pt^2,y=2pt，其中t為參數(shù)。4.直線的參數(shù)方程為：過點M(x,y)，傾斜角為θ的直線的參數(shù)方程為：x=x+tcosθ,y=y+tsinθ，其中t為參數(shù)，代表該點與M的距離。直線的參數(shù)方程進一步討論：1.過定點P(x,y)，傾角為θ的直線的標準參數(shù)方程形式為：x=x+tcosθ，y=y+tsinθ，其中t為參數(shù)，代表點P與點M間的有向距離。2.根據(jù)t的幾何意義，有以下結論：-經(jīng)過點M(x,y)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為：x=x+tcosα，y=y+tsinα，其中t為參數(shù)。-若直線l上兩點A、B的參數(shù)分別為t1、t2，線段AB的中點為P，點P所對應的參數(shù)為t，則以下結論在解題中經(jīng)常用到：(1)|AM|=|t1|,|BM|=|t2|;(2)|AB|=|t2-t1|;(3)|AM|·|BM|=|t1·t2|;(4)AB=|tB-tA|=√[(tB+tA)^2-4tA·tB];(5)t=(t1+t2)/2。常見的四種題型：1.方程互換；2.直線標準參數(shù)方程的應用；3.最值問題；4.簡單的平面解析幾何問題。極坐標與參數(shù)方程經(jīng)典問題：題型一：客觀題。的交點坐標為（1，1），求C1與C2的交點間的距離。解：（1）將曲線C1的極坐標方程轉化為直角坐標方程：$$\begin{aligned}x^2+y^2&=(2+2\cos\theta)^2+(2-2\sin\theta)^2\\&=8\cos^2\theta+8\sin^2\theta+8\cos\theta-8\sin\theta+8\\&=8\cos\theta-8\sin\theta+16\end{aligned}$$將曲線C2的極坐標方程轉化為直角坐標方程：$$\begin{aligned}x+y&=2\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)+2\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\\&=2\sin\theta+2\cos\theta\end{aligned}$$（2）設C1和C2的交點坐標為（x，y），則有：$$\begin{cases}x^2+y^2=8\cos\theta-8\sin\theta+16\\x+y=2\sin\theta+2\cos\theta\end{cases}$$將（1，1）代入上述方程組，解得：$$\begin{cases}x=1\\y=1+\sqrt{2}\end{cases}$$兩曲線交點間的距離為：$$\begin{aligned}d&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\&=\sqrt{(1-1)^2+(1+\sqrt{2}-1)^2}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$$解：（1）曲線C1的普通方程為y=2sinα，曲線C2的極坐標方程為ρ=cosθ/sinθ-10。（2）點M到直線l的距離可以表示為ρcos(θ-π/4)-10的絕對值。由于ρ≥0，所以距離的最小值為10，當θ=π/4時取到。最大值為√2ρ-10，當θ=π/2時取到。因此，點M到直線l的距離的最小值為10，最大值為2√2-10。在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為y35sin（為參數(shù)）。已知直線l的斜率為2，且過點(1,4)，求曲線C與直線l的交點坐標。解：將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，得到(x-2)/7=(y-3)/5即5x-7y+16=0由已知直線l的斜率為2，過點(1,4)，可得直線l的普通方程為y-4=2(x-1)即y-2x+2=0將兩個方程聯(lián)立解得交點坐標為(x,y)=(11/3,23/3)。在直角坐標系xOy中，曲線C1以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，其極坐標方程為ρ-4ρcosθ-3=0，曲線C2的極坐標方程為ρ=8cosθ，直線l的直角坐標方程為y=3x。要求解：（1）求曲線C1的普通方程和直線l的極坐標方程。（2）若直線l與C1，C2在第一象限分別交于A，B兩點，P為C2上的動點，求ΔPAB面積的最大值。（1）由極坐標變換公式，可將曲線C1的極坐標方程轉化為普通方程為(x-2)^2+y^2=49，即(x-2)+y=7。直線l的極坐標方程為θ=arctan3。（2）曲線C2的直角坐標方程為(x-4)^2+y^2=16，設A(ρ1,θ1)，B(ρ2,θ2)，則由題意可得ρ1-4ρ1cos(2π/3)=3π和ρ2=8cos(π/3)=4，解得ρ1=3，ρ2=4。因此，AB=ρ1-ρ2=1，C2(4,0)到l的距離為d=23/4。以AB為底邊的ΔPAB的高的最大值為23/4，因此ΔPAB的面積的最大值為2+3=5。將圓x+y=1上每一點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模们€C。要求解：（1）寫出C的參數(shù)方程。（2）設直線l：4x+y+1=0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程。（1）將圓的參數(shù)方程x=cosθ，y=sinθ代入，得曲線C的參數(shù)方程為x^2+y^2=x，即x=cos^2t，y=sint。（2）直線l與C的交點為P1(-1/5,6/5)和P2(1,0)，因此線段P1P2的中點為M(3/5,3/5)。由于直線l的斜率為-4，線段P1P2的中垂線斜率為1/4，因此中垂線的方程為y-x=3/5。將極坐標變換公式代入，得直線的極坐標方程為θ=arctan(4/3)。在直角坐標系xOy中，直線l傾斜角為α，其參數(shù)方程為x=-2+tcosα（t為參數(shù)）y=tsinα在以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸的極坐標系中（取相同的長度單位），曲線C的極坐標方程為ρ-4cosθ=0。（1）若直線l與曲線C有公共點，求直線l傾斜角α的取值范圍；（2）設M(x,y)為曲線C上任意一點，求x+3y的取值范圍。解：（1）法一：由曲線C的極坐標方程得ρ2-4ρcosθ=0，∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2-4x=0，即(x-2)2+y2=4∴曲線C是圓心為C(2,0)，半徑為2的圓?！咧本€l過點P(-2,0)，當l斜率不存在時，l的方程為x=-2與曲線C沒有公共點；∴當直線l斜率存在時，設直線l的方程為：y=k(x+2)，即kx-y+2k=0直線l與圓有公共點，則d=|2k-0|/sqrt(k2+1)≤2∴-3/√3≤k≤3/√3∵α∈[0,π)，∴α的取值范圍是[π/6,π/2]或[5π/6,π)。法二：∵曲線C的極坐標方程為ρ2-4ρcosθ=0，∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2-4x=0，將x=-2+tcosα，y=tsinα代入x2+y2-4x=0整理得t2-8tcosα+12=0∵直線l與曲線C有公共點，∴Δ=64cos2α-48≥0即cosα≥3/4或cosα≤-3/4，∵α∈[0,π)，∴α的取值范圍是[π/6,π/2]或[5π/6,π)。（2）法一：設x+3y=m，由于圓x2+y2